1、 - 1 - 广东省北京师范大学东莞石竹附属学校 2018-2019学年高三数学 9 月月考试题 文 一、 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 1. 设集合 ? ?2, 1, 0, 1, 2A ? ? ? ， ? ?|0B x x?，则 ()RA C B ? ( ) A. ? ?2, 1, 0, 1, 2? B. ? ?0,1, 2 C. ? ?0,1 D. ?1 2. 复数 21ii? ( ) A. 1i? B. 1i? C. 1i? D. 1i? 3. 若 ,xy满 足 1335 15xyxyxy? ?，则 z x y?的最大值为 ( ) A. 1 B. 3
2、C. 9 D. 12 4. 已知 | | 2a? ， | | 1b? ， 60o? ，则 ( ) ( 2 )b a b a? ? ? ?( ) A. 6? B. 6 C. 73? D. 73? 5. 已知等差数列 ?na 中， 4 9a? ， 4 24S? ，则 7a? ( ) A. 3 B. 7 C. 13 D. 15 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( ) A. 3? B. 43? C. 12? D. 48? 7已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数 为 A 30 B 31 C 32 D 33 8 “ pq? 为假 ” 是 “
3、 pq? 为假 ” 的（ ）条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 9如图所示， A是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点 A ，连接 AA ， - 2 - 得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半 径长度的概率为 ( ) A.12 B. 32 C.13 D.14 10已知 0a? ， 0b? ，并且 1a ， 12 ， 1b 成等差数列，则 9ab? 的最小值为 ( ) A 16 B 9 C 5 D 4 11函数 ? ? ? ?sinf x x?(? ， ? 是常数， 0? ， 2? ? )的部分图象如图所示，为得到函数 cosyx? ，只需将函数? ? ? ?sinf x
4、x?的图象（ ） A向左平移 12? 个长度单位 B向右平移 512? 个长度单位 C向左平移 6? 个长度单位 D向右平移 56? 个长度单位 12若命题： “ 存在 (0, )2x ? ，使 02co sco s3 2 ? xax 成立 ” 为假命题，则实数 a 的取值范围为 ( ) A 62,(? B 22,(? C 2,(? D ),62 ? 二、 填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 13 已知等比数列 ?na 中， 2 1a? ， 5 8a? ，则 ?na 的前 6项和为 _ 14若 关于 x 的不等式 (2 ) ( ) 0a b x a b? ? ? ?的解集为 |
5、 3xx? ，则 ba? 15 在直角 ABC 中， =2BAC ? ， H 是边 AB 上的动点， =8AB ， =10BC ，则 HBHC?的最小值为 _ 16 如图，在 DEF 中， M 在线段 DF 上， EM =DE =3，DM =2， cosF =35 ,则 MEF 的面积为 . 三、 解答题：本大题共 6小题，共 70分，其中第 22 题 10分 . 17已知 ( ) 4 3 s i n c o s 2 c o s 2 1f x x x x? ? ?， 0,3x ? （ ）求 ()fx的值域； y x56?712?1 1?O- 3 - （ ）若 CD 为 ABC? 的中线，已知
6、max()AC f x? ， min()BC f x? ， 1cos 3BCA?， 求 CD 的长 . 18某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入 4 万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示），由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从 0 开始计数的 （ 1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度； （ 2）试估计该公司投入 4 万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）； （ 3）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表： 广告投入 x（单位：万元） 1 2 3 4 5 销售收益 y
7、（单位：万元） 2 3 2 7 由表中的数据显示， x 与 y 之间存在着线性相关关系，请将（ 2）的结果填入空白栏，并求出y 关于 x 的回归直线方程 参考公式：1221 ?niiiniix y nxybx nxa y bx? ?- 4 - 19.如图，在矩形 ABCD 中， 2AB? ， 4AD? ， M 是 AD 的中点，将 MAB? 沿 BM向上折起，使平面 ABM? 平面 BCDM . （ 1） 求证： AB CM? ； （ 2） 求点 D 到平面 ACM 的距离 . 20 设 F1， F2分别是椭圆 E： 12222 ?byax (ab0) 的左、右焦点， E的离心率为22 ， 点
8、 (0,1)是 E上一点 （ 1） 求椭圆 E的方程； （ 2） 过点 F1的直线交椭圆 E于 A， B两点，且 BF1 2F1A ，求直线 BF2的方程 21 已知 xaxxf ? ln)( (aR) （ 1） 若函数 f(x)的图象在点 (1， f(1)处的切线平行于直线 x y 0，求 a的值； （ 2） 讨论函数 f(x)在定义域上的单调性 22. 在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 1C 的方程为 22 4 8 0x y x y? ? ? ?，直线 2C 的极坐标方程为 ? ?6 R?. （ 1） 写出 1C 的极坐标方程和 2C 的平
9、面直角坐标方程； （ 2） 若直线 3C 的极坐标方程为 ? ?3 R?，设 2C 与 1C 的交点为 ,OM， 3C 与 1C 的交点为 ,ON，求 OMN? 的面积 . - 5 - 2018-2019 学年度第一学期高三文科 数学 9月月考试卷 (答案 ) 三、 选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 . 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A D C B B C A A A 四、 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分 . 13 212144515 16? 16 23? 四、 解答题：本大题共 6小题，共 70
10、分 ，其中第 22 题 10分 . 17 解：（ ） ( ) 4 3 s i n c o s 2 c o s 2 1f x x x x? ? ?， 化简得 ( ) 2 3 s i n 2 2 c o s 2 1 4 s i n ( 2 ) 16f x x x x ? ? ? ? ? ?. ? 2分 因为 0, 3x ? ，所以 52 , 6 6 6x ? ? ? ， ? 3 分 当 2 62x ?时， sin(2 )6x ? 取得最大值 1， 当 2 66x ?或 52 66x ? 时， sin(2 )6x ? 取得最小值 12 ， ? 5 分 所以 1sin(2 ) ,162x ?， 4 s
11、 in ( 2 ) 1 1, 3 6x ? ? ?,所以 ()fx的值域为 ? ?1,3 . ? 6 分 （ ）因为 max()AC f x? ， min()BC f x? ， 由（ ）知， 3, 1AC BC?, 又因为 1cos 3BCA?， 根据余弦定理得 2 2 2 2 c o s 8A B A C B C A C B C B C A? ? ? ? ? ? ?， 所以 22AB? . ? 8 分 因为 2 2 2AC AB BC?,所以 ABC? 为直角三角形 , B 为直角 . ?10 分 故在 Rt ABC? 中， 1, 2BC BD?, 所以 21 2 3CD ? ? ?. ?1
12、2 分 18 【解析】 （ 1）设各小长方 形的宽度为 m - 6 - 由频率分布直方图中各小长方形的面积总和为 1，可知 ? ?0 . 0 8 0 . 1 0 . 1 4 0 . 1 2 0 . 0 4 0 . 0 2 m? ? ? ? ? ?0.5 1m?，解得 2m? 故图中各小长方形的宽度 为 2 （ 2）由（ 1）知各小组 依次是 ? ?0,2 ， ? ?2,4 ， ? ?4,6 ， ? ?6,8 ， ? ?8,10 ， ? ?10,12 ，其中点分别为 1， 3 ， 5 ， 7 ， 9 ， 11对应的频率分别为 0.16 ， 0.20 ， 0.28 ， 0.24 ， 0.08 ，
13、0.04 故可估计平均值为 1 0 .1 6 3 0 .2 5 0 .2 8? ? ? ? ? ?7 0 .2 4 9 0 .0 8 1 1 0 .0 4 5? ? ? ? ? ? （ 3）由（ 2）可知空白栏中填 5 由题意可知 1 2 3 4 5 35x ? ? ? ?， 23257 3 .85y ? ? ? ?， 51 iii xy?1 2 2 3 3 2 4 5 5 7? ? ? ? ? ? ? ? ? ?69? ， 5 2 2 2 3 2 21 1 2 3 4 5 5 5ii x? ? ? ? ? ? ?， 根据公式，可求得269 5 3 3.855 5 3?b ? ? ? ? 12
14、 1.210?， 3.8 1.2 3 0? .2a ? ? ? ? 所以所求的回归直线方程为 1.2 0.2yx? 19 （ ）证明：由题意 可知， 2 2 2 22 2 2 2B M A B A M? ? ? ? ?， 2 2 2 22 2 2 2C M C D D M? ? ? ? ?, 4BC? ， ? 2分 所以，在 BCM 中， 2 2 2BC BM CM?，所以 CM BM? ； ? 3分 因为平面 ABM? 平面 BCDM 且 BM 是交线， CM? 平面 BCDM ? 5 分 所以 CM? 平面 ABM ， 因为 AB? 平面 ABM ， 所以 AB CM? ? 6分（ ）解：
15、取 BM 中点 E ，连接 AE . 因为 AB AM? 且 E 为 BM 中点，所以 AE BM? . 因为 AE? 面 ABM，面 ABM? 面 BCDM ， BM 是交线， 所以 AE? 平面 BCDM , ? 7分 故 AE 长即为点 A 到平面 BCDM 的距离， 算得 2AE? . ? 8分 由（ ）可知， CM AM? , ACM? 是直角三角形 , - 7 - 2, 2 2AM CM?，所以 1 2 2 2 2 22AC MS ? ? ? ? ?. ? 9分 1 2 2 22MCDS? ? ? ? ?. ? 10 分 设 点 D 到平面 ACM 的距离为 h ， 因为 D AC
16、M A MCDVV? , ? 11 分 所以 1133A C M M C DS h S A E? ? ? ? ?,解得 1h? ， 故点 D 到平面 ACM 的距离为 1. ? 12 分 20 解： (1)由题意知， b 1，且 e2 c2a2a2 b2a2 12， 解得 a2 2，所以椭圆 E的方程为 x22 y2 1. (2)由题意知，直线 AB的斜率存在且不为 0，故可设直线 AB 的方程为 x my 1，设 A(x1，y1)， B(x2， y2) 由? x22 y2 1，x my 1得 (m2 2)y2 2my 1 0， 则 y1 y2 2mm2 2， y1y2 1m2 2， 因为 F1( 1,0)， 所以 BF1 ( 1 x2， y2)， F1A (x1 1， y1)， 由 BF1 2F1A 可得， y2 2y1， 由 可得 B? ? 12， 144 ， 则 kBF2 146 或 146 ， 所以直线 BF2的方程为 y 146 x 146 或 y 146 x 146 . - 8 - 21解： (1)因为 f( x) 1x ax2， 所以由题意可知 f(1) 1 a 1，故 a 2. (2)f( x) 1x ax2 x ax2 (x&g
