1、 - 1 - 山西省运城市空港新区 2018届高三数学上学期第一次月考试题 理 2017.9 （满分 100分，时间 90分钟） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） 1已知集合 ? ? ? ?| 1 2 4 , 1, 2 , 3xP x Q? ? ? ，则 PQ A ?1 B ? ?1,2 C ? ?2,3 D ? ?1,2,3 2已知命题 : 0,2 1xpx? ? ?；命题 :q 若 xy? ，则 22xy? . 则下列命题为真命题的是 A pq? B ()pq? C ( ) ( )pq? ? ? D ()pq? ( 3)
2、5, 1a x x? ? ? 3已知函数 ()fx= 是 ( , )? 上的减涵数，那么 a 的取值范 2 ,1a xx ? 围是 A（ 0， 3） B ? ?0,3 C（ 0， 2） D ? ?0,2 4若 1 120ln 2 , 5 ,a b c xdx? ? ? ?，则 ,abc的大小关系是 A abc? B bac? C b c a? Dc b a? 5如图所示的图象对应的函数解析式可能是 A 221xyx? ? ? B 2 sin41x xy x? ? C lnxy x? D 2( 2 ) xy x x e? 6已知 1sin( )63?，则 2cos(2 )3? 的值是 A 59
3、B 89? C 13? D 79? 7定义在 R 上的函数 ()fx满足 ( ) ( ) , ( ) ( 4 )f x f x f x f x? ? ? ? ?，且 ( 1,0)x? 时，1( ) 2 5xfx?，则 2(log 20)f = A 1 B 45 C 1? D 45? 8已知函数 2( ) 4 lnf x ax ax x? ? ?，则函数 ()fx在（ 1， 3）上不单调的一个充分不必要条- 2 - 件是 A 1( , )6a? B 1( , )2a? ? ? C 11( , )26a? D 1( , )2a? ? 9 已知偶函数 ( )( 0)f x x? 的导函数为 ()fx
4、? ， 且满足 (1) 0f ? ，当 0x? 时，( ) 2 ( )xf x f x? ? ，则使 ( ) 0fx? 成立的 x 的取值范围为 A ( , 1) (0,1)? ? B ( 1,0) (0,1)? C ( 1,0) (1, )? ? D ( , 1) (1, )? ? ? 10设 ()fx是定义在 R 上的偶函数，对任意的 xR? ，都有 (2 ) (2 )f x f x? ? ?，且当 ? ?2,0x? 时， 1( ) 2 ( )2 xfx? ，若在区间 ? ?2,6? 内关于 x 的方程 ( ) log ( 2)af x x? 0(0 1)a? ? ? 恰有三个不同的实数根
5、，则实数 a 的取值范围是 A 1(0, )2 B 2(0, )4 C 21( , )42 D 1( ,1)2 11函数 ()fx的定义域为 ? ?1,1? ，图象如图（ 1）所示，函数 ()gx的定义域为 ? ?2,2? ，图象如图（ 2）所示，方程 ? ?( ) 0f g x ? 有 m 个实数根，方程 ? ?( ) 0g f x ? 有 n 个实数根，则 mn? = A 6 B 8 C 10 D 12 12已知函数 ( ) lnf x x x x? ，若 kZ? ，且 ( 2) ( )k x f x? 对任意的 2x? 恒成立，则 k 的最大值为 A 3 B 4 C 5 D 6 二、填空
6、题： (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分，把答案填在题中横线上 ) 13 已知函数 ()fx的导函数为 ()fx? ，且满足 ( ) 3 (1) 2 lnf x xf x?，则 (1)f? ? _. 14 1 21 ( 1 sin 2 )x x dx? ? ? ?_. 15若 s in c o s 3 , ta n ( ) 2s in c o s? ? ? ? ? ，则 tan( 2 )? _. 16已知函数 2( ) 2 5 , ( ) 4xf x g x x x? ? ? ?，给出下列 3个命题： - 3 - 1p ：若 xR? ，则 ( ) ( )f x f x? 的最大值为
7、 16； 2p ：不等式 ( ) ( )f x g x? 的解集为集合 ? ?| 1 3xx? ? ? 的真子集； 3p ：当 0a? 时，若 ? ?1 2 1 2, , 2 , ( ) ( )x x a a f x g x? ? ? ?恒成立，则 3a? ， 那么，这 3个命题中所有的真命题是 _. 三、解答题：（本大题共 4个题，要求写出必要的推理、证明、计算过程） 17.（本题满分 10分） 已知 mR? ，设 ? ? 22: 1 ,1 , 2 4 8 2 0p x x x m m? ? ? ? ? ? ? ?成立；? ? 212: 1 , 2 , lo g ( 1 ) 1q x x m
8、 x? ? ? ? ? ?成立 . 如果“ pq? ”为真，“ pq? ”为假，求实数 m的取值范围 . 18.（本题满分 12分） 在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 ,abc，且 3 c o s ( 2 3 ) c o s .a C b c A? （ 1）求角 A的大小； （ 2）求 25cos( ) 2 sin22CB? ? 的取值范围 . 19.（本题满分 12分） 已知函数 32( ) 10.f x x ax? ? ? （ 1）当 1a? 时，求函数 ()y f x? 的单调递增区间； （ 2）在区间 ? ?1,2 内至少存在一个实数 x ，使得 ( ) 0fx? 成立，
9、求实数 a 的取值范围 . 20.（本题满分 12分） 已知函数 ()fx满足 12(lo g ) ( )1a af x x xa ?，其中 0a? 且 1.a? （ 1）对于函数 ()fx，当 ( 1,1)x? 时， 2(1 ) (1 ) 0f m f m? ? ? ?，求实数 m 的取值范围； （ 2）当 ( ,2)x? 时， ( ) 4fx? 的值恒为负数，求 a 的取值范围 . 21.（本题满分 12分） 已知 bxaxexf x ? 2)( 2（ e 为自然对数的底数， Rba ?, ） . （ 1）设 )(xf? 为 )(xf 的导函数，证明：当 0?a 时， )(xf? 的最小值
10、小于 0； （ 2）若 0)(,0 ? xfa 恒成立，求符合条件的最小整数 .b - 4 - 请考生在（ 22） .（ 23）两题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分作答时用 2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑 22.（本题满分 10分） 选修 4-4：坐标系与参数 方程 tx 211? ?cos?x 已知直线 l ： （ t 为参数），曲线 1C ： （ ? 为参数） . ty 23? ?sin?y （ 1）设 l 与 1C 相交于 A， B两点，求 AB ： （ 2）若把曲线 1C 上各点的横坐标压缩为原来的 21 ，纵坐标压缩为原来的 23 ，得到曲线 2C ，
11、设点 P是曲线 2C 上的一个动点，求它到直线 l 的距离的最小值 . 23.（本小题满分 10分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 .2)( aaxxf ? （ 1）若不等式 6)( ?xf 的解集为 ? ?32| ? xx ，求实数 a 的值； （ 2）在（ 1）的条件下，若存在实数 n 使 )()( nfmnf ? 成立，求实数 m 的取值范围 . - 5 - 高三 数学（理） 试题 答案 1 5 ABDCD 6 10 DCDBC 11 12CB 13 1 14 2? 15 43 16 1 2 3,p p p 17若 p 为真，则对 ? ? 221 ,1 , 4 8 2 2x m m
12、x x? ? ? ? ? ? ?恒成立 . 设 2( ) 2 2f x x x? ? ?， 配方得 2( ) ( 1) 3f x x? ? ?， ()fx在 ? ?1,1? 上的最小值为 3， 24 8 3mm? ? 解得1322m?， p 为真时， 1322m?. ? 3分 若 q 为真，则 ? ? 21, 2 , 1 2x x m x? ? ? ? ?成立，即 2 1xm x? 成立 . 设 2 11() xg x xxx? ? ?，则 ()gx在 ? ?1,2 上是增函数， ()gx的最大值为 3(2) 2g ? ， 3,2m? q 为真时， 3.2m? ? 6分 “ pq? ”为真，“
13、 pq? ”为假， p 与 q 一真一假 . 13,22m? 当 p 真 q 假时， 3;2m? ? 8分 3,2m? 12m? 或 32m? 当 p 假 q 真时， 1.2m? 3,2m? 综上所述，实数 m 的取值范围是 13|22m m m?或? 10分 18（ 1）由正弦定理，得 3 s i n c o s 2 s i n c o s 3 s i n c o s ,A C B A C A? 3 s in ( ) 2 s in c o sA C B A?，即 3 sin 2 sin cos .B B A? B为 ABC? 的内角， sin 0B? ， 3cos 2A? . - 6 - A
14、为 ABC? 的内角， 6A ? . ? 5分 （ 2） 255c o s ( ) 2 s i n s i n c o s 1 s i n c o s ( ) 12 2 6CB B C B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?sinB ? 5 5 3 3c o s c o s s i n s i n 1 s i n c o s 1 3 s i n ( ) 1 .6 6 2 2 6B B B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 8分 由 6A ? 可知， 5(0, )6B ? 21( , ) , s in ( ) ,1 ,6 6 3 6 2BB? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ?3 sin( ) 16B ? 32, 3 12? ? ? ?， 故 25cos( ) 2 sin22CB? ? 的取值范围为 32, 3 1 .2? ? 12 分 19（ 1）当 1a? 时， 2( ) 3 2f x x x? ?，由 ( ) 0fx? ? ，得 0x? 或 23x? ， 所以函数 ()y f x? 在 ( ,0)? 与 2( , )3? 上为增函数， 即函数 ()y f x? 的单调递增区间是 ( ,0)? 和 2( , )3? . ? 4分 （ 2） 2 2( ) 3 2 3 ( )3f x x a x x x a? ? ? ? ?，当 2 13a? ，即 32a?
16、 时， ( ) 0fx? ? 在 1， 2恒成立，()fx在 1， 2上为增函数，故 m in( ) (1) 11f x f a? ? ?，所以 11 0, 11aa? ? ? ，这与 32a?矛盾 . ? 6分 当 2123a?，即 3 32 a?时，若 21 3xa? ，则 ( ) 0fx? ? ； 若 2 23ax?，则 ( ) 0.fx? ? 所以当 23xa? 时， ()fx取得最小值， 因此 2( ) 03fa? ，即 3 3 38 4 41 0 1 0 02 7 9 2 7a a a? ? ? ? ? ?，可得 3a? ， 这与 3 32 a?矛盾 . ? 9分 当 2 23a?
17、 ，即 3a? 时， ( ) 0fx? ? 在 1， 2恒成立， ()fx在 1， 2上为减函数，所以m in( ) (2 ) 1 8 4f x f a? ? ?，所以 18 4 0a?，解得 92a? ，满足 3a? . ? 11分 综上所述，实数 a 的取值范围为 9( , ).2? ? 12分 20（ 1）令 txa?log ，则 .tax? )(1)(2 tt aaa atf ?， - 7 - ).(1)(2 xx aaa axf ? 2分 ),()(1)(1)(22 xfaaa aaaa axf xxxx ? ? )(xf 在定义域内为奇函数 . 又2( ) ( ) l n 0 (
18、0 1 )1 xxaf x a a a a aa ? ? ? ? ? ? )(xf 在 定 义 域 内 为 增 函数 . ? 4分 由 0)1()1( 2 ? mfmf 可得 ),1()1()1( 22 ? mfmfmf ,111 ? m 21,111 2 ? mm 解得 ,11 2 ? mm 故实数 m 的取值范围是 )2,1( ? 6分 （ 2）由（ 1）可知 )(xf 是单调递增函数，当 2?x 时， 04)( ?xf ， 即 04)2( ?f ，? 8分 04)(1 222 ? ?aaa a，整理得 01 )14)(1(222 ? ? a aaa ， 解得 13232 ? aa 且， a 的取值范围是 ? ? ? ?32,11,32 ? ? ? 12 分 21（ 1）【证明】 令 22)()( ? axexfxg x，则 .2)( aexg x ? 因为 0?a ，令 ( ) 0gx? ? ，则 ln2xa? . ? 1分 所以当 )2ln,( ax ? 时， )(,0)( xgxg ? 单调递减； 当 ),2(ln ? ax 时， )(,0)( xgxg ? 单调递增 . 则 .22ln2222ln2)2( l n)()( 2lnm i nm i n ? aaaaaeagxgxf a ? 3分 令 .ln)1( ln1)(),
