1、 1 陕西省 2017届高三数学上学期第二次模考试题 理 注意事项： 1.本卷分第 卷 (选择题 )和第 卷 (非选择题 )两 部分 . 答案均写在答题 纸 上，满分 150分，时间 120分钟 . 2.学生领到试卷后，请 检查条形码信息是否正确 . 并 按规定在 答题纸 上填写姓名、准考证号， 及 填涂对应的试卷类型信息 . 3.答卷必须用 0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整，笔迹清晰 . 并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效 . 4.只交 答 题 纸 ，不交试题卷 . 第 卷（选择题 共 60分） 一、选择题 (本大题共 12小题 ， 每小题 5分 ， 共 60分
2、 , 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 .) 1 复数 3ii? 在复平面上对应的点位于（ ） .A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2 集合 2 9 0P x x? ? ?， 1 3Q x Z x? ? ? ? ?，则 PQ? （ ） .A 3 3xx? ? ? .B 1 3xx? ? ? .C 1,0,1,2,3? .D 1,0,1,2? 3 已知 4cos 5? 且 ( , )2? ，则 tan( )4? 等于 （ ） .A 17? .B 7? .C 17 .D 7 4若 命题 :p 对任意的 xR ，都有 3210xx- + ，则 p 为
3、 （ ） .A 不存在 xR ，使得 3210xx? ? ? .B 存在 xR ，使得 3210xx? ? ? .C 对任意的 xR ，都有 3210xx? ? ? .D 存在 xR ，使得 3210xx? ? ? 5 在等比数列 na 中， 1 4a? ，公比为 q ，前 n 项和为 nS ，若数列 2nS? 也是等比数列，则 q等于 （ ） .A 2 .B 2? .C 3 .D 3? 2 6 已知向量 (1,1)a? ， 2 (4,2)ab? ，则向量 ,ab的夹角的余弦值为 （ ） .A 3 1010 .B 3 1010? .C 22 .D 22? 7 函数 ( ) s i n ( 2
4、) 3 c o s ( 2 )f x x x? ? ? ?是偶函数的充要条件是 （ ） .A ,6k k Z? ? ? .B 2,6k k Z? ? ? .C ,3k k Z? ? ? .D 2,3k k Z? ? ? 8 执行如下图所示的程序框图（算法流程图），输出的结果是 （ ） .A 9 .B 121 .C 130 .D 17021 9 双曲线 22 1( 0 , 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 2 ，则 2 13ba?的最小值为 （ ） .A 233 .B 33 .C 2 .D 1 10 如果实数 xy、 满足条件101010xyyxy? ? ? ? ?，那么 42xyz
5、 ? 的最大值为（ ） .A 1 .B 2 .C 12 .D 14 11 已知偶函数 ()2fx? ， 当 ( , )22x ? 时， 13( ) sinf x x x? 设 (1)af? ， (2)bf? ，(3)cf? ，则（ ） .A abc? .B b c a? .C c b a? .D c a b? 12已知 ABC? 中， abc, 分 别为角 ABC, 所对的边，且 4a? ， 5bc? ， tan tan 3AB? ? ? 3 tan tanAB? ，则 ABC? 的面积为（ ） .A 32 .B 33 .C 332 .D 32 开始 1, 2ab? c a b? 2016?c
6、? 否 输入 a 开始 ab?2bc? 是 3 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、填空题（ 本大题共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ,把答案填在答题卷中相应的横线上 .） 13设 nS 是 等差数列 na 的前 n 项和，已知 2 3a? ， 6 11a? ，则 7S? . 14 直线 yx? 与函数22,() 4 2 ,xmfx x x x m? ? ? ? ?的图象恰有三个公共点，则实数 m 的取值范围是 . 15设 F 为抛物线 214yx? 的焦点，与抛物线相切于点 ( 4, 4)P? 的直线 l 与 x 轴交于点 Q ，则PQF? . 16如 右 图，在小正方形边长为 1
7、的网格中画出了某多面体的三视图， 则该多面体 的外接球表面积为 . 三、解答题 ： 本大题共 6小题，共 70分 . 解答应写出文字说明 ， 证明过程或演算步骤 . 17.(本小题满分 12分 ) 设等差数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 1n nb S?， 且3312ab?， 5321SS?，记1nniiTb?， 求nT 18.(本小题满分 12分 ) 如图 ,在 ABC? 中，已知点 DE、 分别在边 AB BC、 上，且 3AB AD? ， 2BC BE? . （ 1） 用向量 AB 、 AC 表示 DE ； （ 2） 设 6AB? , 4AC? , 60A?,求线段 DE 的长
8、. A BCDE4 19.(本小题满分 12分 ) 如 图 ， AC 是 圆 O 的直径，点 B 在 圆 O 上， 30BAC ?， BM AC? 交 AC 于点 M ， EA? 平面 ABC ， /FC EA ， 4AC? ， 3EA? ， 1FC? （ 1）证明： EM BF? ； （ 2）求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余 弦值 20.(本小题满分 12分 ) 已知圆 22:1O x y?和定点 (2,1)A ，由圆 O 外一点 ( , )Pab 向圆 O 引切线 PQ ，切点为 Q ，且满足 | | | |PQ PA? （ 1）求实数 ab、 间满足的等量关系； （ 2
9、）求线段 PQ 长 的最小值； （ 3）若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 O 有公共点，试求半径取 最小值时圆 P 的方程 21.(本小题满分 12分 ) 已知函数 )1ln ()( 2 ? xaxxxf （ Ra? ） （ 1）当 2?a 时，求函数 )(xf 的极值点； （ 2）若 函数 )(xf 在区间 )1,0( 上恒有 ()f x x? ? ，求实数 a 的取值范围； （ 3）已知 01?c ，且 1 ()nnc f c? ? ( 1,2, )n? ? ，在（ 2）的条件下，证明数列 nc 是单调递增Q PAO xy2 32ABCFEOM5 数列 请考生在第 22、 23题中任选一
10、题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 并请考生务必将答题卡中对 所选试题的题号进行涂写 . 22.(本小题满分 10分 )选修 44? ：坐标系与参数方程选讲 . 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线1 cos: sinx a aC ya ? ?（ ? 为参数 ，实数 0?a ），曲线 2:C cossinxby b b? ? ? （ ? 为参数 ，实数 0?b ） . 在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 )20,0(: ? ?l 与 1C 交于 OA、 两点 ， 与 2C 交于 ,OB两点 . 当 0? 时，1| ?OA ； 当 2? 时， 2| ?OB . （
11、1） 求 ba, 的值； （ 2） 求 |2 2 OBOAOA ? 的最大值 . 23.(本小题满分 10分 )选修 45? ：不等式选讲 . 设函数 |1|2|)( axaxxf ? （ xR? ，实数 0a? ） . （ 1） 若 25)0( ?f ，求实数 a 的取值范围； （ 2） 求证： 2)( ?xf . 6 高 2017届第二次模拟 数学试题参考答案 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C D C C A B A B D C 二、 填空题：本大题共 3小题，每小 题 5分 . 题号
12、 13 14 15 16 答案 49 1,2)? 2? 34? 三 .解答题：本大题共 6道小题，共 70分 . 17（本小题 12 分） 解： 设等差数列 na 的 公差为 d ，则1 ( 1)2n nnS na d?. 所以3 1 1 23 ( 3 1 )3 3 ( ) 32S a d a d a? ? ? ? ?，3 32113b Sa?，5 1 1 35 ( 5 1 )5 5 ( 2 ) 52S a d a d a? ? ? ? ?. 由 3 1332 11533211 ,32 1.2 8 1 3 2 121 5 3 2 1a adaba adadSS aa? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ?6分 所以 ( 1 ) ( 1 )22n n n n nSn ? ? ?. 所以 1 2 1 12 ( )( 1 ) 1n nb S n n n n? ? ? ?. 所以11 1 1 1 1 1 1 22 ( ) ( ) ( ) 2 ( 1 )1 2 2 3 1 1 1nniinTb n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 12分 18.（本小题满分 12分） 解： （ 1） 由题意可得： 2132D E D B B E A B B C? ? ? ?21()32A B A C A B? ? ?1162AB AC? 5 分 （ 2 ） 由 116
14、2D E A B A C? 可 得 ：2 2 2221 1 1 1 1| | ( )6 2 3 6 6 4D E D E A B A C A B A B A C A C? ? ? ? ? ? ? 9分 221 1 16 6 4 c o s 6 0 4 73 6 6 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故 7DE? . 12 分 7 19.（本小 题满 分 12分） 证： （ 1） ?EA? 平面 ABC， ?BM 平面 ABC ， BMEA? 又 AC，BM ? AACEA ? ， ?BM 平面 .ACFE 而 ?EM 平面ACFE，EMBM ? 3分 AC 是圆 O 的直径， 90A
15、BC? ? 又 ，BAC ? 30? 4?AC ， ，BCAB 232 ? 1,3 ? CMAM ?EA? 平面 ABC， EAFC/ ， 1?FC ， ?FC 平面 ABCD EAM? 与 FCM? 都是等腰直角三角形 ? 45F M CE M A ? 90EMF ，即 MFEM? （也可由勾股定理证得） MBMMF ? ， ?EM 平面 MBF 而 ?BF 平面 MBF ， ?EM BF 6分 （ 2） （文） 由（）可知 , 3 , E B M F B M E FB M M E F B M V V? ? ?平 面 且 而, 又有（）可知 003 , 4 5 , 1 , 4 5A E A
16、M A M E F C C M C M F? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 090EMF? ? , 3 2 , 2M B M F?, 8 分 1 3 2 2 32M E FS ? ? ? ? ?. 10分 1 3 3 33E B M FV ? ? ? ? ? 12分 （） （理） 如图，以 A 为坐标原点， ,ACAE 所在的直线分别为 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . 由已知条件得： ( 0 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) , ( 3 , 3 , 0 ) , ( 0 , 4 , 1 )A M E B F， ( 3 , 3 ,
17、3 ) , ( 3 , 1 , 1 )B E B F? ? ? ? ? 设平面 BEF 的法向量为 ),( zyxn? ， （第 19 题图） 8 由 0, 0,n B E n B F? ? ? ? 得 3 3 3 030x y zx y z? ? ? ? ? ? ?， 令 3?x 得 1, 2yz?， ? ?3,1, 2n? . 9分 由已知 ?EA 平面 ABC ，所以取面 ABC 的法向量为 (0, 0, 3)AE ? . 设平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角为 ? ， 则 3 0 1 0 2 3 2c o s c o s ,23 2 2n A E? ? ? ? ? ? ? ?
18、 ? ? ?. 平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值为 22 12分 20.（本小 题满 分 12分） 【解析】 （） 连 ,OP Q 为切点， PQ OQ? ， 由勾股定理有 2 2 2PQ O P O Q?. 又由已知 PQ PA? ，故 22PQ PA? . 即 2 2 2 2 2( ) 1 ( 2 ) ( 1 )a b a b? ? ? ? ? ?. 化简得 实数 a、 b间满足的等量关系为 ： 2 3 0ab?. （）方法一： 由 2 3 0ab?，得 23ba? ? . 2 2 2 21 ( 2 3 ) 1P Q a b a a? ? ? ? ? ? ? ? 25 12 8aa? ? ?= 2645( )55a?. 故当 65a? 时
