1、 - 1 - 天一大联考 2017-2018 学年高中毕业班阶段性测试（三） 数学（文科） 第 卷（共 60分） 一、选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 所以 2. 已知 是虚数单位，若复数 为纯虚数（ ， ），则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 为纯虚数，所以 ，所以 ，所以 点晴：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题，首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如 ， ， 其
2、次要熟悉复数的相关基本概念，如复数 的实部为 ，虚部为 ，模为 ，对应点为 ，共轭复数为 . 3. 如图是一边长为 8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的 2倍若在正方形图案上随机取一点，则该点取自白色区域的概率为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由题 意得正方形的内切圆的半径为 4， 中间黑色大圆的半径为 2， 黑色小圆的半径为1， 所以白色区域的面积为 ， 由几何概型概率公式可得所求概率为。 选 D。 4. 已知侧棱长为 的正四棱锥 的五个顶点都在同一个球面上，且球心 在底面正方形上，
3、则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】设球的半径为 R,则由题意可得 ，解得 R=1,故球的表面积. 5. 已知函数 （ ）的最小值为 2，则实数 （ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】 B 【解析】由 得 ， 故函数的定义域为 ， 易知函数 在 上单调递增，所以 ， 解得 。 选 B。 6. 若函数 关于直线 （ ）对称，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意得， ，即 ， ， 时， 的最- 3 - 大值为 . 7. 已知数列 满足 ， ， ，则数列 前 项的和等于（ ） A. 162 B. 182 C.
4、 234 D. 346 【答案】 B 【解析】由条件得 ， 所以 ， 因此数列 为等差数列。又 ， ，所以 。 故 。选 B。 点睛： . 8. 用 ， ， ? ， 表示某培训班 10名学员的成绩，其成绩依次为85,68,95,75,88,92,90,80,78,87执行如图所示的程序框图，若分别输入 的 10个值，则输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】根据程序框图可知程序框图中的 n记录输入的数据中大于等于 80分的学生的人数，在给出的 10 个数据中，大于等于 80的数据的个数为 7个，故输出的值为 。 选 C。 9. 如图画 出的是某几何体的三视图，则该几
5、何体的体积为（ ） - 4 - A. 16 B. 32 C. 48 D. 60 【答案】 A 【解析】由三视图可得，该几何体是一个四棱锥，高为 4， 底面为上底、下底分别为 2,4， 高为 4的直角梯形，故此四棱锥的体积为 。 选 A。 10. 已知 ， ， ，且 ，则 的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】 B 【解析】由 ， ， 得， ，当且仅当 时等号成立。选 B。 11. 已知 是双曲线 的左焦点，定点 ， 是双曲线右支上的动点，若 的最小值是 9，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】设双曲线的右焦点为 ，由双曲线的定
6、义有 ，所以，当 三点共线时 有最小值为，解得 ，所以离心率为 . 12. 已知函数 ，若函数 在 上只有两个零点，则实数 的值不可能为（ ） - 5 - A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】函数 的零点为函数 与 图象的交点，在同一直角坐标下作出函数 与 的图象，如图所示， 当 函数 的图象经过点（ 2， 0）时满足条件，此时 ，当函数 的图象经过点（ 4， 0）时满足条件，此时 ，当函数 的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得 ， 综上所述，或 或 。 点睛 :研究函数零点问题常常转化为函数的图象的交点个数问题 .本题中已知函数有 2个零点求参数 k的取值范围，转化为函数 与 图
7、象的交点，注意到函数 过定点（ 2， 0），并且函数 的图象是圆的一部分，即，在线的旋转过程中，求 k可得结论 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13. 某班学生 ， 在高三 8次月考的化学成绩用茎叶图表示如图，其中学生 的平均成绩与学生 的成绩的众数相等，则 _ 【答案】 5 - 6 - 【解析】由题意，得 ，解得 . 14. 已知实数 ， 满足 则 的最大值为 _ 【答案】 48 【解析】作出可行域如图所示， 由图知当目标函数 经过点 时取得最大值，即 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想 .需要注意的是：一、准确
8、无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、 一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得 . 15. 如图，在等腰梯形 中， ，点 ， 分别为线段 ， 的三等分点， 为 的中点，则 _ 【答案】 【解析】以 O为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系， 连接 BO，易证得 为等边三角形，所以 ，则 所以，所以 - 7 - 16. 一条斜率为 2的直线过抛物线 的焦点 且与抛物线交于 ， 两点， ， 在轴上的射影分别为 ， ，若梯形 的面积为 ，则 _ 【答案】 所以 则 所以 所以 所 以 . 三、解答题 （本大题共 6小
9、题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知等差数列 的前 项分别为 1， ， ，公比不为 1的等比数列 的前 3项分别为 4， （ 1）求数列 与 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】（ 1） ， （ 2） 【解析】试题分析： （ 1）由题意可求得 ， 从而可得到等差数列的公差和等比数列的公比，从而可求得数列的通项公式。（ 2） 由 （ 1） 可得 ， 从而利用裂项相消法求和。 试题解析： （ 1）由题意，得 解得 （舍去）或 所以等差数列 的公差为 ， 故 ， - 8 - 等比数列 的公比为 ， 故 . （ 2）由（ 1）得 ， 所以 .
10、 18. 在 中，内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，满足 （ 1）求角 ； （ 2）设 ，且 ，求 的面积 【答案】（ 1） （ 2） 【解析】试题分析： （ 1）对等式进行变换，结合正余弦定理可得 ，从而得到 A. （ 2） 对给定的三角等式化简可得 ，分 和 两种情况解三角形即可 . 试题解析：（ 1） ， 由余弦定理，得 ，即 由正弦定理与同角三角函数基本关系，得 ， ， （ 2）由条件得 ， ， 当 时， ，不符合题意； 当 时， ， ， ， 19. 随着高等级公路的迅速发展，公路绿化受到高度重视，需要大量各种苗木某苗圃培植场对 100棵 “ 天竺桂 ” 的移栽成活量 （单位：棵）
11、与在前三个月内浇水次数 间的关系进行研究，根据以往的记录，整理相关的数据信息如图所示： - 9 - （ 1）结合图中前 4个矩形提供的数据，利用最小二乘法求 关于 的回归直线方程； （ 2）用 表示（ 1）中所求的回归直线方程得到的 100 棵 “ 天竺桂 ” 的移栽成活量的估计值，当图中余下的矩形对应的数据组 的残差的绝 对值 ，则回归直线方程有参考价值，试问：（ 1）中所得到的回归直线方程有参考价值吗？ （ 3）预测 100棵 “ 天竺桂 ” 移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数 附：回归直线方程为 ，其中 ， 【答案】（ 1） （ 2）见解析；（ 3） 7次 【解析】试题分析：（
12、 1）先计算样本中心坐标，利用公式求出 b， a，得到回归直线方程 （ 2）通过回归方程，当 时， ，则 （ 3）通过回归方程， 100棵 “ 天竺桂 ” 移栽后全部成活，则由 ，得 ，可得最佳浇水次数 . 试题解析：（ 1）由所给数据计算得 ， ， ， ， ， ， ， ， - 10 - 所以回归直线方程是 （ 2）当 时， ，则 ， 可以认为所得到的回归直线方程是有参考价值的 （ 3）预测 100棵 “ 天竺桂 ” 移栽后全部成活，则由 ，得 ， 则预测 100棵 “ 天竺桂 ” 移栽后全部成活时，在前三个月内浇水的最佳次数为 7次 20. 如图，已知四棱锥 的底面为直角梯形， ， ，且 ， （ 1）求证：平面 平面 ； （ 2）若 且 ， ， 分别是 ， 的中点，求多面体 的体积 【答案】（ 1）见解析；（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）通过证明平面 内的 平面 ，可 证得平面 平面 . （ 2）利用 ，可求得所求体积 . 试题解析：（ 1）证明：如图，分别取 ， 的中点 ， ，连接 ， ， ， ，则四边形 为正方形， ， ， 又 ， ， 平面 ， ， ， 又 与 为平面 内的两条相交直线， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 （ 2）解： 且 ，则由 ，知 ， 分别是 ， 的中点， 三棱锥 与三棱锥 的高均等于 ， ，
