1、 - 1 - 2017-2018 学年第一学期第三次月考 高三数学（理）试卷 一、 选择题 （ 本大题共 12小题，每小题 5分，共 60 分 ） 1、 已知全集 ? ?*9, NU x x x? ? ?集合 ? ?1,2,3A? , ? ?3,4,5,6B? ,则 ()U AB?U A ?3 B ? ?7,8 C ? ?7,8,9 D ? ?1,2,3,4,5,6 2、 已知 i 是虚数单位，若 (1 ) 1 3z i i? ? ? ，则 ?z A 2i? B 2i? C 1i? D 1i? 3、 如果函数 2()f x x bx c? ? ?对任意实数 t 都有 (2 ) (2 )f t
2、f t? ? ?，那么 A (2) (1) (4)f f f? B (1) (2) (4)f f f? C (2) (4) (1)fff? D (4) (2) (1)fff? 4、如 图，四边形 ABCD 是正方形，延长 CD 至 E ，使得 DE CD? ,若点 P 为 CD 的中点， 且 AP k AB m AE?uuur uuur uuur,则 km? A 3 B 25 C 2 D 1 5、 已知数列 ?na 满足 3 3 1log 1 lognnaa? ( *nN? )且 2 4 6 9aaa? ? ? ，则 1 5 7 93log ( )a a a?的值是 A 5? B 15? C
3、5 D 15 6、 数列 ?na 的通项公式为 2 49nan?，当该数列的前 n 项和 nS 达到最小时， n 等于 A 24 B 25 C 26 D 27 7、已知函数 ( ) s i n ( ) 3 c o s ( ) ( 0 , | | )2f x x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，其图象相邻的两条对称轴方程为 0x? 与 2x ? ，则 A ()fx的最小正周期为 2? ，且在 (0, )? 上为单调递增函数 B ()fx的最小正周期为 2? ，且在 (0, )? 上为单调递减函数 A B C D E - 2 - C ()fx的最小正周期为 ? ，且在 (0, )2
4、? 上为单调递增函数 D ()fx的最小正周期为 ? ，且在 (0, )2? 上为单调递减函数 8、在等比数列 na 中 ， 1 2a? ， 公比 2q? 若 1 2 3 4 ()ma a a a a m N ?， 则 m? A 11 B 10 C 9 D 8 9、已知点O是边长为 1的等边ABC的中心，则? ? ? ?OA OB OA OC? ? ?uur uur uur uuur等于 A 19 B 19? C 36? D 16? 10、 31 2 s in ( ) s in ( ) ( )2? ? ? ? ? ? 其中 ,2?A sin cos? B cos sin? C (sin cos
5、 )? D sin cos? 11、 下图所示为函数 ()y f x? ， ()y gx? 的导函数的图像，那么 ()y f x? ， ()y gx? 的图像可能是 12、若二次不等式 2 30x ax? ? ? 在区间 2,5上有解，则 a 的取值范围是 A 225a? B 12a? C 225a? D 12a? 二、填空题 13、函数 2yx? 与函数 2yx? 的图象围成的封闭图形的面积为 14、 设函数 2 3y ax bx? ? ?在 0x? 处取得极值，且曲线 ()y f x? 在点 (1, (1)f 处的切线垂直于直线 2 1 0xy? ? ? ，则 ab? 的值为 _ 15、
6、已知数列 ?na 满足：1 11n na a? ?， 1 2a? ，记数列 ?na 的前 n 项之积为 nP ，则 2011P ? _. 16、已知函数 () xf x e ax?有且仅有 2个零点，则 a 的取值范围是 _。 三 、解答题 17、（本小题满分 10分） - 3 - 在 ABC? 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a ， b ， c ，且 1a? ， 2c? ， 3cos 4C? 。 （ 1）求 sinA 的 值； （ 2） 求 ABC? 的面积。 18、（本小题满分 12分） 已知数列 ?na 满足 1 2a? ， 1 24nnaa? ? （ 1）证明数列 ? ?4
7、na? 是等比数列； （ 2）求数列 ? ?na 的前 n 项和 nS 19、（ 本小题满分 12分 ） 已知向量 (sin ,cos )m A A?ur ， ( 3, 1)n?r ， 1mn?ur r ，且 A 为锐角 （ 1） 求角 A 的大小； （ 2） 求函数 ( ) c o s 2 4 c o s sinf x x A x?(x?R )的值域 20、 (本小题满 分 12分 ） 求不等式 2 ( 1) 1 0 ( 0 )ax a x a? ? ? ? ?的解集 . 21、（ 本小题满分 12分 ） （ 1） 在直角坐标系 xOy 中，已知点 (1,1), (2,3), (3,2)G
8、L N，点 ),( yxP 在 GLN? 三边围成的 区域（含边界）上，若 0? PNPLPG ，求 OP ； （ 2） 在平行四边形 ABCD中， AE EB?uuur uur ， 2CF FB?uuur uur ，连接 CE 、 DF 相交于点 M ， 若 AM AB AD?uuur uuur uuur， 求 实数 ? 与 ? 的乘积 . 22、（本小题满分 12分） - 4 - 已知函数 ( ) 1 1,af x nx a Rx? ? ? ? （ 1）若关于 x 的不等式 1( ) 12f x x?在 1, )? 上恒成立 ， 求 a 的取值范围 ； （ 2）设函数 ()() fxgx
9、x? ， 若 ()gx在 21, e 上 有两个不同极值点， 求 a 的取值范围 ， 并判断极值的正负 - 5 - 高三数学（理）答案 一、将选择题答案填在下面表格中（每小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A B A C A B D A D A 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13、 13 14、 1 15、 2 16、 (, )e? 三、解答题 （ 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ） 17、（ 10 分） 解：（ ） 37co s , sin ,44CC? ? ? （ 2分） 1 2 1 4, s ins
10、in s in s in 874ac AA C A? ? ? ? ?（ 5分） （ ） 2 2 2 2 232 c o s , 2 1 , 2 3 2 0 , 22c a b a b C b b b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 8分） （ 10分） 18、（ 12 分） 18.解：（ 1） 1 2a? ， 1 42a? 1分 当 1n? 时， 1 20a ? ? ， 112Sa?； 8分 当 2n? 时， 0na? ， 12nnS a a a? ? ? ? ? 9 分 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2212 2 4 2 4 2 2 2 4 12 1 2 4
11、 1 2 4 212nnnnnnn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11分 又当 1n? 时，上式也满足 1 1 7 7s in 1 22 2 4 4ABCS a b C? ? ? ? ? ? ?- 6 - 当 *nN? 时， 12 4 2nnSn? ? ? 19、（ 12 分） 【解析】 (1)由题意得 mn 3sinA cosA 1， 2sin(A 6) 1， sin(A 6) 12. 由 A为锐角得 A 6 6， A 3. (2)由 (1)知 cosA 12， 所以 f(x) cos2x 2sinx 1 2sin2x 2sinx 2(sinx 12)2
12、 32. 因为 xR ，所以 sinx 1,1， 因此，当 sinx 12时， f(x)有最大值 32， 当 sinx 1时， f(x)有最小值 3， 所以所求函数 f(x)的值域是 3， 32 20、（ 12 分）略 21、（ 12 分） 解（ I）解法一 ? ,0? PNPLPG 又 )2,3()3,2()y-1x1( yxyxPNPLPG ? ， =（ 6-3x， 6-3y）， ? ? ? ,036 ,036 yx解得 x=2， y=2， 即 .22),2,2( ? OPOP 故 解法二 ? ，0? PNPLPG 则 ? ? ? ? ? ? ，0? OPONOPOLOPOG ? ? ?
13、， )22(31 ? ONOLOGOP ? .22?OP （ 2）解： 38 22、（ 12 分） 解：（）由 1( ) 12f x x?，得 11 1 12anx xx? ? ? ? 即 211 2a x nx x? ? ? 在 1, )? 上恒成立 设函数 21( ) 1 2m x x nx x? ? ?， 1x? 则 ( ) 1 1m x nx x? ? ? ? 设 ( ) 1 1n x nx x? ? ? ? 则 1( ) 1nx x? ? 易知当 1x? 时， ( ) 0nx? ()nx在 1, )? 上单调递增，且 ( ) (1) 0n x n? - 7 - 即 ( ) (1) 0
14、m x m?对 1, )x? ? 恒成立 ()mx在 1, )? 上单调递增 当 1, )x? ? 时，m in 1( ) ( ) (1) 2m x m x m? ? ? 12a? ，即 a 的取值范围是 1( , 2? （）211() nx agx x x x? ? ?， 21, xe? 221 1 1( ) nxgx xx?332 2 1 2a x x nx axx? 设 ( ) 2 1 2h x x x nx a? ? ?，则 ( ) 2 (1 1 ) 1 1h x nx nx? ? ? ? ? 由 ( ) 0hx? ，得 xe? 当 1 xe?时， ( ) 0hx? ；当 2e x e
15、? 时， ( ) 0hx? ()hx在 1,)e 上单调递增，在 2(, ee 上单调递减 且 (1) 2 2ha? ， ( ) 2h e e a? ， 2( ) 2h e a? 显然 2(1) ( )h he? 结合函数图象可知，若 ()gx在 21, e 上有两个不同的极值点， 则 ( ) 0(1) 0heh ? ? 得 1 2ea?时， 则必定 212, 1, x x e? ，使得 12( ) ( ) 0h x h x?，且 2121 x e x e? ? ? ? 当 x 变化时， ()hx， ()gx， ()gx的变化情况如下表： x 1(1, )x 1x 12( , )xx 2x 2
16、2( , )xe ()hx - 0 + 0 - ()gx - 0 + 0 - ()gx 极小值 极大值 - 8 - 当 1 2ea? 时， ()gx在 21, e 上的极值为 12( ), ( )g x g x ，且 12( ) ( )g x g x? 11 21 1 11 1() nx agx x x x? ? ?1 1 1211x nx x ax? 设 ( ) 1x x nx x a? ? ? ?，其中 1 2ea? ， 1 xe? ( ) 1 0x nx? ?， ()x? 在 (1,)e 上单调递增， ( ) (1) 1 0xa? ? ? ?，当且仅当 1x? 时取等号 11 xe?， 1( ) 0gx? 当 1 2ea? 时， ()gx在 21, e 上的极值 21( ) ( ) 0g x g x?
