1、 1 宁夏石嘴山市 2018届高三数学上学期第四次（ 1 月）月考试题 理 考试时间： 120分钟；满分： 150分；命题人： 第 I卷（选择题） 一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分，每小题只有一个选项符合题意） 1已知集合 ? ?| 1 ,A x y x A B ? ? ? ? ?，则集合 B 不可能是（ ） A. ? ?1| 4 2xxx ? B. ? ? ?, | 1x y y x? C. ? D. ? ? ?22| lo g 2 1y y x x? ? ? ? 2已知复 ? ?2121 iz i? ?，则复数 z 的共轭复数 z? （ ） A. 3144i?
2、B. 1344i? C. 11 2i? D. 11 2i? 3设 ? ? ? ?: 2 1 1 , : 1 0p x q x a x a? ? ? ? ? ?，若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是（ ） A. 31,2?B. 31,2?C. ? ? 3,1 ,2? ? ?D. ? ? 3,1 ,2? ? ?4已知直线 : 3 0l ax y a? ? ? ?和圆 22: 4 2 4 0C x y x y? ? ? ? ?，则直线 l 和圆 C 的位置关系是 A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 都有可能 5在矩形 ABCD 中， 4AB? ， 3BC? ，将 ABC?
3、 沿 AC 折起后，三棱锥 B ACD? 的外接球表面积为 A. 16? B. 25? C. 36? D. 100? 6堑堵 ,我国古代数学名词 ,其三视图如图所示 .九章算术中有如下问题 :“今有堑堵 ,下广二丈 ,袤一十八丈六尺 ,高二丈五尺 ,问积几何 ?”意思是说 :“今有堑堵 ,底面宽为 2 丈 ,长为 18 丈 6 尺 ,高为 2丈 5 尺 ,问它的体积是多少 ?” (注 :一丈 =十尺 ),答案是 ( ) A. 25500立方尺 B. 34300立方尺 C. 46500立方尺 D. 48100立方尺 7 已知点 P 是抛物线 214xy? 上的 -个动点，则点 P 到点 A(0,
4、 1)的距 离与点 P 到 y 轴的距离之和的最小值为（ ） 2 A. 2 B. 2 C. 21? D. 21? 8已知实数 ,xy满足1,3 , 1 0,xyxy?若 z mx y?的最大值为 10，则 m? （ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9 阅读如图所示的程序框图 ,运行相应的程序 ,输出的 的值等于 ( ) A.18 B.20 C.21 D.40 10. 2015 年年岁史诗大剧芈月传风靡大江南北，影响力不亚于 以前的甄嬛传，某记者调查了大量芈月传的观众，发现年龄 段 与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在 ?10,14 , 15,19 ,? ? ?20,24, ?
5、25, 29 , 30,34?的爱看比例分别为 1 0 % ,1 8 % , 2 0 % , 3 0 % , %t， 现用这 5 个年龄段的 10y? 中间值 x 代表年龄段，如 12代表 ? ?10,14 ,17 代表 ? ?15,19 ，根据前四个数据求得 x 关于爱看比例 y 的 线性回归方程为 ? ?4.68 %y kx? ? ，由此可推测 t 的值为（ ） A. 33 B. 35 C. 37 D. 39 (第 9题图） 11由 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7七个数字组成七位数，要求没有重复数字且 6、 7均不得排在首位与个位， 1与 6必须相邻，则这样的七位数的个数是（ ）
6、A. 300 B. 338 C. 600 D. 768 12若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为 f（ x） = 12?x ，值域为 5， 10的“孪生函数”共有（ ） A. 4个 B. 8个 C. 9 个 D. 12个 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13若 sin cos 11 cos2 4? ? ， ? ?tan 2?，则 ? ?tan 2?_. 3 14已知正方体的棱长为 1，在正方体内随机取一点 M，则四棱锥 M ABCD的体积小于 16 的概率为_ 15已知
7、60, aaxx?展开式的常数项为 15，则 ? ?21 s in 2aax x d x? ? ? _ 16高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达 110个，设 ，用 表示不超过 的最大整数，并用 表示 的非负纯小数，则 称为高斯函数，已知数列 满足： ，则_ 三、解答题（本题共 6题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（满分 12分）已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，公差 0d? ，且 3 9S? ， 1 3 7,a a a 成等比数列 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）若数列 ?nb 满足 ? ?
8、12nnnba? ? ? ， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18（满分 12 分）近年来许多地市空气污染较为严重，现随机抽取某市一年（ 365天）内 100天的2.5PM 空气质量指数（ API）的监测数据，统计结果如表： 记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S （单位：元）， API 指数为 x .当 x 在区间 ? ?0,100 内时，对企业没有造成经济损失；当 x 在区间 ? ?100,300 内时，对企业造成的经济损失与 x 成直线模型（当 API 指数为 150 时，造成的经济损失为 1100 元，当 API 指数为 200 时，造成的经济损失为1400元）；当 AP
9、I指数大于 300时 ，造成的经济损失为 2000元 . 4 （ 1）试写出 ?Sx的表达式； （ 2）试估计在本年内随机抽取 1天，该天经济损失 S 大于 1100且不超过 1700元的概率； （ 3）若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，这 30天中有 8天为重 度 污染，完成 22? 列联表，并判断是否有 95%的把握认为该市本年度空气重 度 污染与供暖有关？ 非重 度 污 染 重 度 污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 附： ? ?2 0P K k? 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 1.323 2.072 2.706
10、3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ? ? ? ? ? ? ?22 n a d b cK a b c d a c b d? ? ? ? ?，其中 n a c d? ? ? ? 19 （满分 12 分） 如 图，四棱锥 P ABCD? 的底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ， 2PA AD?， 22BD? . 5 (1)求证： BD 平面 PAC ； (2)求二面角 B PC D?余弦值； (3)求点 C 到平面 PBD 的距离 20 （满分 12分） 在平面内点 ? ?1 6,0F ? 、 ? ?2 6,0F 、 曲线 C上的动点 ? ?,Exy 满足 1
11、242EF EF?. （ 1）求 曲线 C的 方程； （ 2）点 ? ?2, 1P ? ， Q 在 曲线 C 上，且 PQ 与 x 轴平行，过 P 点作两条直线分别交 曲线 C 于? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y 两点 .若直线 PQ 平分 APB? ，求证：直线 AB 的斜率是定值，并求出这个定值 . 21 （满分 12分） 已知函数 ? ? ? ? ? ?22 l n 2 1 0 .f x a x a x x a? ? ? ? ? ? （ ）若函数 ?fx的图像在点 ? ? ?2, 2f 处的切线与直线 10xy? ? ? 平行，求实数 a 的值； （ ）讨论函数 ?fx的
12、单调性； 6 （ ）若在函数 ?fx定义域内，总有 ? ? 2 2f x x ax b? ? ? ?成立，试求实数 ab? 的最大值 . 22 （满分 10分） 已知曲线 的参数方程为 )(s in3c o s2 为参数? ?yx，以坐标原点 O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程为 2? . （ ）分别写出 的普通方程， 的直角坐标方程； （ ）已知 M， N 分别为曲线 的上、下顶点，点 P为曲线 上任意一点，求 的最大值 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 B 6 C 7 C 8 C 9 B 10 B 11 D 12 C 13 43 14.12 152?
13、16 17（ 1） ? ?1*na n n N? ? ? （ 2） ? ? 11 2 2nnTn ? ? ? ? 【解析】 试题分析： ?1 根据条件可知 23 1 7a aa? ，即 ? ? ? ?21 1 126a d a a d? ? ?， d 和 1a 的关系，求出 1a 和 d 的值，即可求出数列 ?na 的通项公式； ?2 求得数列 ?nb 的通项公式，采用乘以公比 “ 错位相减法 ” ，即可求出数列 ?nb 的前 n 项和 nT 解析：（ 1）由题得 23 1 7a aa? ，设等差数列 ?na 的公差为 d ，则 ? ? ? ?21 1 126a d a a d? ? ?， 0
14、d? 化简得 112da? . 1 1 1 12 3 1 9392 2 2S a a a? ? ? ? ?，得 1 2, 1ad?， ? ? ? ?1 1 2 1 1na a n d n n? ? ? ? ? ? ? ?，即 ? ?1*na n n N? ? ? （ 2）由题意可知， 1nan? ? ? ? ?1 2 1 1 2 ?2n n nnnb a n n? ? ? ? ? ? ? 2nnbn? ， 212 1 2 2 2 2 nnnT b b b n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?2 3 12 1 2 2 2 1 2 2nnnT n n ? ? ? ? ? ? ? ?
15、? ?， - ，得 ? ?2 3 1 12 2 2 2 2 1 2 2n n nnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 11 2 2nnTn ? ? ? ?. 18(1) ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 1 0 0 , 6 2 0 0 , 1 0 0 , 3 0 0 , 2 0 0 0 , 3 0 0 , .xS x x xx? ? ? ? ?(2)0.4； (3)有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关 . 解析：（ 1）依题意，可得 ? ? ? ? ? ?0 , 0 , 1 0 0 , 6 2 0 0 , 1 0 0 , 3 0 0 ,
16、2 0 0 0 , 3 0 0 , .xS x x xx? ? ? ? ?（ 2）设 “ 在本年内随机抽取 1天，该天经济损失 S 大于 1100元且不超过 1700元 ” 为事件A ，由 1100 1400S? ，得 150 200x? ，由 统计结果，知 ? ? 0.3PA? ， 即在本年内随机抽取 1 天，该天经济损失 S 大于 1100元且不超过 1700 元的概率为 0.39. （ 3）根据题中数据可得如下 22? 列联表： 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 2K 的观测值 ? ? 21 0 0 6 3 8 2 2
17、 7 4 . 5 7 5 3 . 8 4 18 5 1 5 3 0 7 0k ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以有 95%的把握认为该市本年度空气重度污染与供暖有关 . 点睛：本题考查概率知识，考查列联表，观测值的求法，是一个独立性检验，我们可以利用临界值的大小来决定是否拒绝原来的统计假设，若值较大就拒绝假设，即拒绝两个事件无关概率问题是高考中和实际联系非常紧密的一道题目，容易出现新的题型新的情景；只要审题清楚，联系实际和数学知识，就能做好。 19(1)略 (2)q= 450 (3) 解：（ 2）由 PA 面 ABCD，知 AD 为 PD在平面 ABCD的射影，又 CDAD ， CDPD ， 知 PDA 为二面角 P CD B 的平面角 . 又 PA=AD ， PDA=45 0. 二面角 P CD B余弦值为 。 （ 3） PA=AB=AD=2 ， PB=PD=BD= ，设 C到面 PBD的距离为 d， 由 ，有 ，即，得 方法二：证：（ 1）建立如图所示的直角坐标系， 则 A（ 0， 0， 0）、 D（ 0， 2， 0）、 P（ 0， 0， 2） .?
