1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 01 试卷满分： 150分 一、选择题： 本大题共 10个小题；每小题 5分，共 50分在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的 1、设集合 04xAxx?， ? ?2 1 0 1 6B x y x x? ? ? ? ?，则 AB等于（ ） A、 2,4 B、 0,2 C、 ? ?2,4 D、 0,8 2、已知数列 ?na 为等比数列，且 4 6 5 2a a a? ，设等差数列 ?nb 的前 n 项和为 nS ，若552ba? ，则 9S = A、 36 B、 32 C、 24 D、 22 3、将函数 2( ) c
2、o s ( ) ( c o s 2 s i n ) s i nf x x x x x? ? ? ?的图象向左平移 8? 后得到函数 ()gx，则 ()gx具有性质（ ） A、最大值为 2 ，图象关于直线 2x ? 对称 B、周期 为 ? ，图象关于 ( ,0)4? 对称 C、在 ( ,0)2? 上单调递增，为偶函数 D、在 (0, )4? 上单调递增，为奇函数 4、在 ABC? 中， 2AB? ， 3BC? ， 0AB BC? ，且 ABC? 的面积为 32 ，则 ABC? 等于（ ） A、 30? 或 150? B、 150? C、 30? D、 60? 或 120? 5、若一个正三棱柱的底
3、面边长为 2，高为 2，其顶点都在一个球面上，则该球的 表面积为（ ） A、 163? B、 1912? C、 283? D、 73? 6、已知偶函数 ( ) ( )y f x x R?在区间 0,3 上单调递增，在区间 3, )? 上单调递减，且满足 ( 4) (1) 0ff? ? ?，则不等式 3 ( ) 0x f x ? 的解集是（ ） A、 ( 4, 1) (1,4)? B、 ( , 4 ) ( 1,1 ) ( 3 , )? ? ? ? C、 ( , 4 ) ( 1, 0 ) (1, 4 )? ? ? D、 ( 4 , 1) ( 0 ,1 ) ( 4 , )? ? ? 7如图，设点 A
4、 是单位圆上的一定点，动点 P 从 A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点 P所转过的弧 AP的长为 l，弦 AP的长度为 d，则函数 ()d f l? 的图象大致是（ ） - 2 - 8、已知函数 ( ) ln 3 8f x x x? ? ?的零点 0 , x ab? ，且 1ba?， ,ab N? ，则 ab? A、 5 B、 4 C、 3 D、 2 9、椭圆 22136 9xy?上有两个动点 P 、 Q ， (3,0)E ， EP EQ? ，则 EP QP 的最小值为（ ） A、 6 B、 33? C、 9 D、 12 6 3? 10、定义在 R 上的可导函数 ()fx满足 ( ) (
5、)f x f x? ， ( 2) ( 2)f x f x? ? ?，且当 0,2x?时， 1( ) (0)2xf x e xf? ，则 7()2f 与 16()3f 的大小关系是（ ） A、 7 16( ) ( )23ff? B、 7 16( ) ( )23ff? C、 7 16( ) ( )23ff? D、不确定 二、填空题：本大题共 6小题，考生共需作答 5小题，每小题 5分，共 25分。请将答案填写在答题卡对应题号的 位置上。 11如图，一个空间几何体的主视图、左视图 、 俯视图为全等的等腰直角三角形，且直角 边长为 1，那么这个几何体的体积为 _. 12、设 ABC? 的内角的 A 、
6、 B 、 C 对边分别为 cba 、 ，且满足 cAbBa 53co sco s ? ，则 ?BAtantan 13、已知 x 、 y 满足不等式组 22222xyxyxy? ? ?，若 O 为坐标原点， ( , )Mxy ， (1, 2)N ? ，则OM ON 的最小值是 14、已知直线 L ： 90xy? ? ? 和圆 M ： 222 2 8 8 1 0x y x y? ? ? ? ?，点 A 在直线 L 上， B 、C 为圆 M 上两点，在 ABC? 中， 45BAC? ? ? ， AB 过圆心 M ，则点 A 横坐标范围为 主视图 俯视图 左视图 - 3 - 15、下列命题： 10 (
7、1 ) 1xe dx e? ? ? ?；命题“ 3x?， 2 2 1 0xx? ? ? ”的否定是“ 3x?，2 2 1 0xx? ? ? ”；已知 xR? ，则“ 2x? ”是“ 1x? ”的充分不必要条件；已知 (3,4)AB? ，( 2, 1)CD? ? ? ，则 AB 在 CD 上的投影为 2? ；已知函数 ( ) s i n ( ) 2 ( 0 )6f x x ? ? ? ?的导函数的最大值为 3，则函数 ()fx的图像关于 3x ? 对称，其中正确的命题是 。 三、解答题： 本大题共 6小题 ，共 75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16、（本小题满分 12 分）已知
8、命题 p:方程 22 20a x ax? ? ?在 1,1? 上有解；命题 q:只有一个实数 x 满足不等式 2 2 2 0x ax a? ? ?，若命题“ p或 q”是假命题，求实数 a 的取值范围。 17、（本小题满分 12分）已知函数 2132c o s21s i n)( ? aaxxaxf ， Ra? 且 0?a 。 （ 1）若对 xR? ，都有 ( ) 0fx? ，求 a 的取值范围； （ 2）若 2a? ，且 xR? ，使得 ( ) 0fx? ，求 a 的取值范围。 18（本小题满分 12 分）在等差数列 na 中， 1 1a? ，前 n 项和 Sn 满足条件2 42 , 1, 2
9、 , .1nnS n nSn? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）记 ( 0 ) , .an n n nb a p p b n T? 求 数 列 的 前 项 和 19. （本小题满分 12分） 在四棱锥P ABCD-中， PA?底面ABCD，,AB CD AB BC?, 12PA AB BC C D a= = = =. (1)求证：面 PAD面PAC； （ 2）求二面角D PB C-的余弦值 . P A B C D - 4 - 20、 （本小题满分 13 分） 已知 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，长轴长为 23，离心率为 33 ，经过其左焦点 1F 的直线 l 交椭圆
10、 C 于 P 、 Q 两点。（ 1）求椭圆 C 的方徎；（ 2）在 x 轴上是否存在一点 M ，使得 MP MQ 恒为常数？若存在，求出 M 点的坐标和这个常数；若不存在，说明理由。 21 (本小题 满分 14分 )已知函数1( ) ( 2 ) l n 2 ( )f x a x ax a Rx? ? ? ? ?（ 1）当0a?时，求()fx的极值 （ 2）当?时，求 的单调区间 （ 3）若对任意的? ?12( 3 , 2) , , 1, 3a x x? ? ? ?，恒有12( l n 3 ) 2 l n 3 ( ) ( )m a f x f x? ? ? ?成立，求实数m的取值范围。 - 5
11、- 参考答案 1、 C 2、 A 3、 D 4、 B 5、 C 6、 D 7、 C 8、 A 9、 A 10、 C 11、 61 12、 4 13、 -4 14、 3,6 15、 16、解：若命题 p 真：由 22 20a x ax? ? ?，得 ( 2)( 1) 0ax ax? ? ?， 显然 0a? ， 2x a? ? 或 1x a? 1,1x? ，故 2| | 1a?或 1| | 1a? ， | | 1a? -5分 若命题 q 真：则抛物线 2 22y x ax a? ? ? 与 x 轴只有一个交点， ? 248aa? ? ， 0a? 或 2a? -10分 ?命题“ p 或 q ”为假命
12、题时， ( 1, 0) (0,1)a? -12分 17、解：（ 1） 2 3( ) s i n s i nf x x a x a a? ? ? ?. 令 sin ( 1 1)t x t? ? ? ?，则 2 3()g t t at a a? ? ? ? -2分 对任意 . ( ) 0x R f x?恒成立的 充要条件是3( 1) 1 0 ,3(1) 1 2 0 .g agaa? ? ? ? ? ? ? ? ?解得 a 的取值范围为 (0,1 -6分 （ 2）因为 2a? ，所以 12a? ? . 所以m in 3( ) ( 1) 1g t g a? ? ? ?-8分 因此min 3( ) 1f
13、x a?. 于是，存在 xR? ，使得 ( ) 0fx? 的充要条件是 31 0,a? 解得 03a? 故 a 的取值范围是 2,3 -12分 - 6 - 18、（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ，由 2 421nnS nSn? ?得： 121 3aaa? ? ，所以 2 2a? ，即211d a a? ? ? ，所以 nan? （ 2） nannb aP? ，得 nnb nP? ，所以 2323nT P P P? ? ? ? 1( 1) nnn P nP? ? ? ， 当 1p? 时， ( 1)2n nnT ?； 当 1p? 时， 2 3 423npT p p p? ? ? ? 1(
14、 1) nnn p np ? ? ? ， 23(1 ) np T p p p? ? ? ? ? 1 1 1(1 )1 nn n n nppp p n p n pp? ? ? ? ? ? ? 12(1 )(1 ) 1nnn p p npT pp?即当 1p? 时， ( 1)2n nnT ?；当 1p? 时， 1(1 )(1 ) 2 1nnn p p npT pp?19、（ 1）证明：设 PA=AB=BC=12CD=a,连接 AC，在 RT ABC 中， AC= 2a,在直角梯形 ABCD 中易求得 AD= 2a，所以在 DAC中有： AD2+AC2=CD2， AC AD 又 PA底面 ABCD
15、PA AC AC平面 PAD AC?平面 PAC 面 PAD面 PAC ? 6分 （ 2）以 B为原点， BA， BC 所在直线分别为 x轴， y轴建立如图所示坐标系，则： A（ a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0),D(2a,a,0),P(a,0,a) 设平面 PBC的法向量为 n1 =(x ,y ,z ),平面 PBD的法向量为 n2 =(x,y,z), BP =(a,0,a), BC=(0,a,0),BD =(2a,a,0) 由 n1 BP ， n1 BC ,n2 BP ， n2 BD 得 ： ax +az =0,y =0,ax+az=0,2ax+ay=0 z =-x ,y
16、=0,y=-2x,z=-x n1 =(1,0,-1),n2 =(1,-2,-1) cos=1 1+0 (-2)+(-1) (-1)2 6 = 33 设二面角 D-PB-C的平面角，由图形易知为锐角 cos =|cos|= 33 ? 12 分 P A B C D x y z ? 5 分 ? 12 分 - 7 - (以 B为原点， AD， AC 所在直线为 x轴 y轴建立平面直角坐标系参照给分） 20、（ 1）设椭圆 C 的方程为 22 1( 0 )xy abab? ? ? ? 由题意，得 2 2 333aca? ? ?，解得 31ac? ?，所以 2 2b? -3分 所求的椭圆方程为 22132
17、xy? -4分 （ 2）由（ 1）知 1( 1,0)F? 假设在 x 轴上存在一点 (,0)Mt ， 使得 MP MQ 恒为常数 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设其方程为 ( 1)y k x?， 11( , )Px y 、 22( , )Qx y 由 22( 1)132y k xxy? ?得 2 2 2 2( 2 3 ) 6 ( 3 6 ) 0k x k x k? ? ? ? ? -6 分 所以 212 2623kxx k? ? ? ?， 212 23623kxx k? ?-7分 MP 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( 1 )M Q x t x
18、t y y x t x t k x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 21 2 1 2( 1 ) ( ) ( )k x x k t x x k t? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 22 2 22 2 2( 1 ) ( 3 6 ) ( ) 6 (6 1 ) 62 3 2 3 2 3k k k t k t kk t tk k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?222221 1 6 1 6( 2 ) ( 2 3 ) ( 4 ) 413 3 322 3 3 2 3t k t tt t tkk? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为 MP MQ 是与 k 无关的常数，从而有 16403t?，即 43t? -10分 此时 MP MQ 119? -11分 当直线 l 与 x 轴垂直时，此时点 P 、 Q 的坐标分别为 231,
