1、 - 1 - “ 皖南八校 ”2018 届高三第二次联考 数 学（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 因为集合 ，则 ， 故选 D. 2. 已知 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】 A 【解析】化简 ，由 是纯虚数可得， 解得 ，故选 A. 3. 已 知向量 满足 ， ， ，则 A. B. 3 C. 5 D. 9 【答案】 B 【解析】因为 ， 所以 ，故选 B.
2、4. 已知直线 平分圆 的周长，且直线 不经过第三象限，则直线 的倾斜角 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】圆 的标准方程为 ， 故直线 过圆 的圆心，因为直线 不经过第三象限，结合图象可知， ， ， 故选 A. - 2 - 5. 将函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左 平移 个单位，所得图象的一条对称轴的方程是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】函数 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍可得 的图象，再向左平移 个单位，所得 的图象，由 ， 时图象的一条对称轴的方程是 ， 故选 C. 6. 函数 的图象大致是 A. B. C. D.
3、【答案】 C 【解析】由 可得函数 ， 为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项 ；又由 可排除选项 ， 故选 C. 7. 若 ， 展开式中， 的系数为 -20， 则 等于 A. -1 B. C. -2 D. 【答案】 A 【解析】由 ， 可得 将选项 中的数值代入验证可得 ， 符合题意，故选 A. - 3 - 8. 当 时，执行如图所示的程序框图，输出 的值为（ ） A. 28 B. 36 C. 68 D. 196 【答案】 D 【解析】执行程序框图， ； ； ， 退出循环，输出 ， 故选 D. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几
4、点： (1) 不要混淆处理框和输入框； (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 ,（ 6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 . 9. 榫卯（ ）是我国古代工匠极为精巧的发明，它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式 . 我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构 . 图中网格小正方形的边长为 1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图 ，则其体积与表面积分别为
5、 A. B. - 4 - C. D. 【答案】 C 【解析】由三视图可知 ， 这榫卯构件中榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成 ， 故其体积，表面积， 故选 C. 【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题 .三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点 .观察三视图并将其 “ 翻译 ” 成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素 “ 高平齐，长对正，宽相等 ” ，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响 . 10. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，若在直线 上存在点 使线段的中垂线过点 ，则椭圆离心率的取值范围
6、是 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为直线 上存在点 使线段 的中垂线过点 ， 所以 ， 根据种垂涎的性质以及直角三角形的性质可得， ， ， 又因为 ， 椭圆离心率的取值范围是 ， 故选 B. 11. 已知 ，且 ，则 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】依题意， ， 令 ， 则原式化为 ，解得 舍去），故 ， 则 ， 即 ， 即 ， 解得 或 ， 则 ， 故选 D. 12. 已知函数 若关于 的方程 至少有两个不同的实数解，则实数 的取值范围为（ ） A. B. - 5 - C. D. 【答案】 A 【解析】 令 ， 关于 的方程 至少有两个不同的实数解等价于，至少
7、有两个不同的实数解 ， 即函数 的图象与直线 至少有两个交点，作出函数 的图象如图所示，直线 过定点 ， 故可以寻找出临界状态下虚线所示，联立 ， 故 ， 即 ， 令 ， 解得 ， 故 ，结合图象知，实数 的取值范围为 ， 故选 A. 【 方法点睛 】 已知函数有零点 (方程根 )的个数求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围 ； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决 ； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数的图象的交点个数问题
8、，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 . 二、填空题：本小题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 . 13. 在 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8 中任取 三个不同的数，取到 3 的概率为 _ 【答案】 【解析】在 、 中任取三个不同的数，共有 种取法，其中一定取到 的方法有 种，在 、 中任取三个不同的数取到 的概率为 ， 故答案为 . 14. 已知 的面积为 ，角 的对边分别为 ，若 ， ， ，则_ 【答案】 【解析】 ， ， ， 可得 ， 所以得 ，- 6 - 由余弦定理可得 ， ， 故答案为 . 15. 已知函
9、数 是偶函数，定义域为 ，且 时， ，则曲线在点 处的切线方程为 _ 【答案】 【解析】 曲线 在点 处的切线方程为 ，又 是偶函数， 曲线 在点 处的切线方程与曲线 在点 处的切线方程故意 轴对称，为 ， 故答案为 . 【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性以及利用导数求曲线切线题，属于中档题 . 求曲线切线方程的一般步骤是：（ 1）求出 在 处的导数，即 在点 出的切线斜率（当曲线 在 处的切线与 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为 ）；（ 2）由点斜式求得切线方程 . 16. 已知正方体 的体积为 1，点 在线段 上（点 异于点 ） ，点 为线段 的中点，若平面 截正方体 所得的截面为
10、四边形，则 线段 长的取值范围为 _ 【答案】 【解析】 依题意，正方体 的棱长为 ， 如图所示，当点 线段 的中点时 ， 由题意可知，截面为四边形 ， 从而当 时，截面为四边形，当 时 ， 平面 与平面 也有交线，故截面为五边形 ， 平面 截正方体 所得的截面为四边形 ， 线段的取值范围为 ， 故答案为 . 三、解答题 ：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 . - 7 - （一）必考题：共 60 分 17. 已知 是等比数列， 满足 ，且 . （ ）求 的通项公式和前
11、项和 ； （ ）求 的通项公式 . 【答案】 () ； () . 【解析】试题分析： （ I） 由 ， 令 可解得 ， 从而可得 的通项公式和前 项和 ；（ II） 结合 （ I） 的结论，可得， 从而得 时， 两式相减 、 化简即可得 的通项公式 . 试题解析：（ ） ， ， ， ， ， ， 是等比数列， ， 的通项公式为 ， 的前 项和 . （ ）由 及 得 ， 时， ， ， ， ， - 8 - 的通项公式为 .， 18. 随着网络时代的进步，流量成为手机的附带品，人们可以利用手机随时随地的浏览网页，聊天，看视频，因此，社会上产生了很多低头族 .某研究人员对该地区 1850 岁的 5000
12、 名居民在月流量的使用情况上做出调查，所得结果统计如下图所示： （ ) 以频率估计概率，若在该地区任取 3 位居民，其中恰有 位居民的月流量的使用情况 在 300M400M 之间，求 的期望 ； （ ）求被抽查的居民使用流量的平均值； （ ）经过数据分析，在一定的范围内，流量套餐的打折情况 与其日销售份数 成线性相关 关系，该研究人员将流量套餐的打折情况 与其日销售份数 的结果统计如下表所示： 折扣 1 折 2 折 3 折 4 折 5 折 销售份数 50 85 115 140 160 试建立 关于 的的回归方程 . 附注：回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ， - 9 - 【答案
13、】 ()0.75 ； ()369M ； () . 【解析】试题分析： （ I） 直接根据二项分布的期望公式求解即可 ；（ II） 根据频率分布直方图中数据，每组数据中间值与纵坐标的乘积之和即是被抽查的居民使用流量的平均值； ( )先根据平均值公式求出样本中心点的坐标，利用公式 求出 ， 样本中心点 坐标代入回归方程可得 ， 从而可得结果 . 试题解析：（ ）依题意， ，故 ； （ ）依题意，所求平均数为故所用流量的平均值为 ； （ ) 由题意可知 ， ， ， 所以， 关于 的回归方程为： . 【方法点晴】本题主要考查二项分布的期望公式、直方图的应用和线性回归方程的求法，属于难题 .求回归直线方
14、程的步骤： 依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系； 计算 的值； 计算回归系数 ； 写出回归直线方程为 ； 回归直线过样本点中心 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助 我们分析两个变量的变化趋势 . 19. 在四棱锥 中，底面 是矩形， 平面 ， 是等腰三角形， ，- 10 - 是 的一个三等分点（靠近点 ）， 与 的延长线交于点 ，连接 . （ ）求证：平面 平面 ； （ ）求二面角 的正切值 【答案】 (1)证明见解析； (2) . 【解析】试题分析： （ I） 由线面垂直的性质可得 ， 由矩形的性质可得 ， 从而由线面垂直的判定定理可得 平面 ， 进而由面面垂直的判定定理可得结论 ；（ II） 以 ， 分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系 ， 分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据 空间向量夹角余弦公式，可得夹角余弦值，利用同角三角函数之间的关系可得正切值 . 试题解析：（ ）证明：因为 平面 ，所以 又因为底面 是矩形，所以 又因为 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . （ ) 解：方法一：（几何法 )过点 作 ，
