1、 - 1 - 天津市 2018 届高三数学上学期第二次段考试题 文 一、填空题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分，则每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、 aR? ，且 1aii? 为纯虚数，则 a 等于 A. 2 B. 2? C. 1 D. 1? 2、已知，则“”是“”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3、已知向量 ,ab的夹角是 3? ， | | 2,| | 1ab?，则 | | | |a b a b? ? ? 的值是 A. 21 B. 23 C. 5 D. 26 4、如图是函数 ( ) sin( )
2、f x A x?在区间 5 , 66? 上的图象，为了得到这个图象，只需将( ) cosf x A x? 的图象 A.向右平移 6? 个单位长度 B. 向右平移 12? 个单位长度 C. 向右平移 8? 个单位长度 D. 向左平移 6? 个单位长度 5、若函数 |( ) 2 ( )xaf x a R?满足 (1 ) (1 )f x f x? ? ?，且 ()fx在 , )m? 上单调递增，则实数 m 的最小值为 A. 2 B. 2? C. 1 D. 1? 6、在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 cos 3cosBCbc? ，则角 A 的最大值为 x y O 6? 3?
3、56? - 2 - A. 6? B. 4? C. 3? D. 2? 7、若函数 ( ) sin ( )( 0 )2f x x ? ? ?的图象关于点 ( ,0)8? 对称，且在 ( ,0)4? 内有零点，则? 的最小值是 A. 2 B. 5 C. 9 D. 10 8、已知定义域为 R 的奇函数 ()y f x? 的导函数为 ( )y f x? ，当 0x ? 时， ()( ) 0fxfx x?，若 1 1 1 1( ) , 3 ( 3 ) , ln ( ln )3 3 3 3a f b f c f? ? ? ? ?，则 ,abc的大小关系正确的是 A. abc? B. a c b? C. b
4、c a? D. c a b? 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分，请将答案填在答题卡上） 9、若集合 1 | 1 | 2 , | 0 xA x x B x x? ? ? ? ?，则 AB? 10、若圆 C 经过坐标原点和点 (4,0) ，且和直线 1y? 相切，则圆 C 的方程是 11、已知 222 , 0() ,0x x xfx x ax x? ? ? ?为偶函数，则 2log ( 4 5)ay x x? ? ?的单调递增区间为 12、已知各项都为正数的等 比数列 na ，且满足 7 5 62a a a?，若存在两项 ,mnaa，使得14mna a a? ，则 1
5、4mn? 的最小是为 13、 ABC? 中， ,DE分别为边 ,BCAC 的中点，且 AD 与 BE 夹角为 120 ，则 AB AC? 14、已知函数 8 (1 | 1 |) , 0 , 2 () 1( 1 ), ( 2 , )22xxfx xfx? ? ? ? ? ? ?，若函数 ( ) ( ) log ag x f x x?有且只有三个零- 3 - 点，则实数 a 的取值范围是 三、解答题（本大题共 6 个小题，总分 80 分） 15、（本题 13 分）在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 （）求 tan2A 的值； （）若 22s in ( ) , 2 223Bc
6、? ? ? ?，求 ABC? 的面积 . 16、（本题 13 分）已知函数 2( ) 2 c o s ( ) 2 s i n ( ) s i n ( )6 4 4f x x x x? ? ? ? ? ? ?. （）求函数 ()fx的最小正周期和图象的对称中心； （）求 ()fx在区间 0, 2? 上的最大值和最小值 . - 4 - 17、（本题 13 分）某工艺厂有铜丝 5 万米，铁丝 9 万米，准备用这两种材料编制成花篮和花盆出售，已知一只花篮需要用铜丝 200 米，铁丝 300 米；编制一只花盆需 要 100 米，铁丝 300米，设该厂用所有原来 编制个花篮 x ， y 个花盆 . （）列
7、出 ,xy满足的关系式，并画出相应的平面区域； （）若出售一个花篮可获利 300 元，出售一个花盘可获利 200 元，那么怎样安排花篮与花盆的编制个数，可使得所得利润最大，最大利润是多少？ - 5 - 18、（本题 13 分）已知各项均不为零的 数列 na 的前 n 项和 nS ，且满足 4 (2 1) 1nnS n a? ? ?，数列满足 111, 2 1nnb b b? ? ?. （）求数列 na ， nb 的通项公式； （）设 ( 1)n n nc a b?，求数列 nc 的前 n 项和 nT . 19、（本题 14 分）已知数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 22 ( )nS
8、 n n n N ? ? ?. （）求数列 na 的通项公式； （）设22 , 2 1()1 ,22nannkb k Nnknn? ? ?，求数列 nb 的前 n 项和 nT . - 6 - 20、（本题 14 分）已知函数 2( ) ( 2 ) lnf x ax a x x? ? ? ?. （）当 1a? 时，求曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线方程； （）当 0a? 时，若 ()fx在区间 1,e 上的最小值为 2? ，求 a 的取值范围； （）若对任意 1 2 1 2, 0,x x x x?，有 1212( ) ( ) 2f x f xxx? ? 恒成立，求 a 的
9、 取值范围 . - 7 - 参考答案 1-8： DAABCADB 9、 |0 1xx? 10、 223 2 5( 2 ) ( )24xy? ? ? ? 11、 (5, )? 12、 32 13、 49? 14、 ( 2, 10) 15、( ) 4 t a n si n( ) c os( ) 323134 si n ( c os si n ) 322si n 2 3 (1 c os 2 ) 3si n 2 3 c os 22 si n( 2 )3f x x x xx x xxxxxx? ? ? ? ? ? ? ? ?定义域为 2 | , ,22x x k k Z T? ? ? ? ? （ 2）
10、5,24 4 6 3 6xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，设 2 3tx?， 因为 sinyt? 在 5 , 62?时单调递减，在 , 26? 时单调递增 由 5 26 3 2x? ? ? ? ? ? ?，解得 4 12x? ? ? 由 22 3 6x? ? ? ? ? ?，解得 12 4x? ? ? ， 所以函数 ()fx在 ( , )12 4? 上单调递增，在 ( , )4 12? 上单调递减 . 16、（ 1）( ) sin( ) sin( )62sin c os c os sin sin( )6 6 233sin c os223 sin( )3f x x xx x xxx
11、x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?又 ( ) 3 s in ( ) 06 6 3f ? ? ? ? ?，所以 ,63 k k Z? ? 解得 6 2,k k Z? ? ? ?，又 03?，所以 2? . （ 2）由（ 1）知 ( ) 3 sin(2 )3f x x ?，将函数 ()y f x? 的图象上个点的横坐标伸长为原来- 8 - 的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 3 sin( )3yx?的图象，再将得到的图象向左平移 4? 个单位，得到 3 sin( )12yx?的图 象，所以函数 ( ) 3 sin( )12g x x ? 当 32 , , , 4 4 1 2 3 3xx?
12、 ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 3sin ( ) ,112 2x ? ? ?，所以当 4x ? 时， ()gx取得最小值 32? 17、（ 1）记“甲达标”的事件为 A ，则 2 2 33 1 1 1 1( ) ( ) ( )2 2 2 2P A C? ? ? ? ?（ 2）记 X 的所有可能取值为 2,3,4 ： 224( 2) ( )39PX ? ? ?; 2 2 2 31 2 2 1 2 1 1 1( 3 ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 3 3PX ? ? ? ? ? ? ? ? ? 221 2 2 1 2( 4 ) ( ) ( )3 3 3 3 9PX
13、 ? ? ? ? ? ?. 221 2 2 1 2( 4 ) ( ) ( )3 3 3 3 9PX ? ? ? ? ? ? 所以 X 的分布列为 : X 2 3 4 P 49 13 29 4 1 2 2 52 3 49 3 9 9EX ? ? ? ? ? ? ? 18 、（ 1） 1 1 1 1 11 , 4 3 1, 1n S a a S a? ? ? ? ? ? 112 , 4 4 4 ( 2 1 ) ( 2 1 )n n n n nn a S S n a n a? ? ? ? ? ? ?12123nna nan?1 2 11 2 12 1 2 3 1 2 12 3 2 5nnnnnaa
14、a nna a na a a n n? ? ? ? ? ? ? ?LL当 1n? 时， 1 2 1 1 1a ? ? ? ? ，综上 21nan?. 由 1 21nnbb? ? 1 1 2( 1)nnbb? ? ? ?，所以 1nb? 是以 2 位公比， 2 为首项的等比数列，所以 12nnb ? ，则 21nnb ?. - 9 - （ 2） (2 1)2nncn?， 21 2 3 2 ( 2 1) 2 nnTn? ? ? ? ? ? ?L? 2 3 12 1 2 3 2 ( 2 1 ) 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ?L? -整理得 1(2 3)2 6nnTn ? ? ? 19、（
15、1） 1 1 11, 2 2 0n S a a? ? ? ? 2212 , 2 2 2 ( 1 ) ( 1 ) 2 2n n nn a S S n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1nan? ? ? ，当 1n? 时， 1 1 1 0a ? ，所以 1nan? （ 2） 122 , 2 1()1 ,22nnnkb k Nnknn? ? ?当 n 为偶数时，2 1 1 1 1()2 2 2nb n n n n? ? ?1 3 1 2 40 2 1( ) ( )1 1 1 1 1 1 1( 2 2 2 ) ( )2 2 4 4 6 2213 4 ( 2 )n n nnnT
16、b b b b b bnnnn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?LL 当 n 为奇数时， 11 11 2 1 1 2 1 123 4 ( 1 ) 3 4 ( 1 )nn nn n n nnT T b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?综上 121 ,23 4 ( 2 ) ()2 1 1 , 2 13 4 ( 1 )nn nn nknT k Nn nkn? ? ? ? ? ? ? ?20、（ 1）由 2( ) 3 lnf x x x x? ? ?，则 1( ) 2 3f x x x? ? ? (1) 0 , (1) 1 3 2ff? ? ? ? ?，所以
17、切线方程为 2y? （ 2） 1 ( 1 ) ( 2 1 )( ) 2 ( 2 ) a x xf x a x a xx? ? ? ? ? 令 ( ) 0fx?1211, 2xxa? ? ?当 1a? 时， ()fx在 1,e 上单调递增， min( ) (1) 2f x f? ? ? - 10 - 当 10 a e? 时， ()fx 在 1,e 上 单 调 递 减 ，2m in( ) ( ) ( 2 ) 1 2f x f e a e a e? ? ? ? ? ? ?22 3 1ea e e e? ? ? （舍） 当 1 1ae?时， ()fx在 1(1, )a 上单调递减， ()fx 在 1(
18、 , )ea 上单调递增， min( ) (1) 2f x f? ? ?（舍） 综上， 1a? （ 3）令 1 2 1 2 0x x x x? ? ? ? 121 1 2 212( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2f x f x f x x f x xxx? ? ? ? ? ? ?令 ( ) ( ) 2g x f x x?，只要 ()gx 在 (0, )? 上单调递增即可 . ( ) 0gx?在 (0, )? 上恒 成立 . 21 2 1( ) ( ) 2 2 0a x a xg x f x a x a xx ? ? ? ? ? ? ? ? ? 22 1 0ax ax? ? ?在 (0, )? 上恒成立 . 当 0a? 时， 10? 恒成立； 当 0a? 时，原不等式 2 1 1 12 0 88x x aaa? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 当时，原不等式 2 12xx a? ? ? ?，左边无最大值，不合题意（舍） 综上， 08a?
