1、 - 1 - 2017 2018 1 高三年级第三次月考试题 数 学（理） 一选择题（共 12小题，每题 5分） 1.已知集合 123A? ， ， ， 2 | 9B x x?，则 AB? （ ） A. 2 1 0 1 2 3?， ， ， ， ， B. 2 1 0 1 2?， ， ， ， C.123， ， D.12， 2.复数 321 iz i? ? 的共轭复数 z? （ ） A.1522i? B.1522i? C. 5122i? D.5122i? 3.等差数列 ?na 中， 564,aa?则 10122lo g (2 2 2 )aaa ? ?（ ） .40A .20B .10C 2.2 log
2、 5D ? 4.已知实数 x， y满足?0440402yxyxyx 则 z 3x y 的最小值为 ( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 5.已知 11l n 8 , l n 5 , l n 6 l n 2 ,62a b c? ? ? ?则（ ） A.a c b? Babc? C.c a b? Dc b a? 6已知函数 ? ? sin3f x x ?，则下列说法不正确的是（ ） A. ?fx的一个周期为 2? B. ?fx的图象关于 56x ? 对称 C. ?fx在 7,66?上单调递减 D. ?fx向左平移 3? 个单位长度后图象关于原点对称 7甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最
3、终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用 .若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ） A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 - 2 - 8.若 tan =13 ，则 cos2 =（ ） A. 45?B. 15?C.15D.45 9.已知平行四边形 ABCD 的对角线 ,ACBD 交于点 O ，点 E 在线段 AC 上，且 2,AE EC? 点F 是 OD 的中点，则（ ） A. 151 2 1 2FE AB AD? ? ?B. 151 2 1 2FE AB AD? C. 511 2
4、1 2FE AB AD?D. 511 2 1 2FE AB AD? ? ?10函数 sin21 cosxy x? ? 的部分图像大致为 ( ) 11.若体积为 12 的长方体的每个顶点都在求 O 的球面上，且此长方体的高为 4，则球 O 的表面积的最小值为（ ） .10A ? .22B ? .24C ? .28D ? 12. 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 ()fx 满足 ( 4 ) ( ) ( 2 ) ,f x f x f? ? ?且? ? 7( ) s i n 2 s i n , 0 , 2 , ( ) ( ) l o g ( )2af x x x x g x f x x? ?
5、 ? ? ? ?在区间 ? ?3,3? 上至多有10个零点，至少有 8个零点，则 a 的取值范围为（ ） A. 134,6?B. 134,5?C.? ?2,5 D.? ?5,6 二 .填空题 (共 20 分 ) 13已知向量 ? ? ? ?2,1 , 1,1mn? ? ?.若 ? ? ? ?2m n am n? ? ?,则实数 a? . - 3 - 14.由一个长方体和两个 14 圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积 为 . 15.给出下列四个结论： （ 1） pq? 是真命题，则 p? 可能是 真命题； （ 2）命题“ 20 0 0, 1 0x R x x? ? ? ? ?” 的
6、否定是“ 2, 1 0x R x x? ? ? ? ?”； （ 3）“ 5a ? 且 5b? ”是“ 0ab? ”的充要条件； （ 4）当 0a? 时，幂函数 ayx? 在区间 (0, )? 上单调递减其中正确结论是 . 16.已知函数 ( ) 1xf x e mx? ? ?的图象是曲线 C ，若曲线 C 不存在与直线 y ex? 垂直的切线，则实数 m 的取值范围是 _ 三 .解答题 (共 70 分 ) 17（ 12 分）在 ABC 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 ? ?co s 2 co sb A c a B?. (1)求 B ； (2)若 13b? ， ABC 的面积为 3
7、 ，求 ABC 的周长 . 18.（ 12 分）已知等差数列 的前 项和为 ，且 的首项与公差相同，且 . （）求数列 的通项公式以及前 项和为 的表达式； （）若 ，求数列 的前 项和 . 19（ 12 分）已知数列 ?na 满足 ? ?1 1 2 3 11 1 11 , 123 nna a a a a a n Nn ? ? ? ? ? ? ? ?，数列?nb 的前 n 项和为 nS ， 23nnSb?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； - 4 - （ 2）求数列 ? ?nnba? 的前项和 nT . 20. （ 12 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， 1CC? 底
8、面 ABC ， 2AC BC?， 22AB? ， 1 4CC? ， M 是棱 1CC 上一点 （ I）求证： BC AM? （ II）若 M ， N 分别是 1CC ， AB 的中点，求证： CN 平面 1ABM （ III）若二面角 1A MB C?的大小为 4 ，求线段 1CM的长 21（ 10 分）设函数 22f x x x?（ ） （ I）解不等式 2fx?（ ） ； （）当 01x R y? ， 时，证明： 11221xx yy? ? ? ? 22（ 12 分）已知函数 . （ 1）若曲线 在点 处的切线斜率为 1,求函数 的单调区间； （ 2）若 时， 恒成立，求实数 的取值范围
9、. - 5 - 1-5 DDBBA 6-10 DCDCC 11-12 CD 13.75 14. 22 ? 15. 4 16. 41,(? 17 （ 1） 3? ；（ 2） 5 13? (1)由 ? ?co s 2 co sb A c a B?，得 2 c o s c o s c o sc B b A a B?. 由正弦定理可得 2 s in c o s s in c o sC B B A? ? ?s i n c o s s i n s i nA B A B C? ? ?. 因为 sin 0C? ，所以 1cos 2B? .因为 0 B ?，所以 3B ? . (2)因为 1 sin 32S a
10、c B?，所以 4ac? ，又 2 2 2 21 3 2 c o sa c a c B a c a c? ? ? ? ? ?，所以2217ac?，所以 1, 4ac?或 4, 1ac?，则 ABC 的周长为 5 13? . 18.依题意得 解得 ； ， . （ ）依题意得 ， - 6 - . 19.（ 1）因为 ? ?1 1 2 3 11 1 11 , 123 nna a a a a a n Nn ? ? ? ? ? ? ? ?所以当 2n? 时， 1 2 3 11 1 1 12 3 1 nna a a a an ? ? ? ? ? ?， 两式相减得11 n n na a an ?，即 1 1
11、nna nan? ? ， 又因为 21111 21aa?满足上式，所以 1 1nna nan? ? ， 当 2n? 时， 1 211 2 1 12 1121nnn nnaa a nna a na a a n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又因为 1 1a? 满足上式，所以数列 ?na 的通项公式为 nan? . （ 2）由 23nnSb?，得 ? ?1 1 13 , 2 3 2nnb S b n? ? ? ?， 相减得 ? ?112 2 2 2 ,n n n n nb b b b b n n N ? ? ? ? ? ?， 所以数列 ?nb 是以 3为首项 2为公比的等比数列，
12、 所以 ? ?132nnb n N? ? ? 所以 ? ?132nnna b n n N? ? ?，所以 ? ?0 1 23 1 2 2 2 3 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 3 12 3 1 2 2 2 3 2 2 nnTn ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作差可得 ? ?0 1 2 13 1 2 1 2 1 2 1 2 2nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 ? ?3 1 2 3nnTn? ? ?. 20.（ I） 1CC? 平面 ABC ， BC?平 面 ABC ， 1CC BC? 2AC BC?， 22AB? ， ABC
13、 中， 2 2 28AC BC AB? ? ?， - 7 - BC AC? 1AC CC C?， BC?平 面 11ACCA AM?平 面 11ACCA ， BC AM? （ II）连接 1AB交 1AB 于点 P 四边形 11AABB 是平行四边形， P 是 1AB的中点 又 M ， N 分别是 1CC ， AB 的中点， NP CM ，且 NP CM? ， 四边形 MCNP 是平行四边形， CN MP 又 CN? 平面 1ABM ， MP?平 面 1ABM ， CN 平面 1ABM （ III） BC AC? ，且 1CC? 平面 ABC ， CA ， CB ， 1CC 两两垂直 。 以
14、C 为原点， CA ， CB ， 1CC 分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 C xyz? 设 CM t? ，则 ? ?0,0,0C ， ? ?2,0,0A ， ? ?1 0,2,4B ， ? ?0,0,Mt， ? ?2,0,MA t?， ? ?1 0, 2, 4AB t?， ? ?0,0,MC t? 设平面 1AMB 的法向量为 ? ?,n x y z? ， 故 0n MA?， 1 0n MB?， 则有 ? ?20 2 4 0x tzy t z? ? ?，令 xt? ， 则 ? ?, 4,2n t t?， - 8 - 又平面 1MBC 的法向量为 ? ?1,0,0m? 二面
15、角 1A MB C?的大小为 4 ， ? ? 22c o s 4 | 44mn tmn tt? ? ? ?， 解得 52t? ， 即 52CM? ， 1 32 2C M CM? ? ? ?， 1 32CM? 21.解析 ： （ ）解：由已知可得： ? ? 4 , 2 2 , 2 2 4 , 2xf x x xx? ? ? ? ? ?， 由 2x? 时， 42 成立； 22x 时， 22x? ，即有 1x? ，则为 12x? 所以 ? ? 2fx? 的解集为 | 1xx? ； （ II）证明：由（ ）知， 2 2 4xx? ， 由于 01y ， 则 ? ?1 1 1 1 11 2 2 2 41 1 1yyyyy y y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则有 11221xx yy? ? ? ? ? ?22. （ 1） , , ， ,记 ， , 当 时， , 单减； 当 时， , 单增， , - 9 - 故 恒成立，所以 在 上单调递增 （ 2） ，令 , ， 当 时， , 在 上单增， . ）当 即 时， 恒成立，即 ， 在 上单增， ， ，所以 ）当 即 时， 在 上单增，且 ， 当 时， ， 使 ,即 . 当 时， ，即 单减； 当 时， ，即 单增 ， ， ，由 ， 记 , ， 在 上单调递增， ， 综上 .
