1、 - 1 - 山东省淄博市淄川中学 2019届高三数学上学期开学考试试题 理 一、选择题（每题 5分，共 60分） 1已知集合 ? ?02A? ， ， ? ?2 1 0 1 2B ? ? ?， ， ， ，则 AB? （ ） A ? ?02， B ? ?12， C ?0 D ? ?2 1 0 1 2?， ， ， ， 2、设集合 M=? ?)2,1( ，则下列关系成立的是 A 1 M B 2 M C (1,2) M D (2,1) M 3、已知 lg2=a, lg3=b， 则 lg23 等于 A a-b B b-a C ab D ba 4、若函数 )2(21)( ? xxxf ， 则 f(x) A
2、 在 (-2， +? ),内单调递增 B 在 (-2， +? )内单调递减 C 在 (2， +? )内单调递增 D 在 (2， +? )内单调递减 5、不等式（ x+1）（ x+2） m， 其中 m0.若存在实数 a， 使得关于 x 的方程 f(x)a 有三个不同的根 ， 则 m的取值范围是 _. 三、解答题： 17. (本小题满分 10分 )命题 p：不等式 x2-（ a+1） x +1 0的解集是 R 命题 q：函数 f（ x） =（ a+1） x在定义域内是 增函数 若 p q 为假命题， p q为 真命题，求 a的取值范围 18. (本小题满分 12分 ) ABC的内角 A， B， C
3、的对边分别为 a， b， c， 已知 ABC的面积为 23sinaA （ 1）求 sinBsinC; （ 2）若 6cosBcosC=1， a=3，求 ABC的周长 . 19.(本小题满分 12分 )Sn为数列 an的前 n项和 .已知 an0， ( )求 an的通项公式： ( )设 ，求 数列 的前 n项和 20、 (本小题满分 12 分 )已知直 线 的参数方程为 ： ，以坐标原点为极点 ， 轴的正半轴为极轴建立极 坐标系，曲 线 的极坐标方程 为 . （ ）求曲 线 的参数方 程 ； （ ） 当 时， 求直 线 与曲 线 交点的极坐标 . 21、 (本小题满分 12分 )已知某单位甲、乙
4、、丙三个部门的员工人数分别为 24， 16， 16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7人 ，进行睡眠时间的调查 . - 4 - （ I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？ （ II）若抽出的 7 人中有 4人睡眠不足， 3人睡眠充足，现从这 7人中随机抽取 3人做进一步的身体检查 . （ i）用 X表示 抽取的 3人中睡眠 不足 的员工人数，求随机变量 X的分布列与数学期望； （ ii）设 A 为事件“抽取的 3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件 A 发生的概率 . 22. (本小题满分 12 分 )如图，在三棱锥 P ABC?中， 22AB BC?，4P A
5、 P B P C A C? ? ? ?， O为 AC的中点 （ 1）证明： PO?平面 ABC； （ 2）若点 M在棱 BC上，且二面角 M PA C?为 30?，求 PC与平面PAM所成角的正弦值 PAOCBM- 5 - 淄川中学高 2016级高三学情检测理科数学答案 一、选择题（每题 5分，共 60分） A C B D A D A D D A B C 二、填空题（每题 5分，共 20分） -3 ? ?,4 -7 ? ?,3 三、解答题： 17. - 6 - 18.【解 析】 由正弦定理得 1 sinsin sin2 3 sinACB A? . 故 2sin sin 3BC? . （ 2）由
6、题设 1cos cos 6BC? 及（ 1）得 1cos cos sin sin 2B C B C? ? ?，即 1cos( ) 2BC? ? ?. 所以 23BC? ，故 3A? . 由题设得 21 sin2 3sinabc A A? ，即 8bc? . 由余弦定理得 22 9b c bc? ? ? ，即 2( ) 3 9b c bc? ? ?，得 33bc? . 故 ABC 的周长为 3 33? . 19、（ I）由 2 2 4 3n n na a S? ? ?，可知 2 1 1 12 4 3.n n na a S? ? ? ? ? 可得 221 1 12 ( ) 4n n n na a
7、a a a? ? ? ? ? ? 即 221 1 1 12 ( ) ( ) ( )n n n n n na a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? 由于 0na? 可得 1 2.nnaa? ? 又 21 1 12 4 3a a a? ? ?，解得 111( ) 3aa? ? ?舍 去 ， 所以 ?na 是首相为 3，公差为 2的等差数列，通项公式为 2 1.nan? （ II）由 21nan? 11 1 1 1 1( ) .( 2 1 ) ( 2 3 ) 2 2 1 2 3nnb a a n n n n? ? ? ? ? ? ?- 7 - 设数列 ?nb 的前 n 项和为
8、 nT ，则 12nnT b b b? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 3 5 5 7 2 1 2 3.3 ( 2 3 )nnnn? ? ? ? ? ? ? ? ?20. 解析 （ ） 由 ，可 得 所以曲 线 的直角坐标方程 为 ， 标准方程 为 ， 曲 线 的极坐标方程化为 参数方程 为 （ ） 当 时，直 线 的方程 为 ，化成普通方程 为 ， 由 ，解 得 或 ， 所以直 线 与曲 线 交点的极坐标分别 为 ， ； , . 21. （）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3 2 2，由于采用分层抽样的方法从中抽取 7人，因此应从甲、乙
9、、丙三个部门的员工中分别抽取 3人， 2人，2 人 （）（ i）解：随机变量 X的所有可能取值为 0， 1， 2， 3 P（ X=k） = 34337CCCkk? （ k=0， 1， 2， 3） 所以，随机变量 X 的分布列为 - 8 - X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 随机变量 X的数学期望 1 1 2 1 8 4 1 2( ) 0 1 2 33 5 3 5 3 5 3 5 7EX ? ? ? ? ? ? ? ? ? （ ii）解：设事件 B 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有 1 人，睡眠不足的员工有 2人”；事件 C 为“抽取的 3 人中，睡眠充足的员工有
10、 2 人，睡眠不足的员工有 1 人”，则 A=B C，且 B 与 C 互斥，由（ i）知， P(B)=P(X=2)， P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67 所以，事件 A发生的概率为 67 22. 2解：（ 1）因为 4AP CP AC? ? ?， O 为 AC 的中点，所以 OP AC? ，且 23OP? 连结 OB 因为 22AB BC AC? ，所以 ABC 为等腰直角三角形， 且 OB AC? ， 1 22OB AC? 由 2 2 2OP OB PB?知 PO OB? 由 ,OP OB OP AC?知 PO? 平面 ABC （ 2）如图，以
11、 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 O xyz? 由已 知得 )0,0,0(O ， )0,0,2(B ， )0,2,0( ?A ， )0,2,0(C ， )32,0,0(P ，)32,2,0(?AP 取平面 PAC 的法向量 )0,0,2(?OB 设 ( , 2 , 0)(0 2)M a a a? ? ?，则 )0,4,( aaAM ? 设平面 PAM 的法向量为 ( , , )x y z?n 由 0?nAP ， 0?nAM 得 2 2 3 0(4 ) 0yzax a y? ? ? ?，可取 ( 3 ( 4), 3 , )a a a? ? ?n ， - 9 - 所以222 3)4(32)4(32,c o s aaa anOB ? ? 由已知可得 23,cos ? nOB 所以2 2 22 3 | 4 | 3= 22 3 ( 4 ) 3aa a a? ? ?解得 4a? （舍去）， 43a? 所以 8 3 4 3 4( , , )3 3 3? ? ?n 又 )322,0( ? ，PC ，所以 43,cos ? nPC 所以 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值为 34
