1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 02 (满分： 150分，时间： 120 分钟 ) 一、填空题 (本大题 共 有 14小题， 满分 56分 ) 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1 函数 f(x)=3x 2的 反函数 f 1(x)=_ 2 若全集 U=R，集合 A=x| 2 x 2， B=x| 0 1则正确命题的个数是 （ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 三、解答题（本大题共有 5个小题，满分 74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 19（本题满分 12分，第 1小题
2、6分，第 2小题 6分） 已知集合 A=x| | x a | 2011 k k+1 - 3 - 20 （本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分） 已知函数 ( ) s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) 3 c o s 233f x x x x m? ? ? ? ? ?， x R， 且 f(x)的最大值为 1 (1) 求 m的值，并求 f(x)的单调递增区间； (2) 在 ABC中，角 A、 B、 C的对边 a、 b、 c， 若 ( ) 3 1fB?，且 3 a b c?，试判断 ABC的形状 21（本题满分 14分，第 1小题 6分，第 2小题 8分） 已知函数 2,0
3、(,2)( 2 ? xx axxxf ，其中常数 a 0 (1) 当 a = 4时，证明函数 f(x)在 2,0( 上是减函数； (2) 求函数 f(x)的最小值 22 （本题满分 16分，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 6分） 设椭圆的中心为原点 O，长轴在 x轴上，上顶点为 A，左 、 右焦点分别为 F1、 F2，线段 OF1、 OF2的中点分别为 B1、 B2，且 AB1B2是面积为 4 的直角三角形 过 1作 直线 l交椭圆于 P、 Q两点 (1) 求该椭圆的标准方程； (2) 若 22 QBPB ? ，求直线 l的方程； (3) 设 直线 l 与 圆 O： x2+y2
4、=8 相交 于 M、 N 两点， 令 |MN|的长度为 t， 若 t 4,2 7 ，求 B2PQ的面积 S 的取值范围 - 4 - 23（本题满分 18分，第 1小题 4分，第 2小题 6分，第 3小题 8分） 已知数列 an满足 761 ?a， 1 2 110nna a a a ? ? ? ? ? ? ?(其中 0且 1， n N*)，nS 为数列 an的前 n 项和 (1) 若 3122 aaa ? ，求 ? 的值； (2) 求数列 an的通项公式 na ； (3) 当 13? 时，数列 an中是否存在三项构成等差数列，若存在， 请 求出 此三项 ；若不存在，请说明理由 - 5 - 参考答
5、案 一、填空题 1 23x? (定义域不写不扣分 ) 2 x| 2 x 0 或 1 x 2 3 ? 4 2 5 2 6 21 7 160 8 10 424 10?9 56? 10 40 11 144 22 ? yx 12 1817 13 4 14 24? 二、选择题 15 D 16 C 17 A 18 C 三、简答题 19 解： (1) 由 | x a | 0， 即 f(x1)f(x2)? 5分 所以函数 f(x)在 2,0( 上是减函数； ? ? 6分 (2) 2)( ? xaxxf 22 ? a ， ? 7分 当且仅当 ax? 时等号成立， ? 8分 当 20 ? a ，即 40 ?a 时
6、， )(xf 的最小值为 22 ?a ， ? 10分 当 2?a ，即 4?a 时， )(xf 在 2,0( 上单调递减， ? 11分 所以当 2?x 时， )(xf 取得最小值为 2a ， ? 13 分 综上所述：? .42,4022)( m in aaaaxf ? 14分 22 解：（ 1） 设所求椭圆的标准方程为 )0(12222 ? babyax ,右焦点为 )0,(2 cF . 因 AB1B2是直角三角形 ， 又 |AB1|=|AB2|， 故 B1AB2=90， 得 c=2b? 1分 在 Rt AB1B2中 ，12 2 4AB BSb? ?，从而 20222 ? cba .? 3分
7、因此所求椭圆的标准方程为 ： 22120 4xy? ? ? 4分 (2)由 (1)知 1( 2,0), (2,0)BB? ,由题意知直线 l 的倾斜角不为 0,故可设直线 l 的方程为 ：2x my?,代入椭圆方程得 ? ?225 4 1 6 0m y m y? ? ? ?,? 6分 设 P(x1, y1)、 Q(x2, y2)， 则 y1、 y2是上面方程的两根 ， 因此12 24 5myy m? ?， 516221 ? myy ， 又 ? ? ? ?2 1 1 2 2 22 , , 2 ,B P x y B Q x y? ? ? ?， 所以 212122 )2)(2( yyxxQBPB ?
8、 2216 645mm ? ? ? 8分 由 21PB QB? ， 得 22BP BQ? =0， 即 216 64 0m ?， 解得 2m? ； 所以满足条件的直线有两条 ,其方程分别为 ： x+2y+2=0 和 x 2y+2=0? 10 分 - 7 - (3) 当斜率不存在时，直线 :l 2?x ，此时 4| ?MN ， 5516?S ? 11 分 当斜率存在时，设直线 :l )2( ? xky ，则圆心 O 到直线的距离1|2| 2 ? k kd， 因此 t= 721482| 22 ? k kMN，得 312?k ? 13分 联立方程组：?,1420),2(22 yxxky 得 0164)
9、51(222 ? kkyyk ，由韦达定 理知， 2221221 51 16,51 4 kkyykkyy ?，所以222421 )51(454| k kky ? ?， 因此 4212 22144 | | 8 52 (1 5 )kkS y y k? ? ? ? ? ?. 设 2 815 3u k u? ? ?， ，所以 28 5 1 3 2 5()5 2 4S u? ? ? ?，所以 )5 516,35?S ? 15 分 综上所述： B2PQ的面积 5 516,35?S ? 16 分 23解： (1) 令 1?n ，得 到 ?712 ?a，令 2?n ，得到23 7171 ? ?a。 ? 2分
10、由 3122 aaa ? ，计算得 67? ? 4分 (2) 由题意 01 121 ? ?nn aaaa ?，可得 ： )2(01 121 ? ? naaaa nn ?，所以有 0)1( 1 ? ?nn aa ? )2( ?n ，又 1,0 ? ? ， ? 5分 得到 ： )2(11 ? naa nn ?，故数列 na 从第二项起是等比数列。 ? 7分 又 因为 ?712 ?a， 所以 n 2时， 2)1(71 ? nna ? 8分 所以 数列 an的通项? .2)1(71,1762 nnann? 10 分 - 8 - (3) 因为 31? 所以? .2473,1762 nnann ? 11分
11、 假设数列 an中 存在三项 am、 ak、 ap成等差数列 ， 不防设 mkp 2，因为当 n 2时，数列 an单调递增，所以 2ak=am+ap 即： 2?(37 )?4k 2 = 37 ?4m 2 + 37 ?4p 2，化简得： 2?4k - p = 4m p+1 即 22k 2p+1=22m 2p+1，若此式成立，必有： 2m 2p=0且 2k 2p+1=1， 故有： m=p=k，和题设矛盾? 14 分 假设存在成等差数列的三项中包含 a1时 ， 不妨设 m=1， kp 2且 akap，所以 2ap = a1+ak ， 2?(37 )?4p 2 = 67 + (37 )?4k 2，所以 2?4p 2= 2+4k 2，即 22p 4 = 22k 5 1 因为 k p 2，所以当且仅当 k=3且 p=2时成立? ? 16分 因此，数列 an中存在 a1、 a2、 a3或 a3、 a2、 a1成等差数列 ? 18分
