1、 - 1 - 福建省莆田市 2018 届高三数学 10 月月考试题 理（实验班） （时间 120 分钟，满分 150 分） 一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题 5 分，共 60 分） 1 设集 合 M y|y 2sinx， x 5， 5， N x|y log2(x 1)， 则 MN ( ) A x|1 1. 其中的真命题是 ( ) A p1， p3 B p2， p3 C p1， p4 D p3， p4 二、填空题 (共 4 小题，每小题 5 分， 共 20 分 ) 13 在梯形 ABCD 中 ， 已知 ABCD ， AB 2CD， M， N 分别为 CD， BC 的中点
2、若 AB AM AN ，则 _ 14 A， B 是非空集合 ， 若 aA ， b B， 且满足 |a b|AB ， 则称 a， b 是集合 A， B 的一对“ 基因元 ” 若 A 2， 3， 5， 9， B 1， 3， 6， 8， 则集合 A， B 的 “ 基因元 ” 的对数是 _ 15 已知数集 A a1， a2， a3， a4， a5(0a 10)上存在极值 ， 求 实数 a 的取值范围； (2)如果当 x1 时 ， 不等式 f(x) mx 1恒成立 ， 求实数 m 的取值范围 21（ 12 分） 已知定义在 (0, )? 上的函数 ()fx 满足 1( ) ( )f x fx?，且当 1
3、, )x? ? 时，1 1( ) e ln ( )xf x x a x tx? ? ? ? ?， t?R （ ）若 0a? ，试讨论函数 ()fx的零点个数； （ ）若 1t? ，求证：当 1a? 时， ( ) 0fx? (二 )选考题：共 10 分 . 请考生在第 22、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 - 4 - 在直角坐标系 xOy ，直线 l 的参数方程是 + cos ,sin .x m tyt ? ?（ t 是参数）在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 曲线 C ： 4cos? （ ）当 1m? ， =30
4、? 时，判断直线 l 与曲线 C 的位置关系； （ ）当 1m? 时，若直线 l 与曲线 C 相交于 ,AB两点，设 (1,0)P ，且 1PA PB?,求直线 l 的倾斜角 23 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 ? ?( ) 2 1 2f x x x t t? ? ? ? ? R （ ）当 3t? 时 ， 解关于 x 的不等式 ( ) 1fx? ； （ ） x?R ， 使 ( ) 5fx? ，求 t 的取值范围 - 5 - 高三（上）十月份月考理科数学（ A）参考答案： 1 D， 2 C， 3 B， 4 B， 5 A， 6 B， 7 B， 8 D， 9 C， 10 A 11 C， 12
5、D 13 45， 14 13， 15 30， 16 300 17 解析 2B A C， B 3 ， A C 23 ， 00. |m| 2sinB2.又 | n| 2， cos m n|m| n| 2sinB4sinB2 cosB2 12. B2 3 ， B 23 . - 6 - (2)由余弦定理 ， 得 b2 a2 c2 2accos23 a2 c2 ac (a c)2 ac(a c)2 (a c2 )2 34(a c)2， 当且仅当 a c 时 ， 取等号 (a c)2 4， 即 a c2. 又 a cb 3， a c( 3， 2 20 解： (1)因为函数 f(x) 1 lnxx ， 且定
6、义域为 x|x0， 所以 f (x) lnxx2 .当 00；当 x1 时 ， f (x)0)上存在极值 ， ?a1， 解得130， 从而 g (x)0， 故 g(x)在 1， )上也是单调递增 ， g(x)min g(1) 2， m 2. 21 解 : （ ） 1, )x? ? 时 ， 121( ) e 0x af x axx? ? ? ? ? ?， ?1分 ()fx在 1, )? 上为增函数； ? 2 分 当 (0,1x? 时， 1 1,+x?），又 1( ) ( )f x fx?， 211( ) ( ) 0f x fxx? ? ?， ()fx在 (0,1 上为减函数 . ? 3 分 mi
7、n( ) (1) 1f x f t? ? ? 当 1t? 时，函数 ()fx在定义域内无零点；当 1t? 时，函数 ()fx在定义域内有一个零点； 当 1t? 时， (1) 1 0ft? ? ? ，取 e1tx?，则 lnxt? ， 1111( ) e ln ( ) e ( ) 0xxf x x a x t a xxx? ? ? ? ? ? ? ? ?， 函数 ()fx在 1, )? 上必有一个零点又由 1( ) ( )f x fx?， 故函数 ()fx在 (0,1 上也必有一个零点 当 1t? 时，函数 ()fx在定义域内有两个零点 ? 6 分 （ ） 由 1( ) ( )f x fx?，故
8、而只需研究 ()fx在 1, )? 上的取值情况 . - 7 - 当 1a? 时，由 1 0xx?，故 11()a x xxx? ? ?， 1 1 11 1 1( ) e l n ( ) 1 e l n 1 (e ) ( l n 1 )x x xf x x a x x x x xx x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? 7分 设 1( ) exg x x?，则 1( ) e 1 0xgx ? ? ? ?， ()gx在 1, )? 上单调递增， ( ) (1) 0g x g?， 1ex x? ， ? 9 分 1 lnxx? ，又 111 lnxx?，故
9、1ln 1xx?，即 1ln 1 0xx? ? ?， ? 10 分 1 1(e ) (ln 1) 0x xxx? ? ? ? ? ?. 当 1a? 时， 当 1, )x? ? 时， 1 1( ) e ln ( ) 1 0xf x x a xx? ? ? ? ? ?， 又 (0,1x? 时， 1( ) ( )f x fx?， ?1 1 分 所以当 (0,1)x? 时， 1 1( ) e ln ( ) 1 0xf x x a xx? ? ? ? ? ?也成立 综上， 当 1a? 时， ( ) 0fx? .?12 分 22 解 ： （ ） 由 4cos? ，得 2 4 cos? ? ? ，又 cos
10、x ? ， siny ? ， 得 曲线 C 的普通方程为 22( 2) 4xy? ? ?， ? 2 分 所以 曲线 C 是以 (2,0)M 为 圆心， 2 为 半径的圆 . 由直线 l 的参数方程为31,21 ,2xtyt? ? ? ?（ t 为参数）， 得 直线 l 的直角坐标方程为 3 1 0xy? ? ? ? 4 分 由圆心 M 到直线 l 的距离 | 2 0 1 | 3 2213d ? ? ?， 故 直线 l 与 曲线 C 相交 . ? 5 分 （ ） 直线 l 为经过点 (1,0)P 倾斜角为 ? 的直线， 由 1 cossinxtyt ? ?代入 22( 2) 4xy? ? ?，整
11、理得 2 2 cos 3 0tt ? ? ?， ? 6分 - 8 - 2(2 cos ) 12 0? ? ? ?，设 ,AB对应的参数分别为 12,tt，则 122costt ? ，12 30tt? ? ? ， 所以 1t ， 2t 异号， ? ? 7 分 则 12| | | | | | | 2 c o s | 1P A P B t t ? ? ? ? ?， ? 8 分 所以 1cos 2? 又 ? ?0,? ? 9 分 所以 直线 l 倾斜角 3? 或 23? . ?10 分 23 解 ： （ ）原不等式可化为 3 ,22 1 2 3 1xxx? ? ? ? ? ?或 13222 1 2 3
12、 1xxx? ? ? ? ? ? ?， 或122 1 2 3 1.x xx? ? ? ? ? ?， .分 解得 x? 或 1324x? ? ? 或 12x? 综上，原不等式的解集是 34xx?. .5 分 （ ）解： ,x?R 使 ( ) 5fx? ， 等价于 min( ) 5fx? .6 分 ? ? ? ?( ) 2 1 2 2 1 2 = 1 +f x x x t x x t t? ? ? ? ? ? ? ? .7 分 1+ ( ) 1+t f x t? ? ? ，所以 ()fx 取得最小值1+t? .8 分 1+ 5t? ? ， 得 4t? 或 6,t? ? t 的取值范围是? ? ? ?6 4 ,? ? ? ?， .10 分
