1、 - 1 - 2018高考 高 三 数学 12 月月考试题 03 一选择题（每个 5分共 12题 60分） 1、 23log 9 log 4?（ ） A 14 B ? C ? D 12 2、正方体的边长为 2，则其外接球的面积为（ ） A 12? B. 8? C. 4? D. 10? 3、双曲线 222 298xy? ? 则其焦点坐标为（ ） A ? ?5,0? B. ? ?3,0? C. ? ?0, 3? D. ? ?0, 5? 4、四张卡片上面分别标有数字 1、 2、 3、 3则由这四张卡片组成的四位数中，偶数的概率是 A 16 B 15 C 14 D135、已知各项均为正数的等比数列中，
2、1 3 213 , ,22a a a成等差数列，则 11 138 10aaaa? ? （ ） A -1或 3 B. 27 C. 3 D. 1或 27 6 、设 ABC? 的 三 个 内 角 A,B,C 向量 ( 3 s i n , s i n ) , ( c o s , 3 c o s )m A B n B A?若1 cos( )m n A B? ? ? ?则 C=（ ） A、 6? B、 3? C、 23? D、 56? 7、已知三棱锥的三视图如图所示，其中侧视图为直角三角形， 俯视图为等腰直角三角形，则此三棱锥的体积等于 （ A） 23 （ B） 233 （ C） 423 （ D） 33
3、8、 19, 0 , 1 ,x y x yxy? ? ? ?设 则 的 最 小 值 为（ ） A、 16 B、 12 C、 20 D、 24 9、设 m 、 n 是不同的直线， ? 、 ? 、 ? 是不同的平面，有以下四个命题： （ 1） / /? ?（ 2）/ mm? ? ? （ 3）/mm ? ? ?（ 4） / /mn mn ? ?，其中，假命题是 A、（ 1）（ 2） B、（ 2）（ 4） C、（ 1）（ 3） D、（ 2）（ 3） 10、在 ABC? 中， AD 为 BC 边上的中线， 422 ? ADABAC ，则 ?BD （ ） A 3 B 2 C 6 D 3 正视图 俯 视图
4、侧 视图 1 3 - 2 - 开始 11，ab=?a2bb= 1aa=+ 输出 b 结束 11、 设 ab1, 0c? ,给出 下列三个结论 : ca cb ; ca cb ; lo g ( ) lo g ( )baa c b c? ? ?, 其中所有的正确结论的序号是 （ ） A B C D 12、设奇函数 ()fx的定义域为，最小正周期 3T? ，若 23(1) 1, (2) 1aff a ? ?，则 的取值范围是 A 21 3a? ? ? B 1a? C 21 3aa? ?或 D 23a? 二、填空题（本题共 4 小题每题 5分共 20 分） 13、设 i 是虚数单位，复数 iz ?11
5、 ， itz 22 ? Rt?( ），若 21 zz? 是实数，则 ?t _ （ 2 2zz为 的 共 轭 复 数） 14、执行如图所示的程序框图，若输出的 b 的值 为 16，图中判断框内 ? 处应填的数为 15、 过直线 4 2 0xy? ? ? ， 上点 P 作圆 224xy?的两条切线 ， 若两条切线的夹角是 60? ,则点 P 的坐标是 _。 否 是 16、 点 P 是曲线 2 lny x x=- 上任意一点，则点 P 到 直线 2yx=- 的距离的最小值是 三、解答题（本题要求解答时写出必要的文字说明共 70分） 17、 （ 本 小题满分 12分 ） 已知 ?na 是一个公差大于
6、0的等差数列，且满足 3655aa? , 2716aa?. （ 1） 求数列 ?na 的通项公式； （ 2） 若数列 ?na和数列 ?nb满足等式：*312 23 ()2 2 2 2 nn nbbbba n N? ? ? ? ? ?， 求数列 ?nb 的 前 n 项和 nS 18、 （ 本 小题满分 12分 已知集合 A =-2， 0， 2， B =-1， 1. （）若 M=(, )xy |x? A ,y ? B ，用列举法表示集合 M ； （）在（）中的集合 M内，随机取出一个元素 (, )xy ，求以 (, )xy 为坐标的点位于区域 D：2 0,2 0,1xyxyy?内的概率 . - 3
7、 - 19、 （ 本 小题满分 12 分 P 是圆 221xy?上的一个动点，过点 P 作 PQ x? 轴于点 Q ，设OM OP OQ? （ 1）求点 M 的轨迹方程 （ 2）求向量 OP 和 OM 夹角最大时的余弦值和 P 点的坐标 20.（ 本 小题满分 12分） 已知函数 32( ) 2f x x ax x? ? ? ? ( )若 1a? ,令函数 ( ) 2 ( )g x x f x? ,求函数 ()gx在 (1,2)? 上的极大值、极小值； ( )若函数 ()fx在 1( , )3? ? 上恒为单调递增函数 ,求实数 a 的取值范围 . 请考生在第 22、 23、 24三题中任选一
8、题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 21.（本小题满分 12分）选修 4-1：几何证明选讲 如图，直线 AB 经过 O 上的点 C ，并且 , CBCAOBOA ? O 交直线 OB 于 E ， D ，连接 CDEC, （）求证：直 线 AB 是 O 的切线； （）若 ,21tan ?CED O 的半径为 3 ，求 OA的长 22（本小题满分 14分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中，圆锥曲线 C 的参数 方程为? ? ?sin3cos2yx（ ? 为参数），定点)3,0( ?A ， 21,FF 是圆锥曲线 C 的左，右焦点 （）以原点为极点、 x 轴正半轴
9、为极轴建立极坐标系，求经过点 1F 且平行于直线 2AF 的直线 l 的极坐标方程； （）在（ I）的条件下，设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 FE, 两点，求弦 EF 的长 23（本小题满分 14分）选修 4-5：不等式选讲 设函数 212)( ? xxxf （）求不等式 2)( ?xf 的解集； （） Rx? ，使 ttxf 211)( 2 ? ，求实数 t 的取值范围 P Q O y x A C B E O D - 4 - 答案 一、选择题 1- 5 BADCB 6 10 CDABC 11 12 DA 二、填空题 13、 2 14、 3 15、 ? ?2 2,2 2 （ 2, 2） 16
10、、 2 三、解答题 17、 （本小题满分 12分） 解： 17、解：（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 ( 0)d? ， 由 2716aa?，得 12 7 16ad? -2分 由 3655,aa? 得 11( 2 )( 5 ) 55a d a d? ? ? -4 分 易得 1 1, 2ad?，所以 *2 1( )na n n N? ? ? -5 分 备注：也可以由 2 7 3 6a a a a? ? ? 得 3 6 2 7361655a a a aaa? ? ? ? ?，由 36511aa ? ?，得到 1 12ad? ?（ 2）令 2nn nbc ?，则有 12nna c c c? ? ?
11、 ， *1 1 2 1 ( , 2 )nna c c c n N n? ? ? ? ? 1n n na a c? ? ? ，由（ 1）得 1 2nnaa? ? ? ，故 *2( , 2)nc n N n? ? ?，即 22nnb? ， 而 1 1a? ，所以可得12 , 12 , 2nnnb n? ? - 8分 于是 3 4 11 2 32 2 2 2nnnS b b b b ? ? ? ? ? ? ? ? ? -10 分 = 2 3 4 12 2 2 2 2 n? ? ? ? ?4? = 1 222 ( 1 ) 4 2 6 , 2 621n nnnS? ? ? ? ? ? ? 即 -12 分
12、 18、 （本小题满分 12分） （） M =(-2, -1)， (-2, 1)， (0, -1)， (0, 1)， (2, -1)， (2, 1). ? 6分 （）记“以 (x， y)为坐标的点位于区域 D内”为事 件 A. 集合 M中共有 6个元素，即基本事件总数为 6，区域 D含有集合 M中的元素 4个， 所以 42() 63PA?. - 5 - 故以 (x， y)为坐标的点位于区域 D内的概率为 23 . ? 12分 19（本小题满分 12分） 解： （ 1）设 ( , )Px y ， ( , )Mxy ，则 ( , )OP x y? ， ( ,0)OQ x? ， (2 , )O M
13、O P O Q x y? ? ? 22 2 212 , 1 , 124xx xx xx y yyy yy? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 （ 2）设向量 OP 与 OM 的夹角为 ? ，则 2 2 2 22222 ( 1 )c o s 31| | | |4x y xO P O M xO P O Mxy? ? ? ?令 231tx?，则 21 ( 2 ) 1 4 2 2c o s 43 3 3t ttt? ? ? ? ? ? 8分 当且仅当 2t? 时，即 P 点坐标为 36( , )33?时，等号成立。 OP? 与 OM 夹角最大时余弦值 223 ? 12分 20. （本 小题满分
14、 12 分） 解： ( ) 3 2 3 2( ) 2 ( 2 ) 2g x x x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，所以 2( ) 3 2 1g x x x? ? ? ? ? 由 ( ) 0gx? ? 得 13x? 或 1x? ? 2分 x 1( , )3? 13? 1( ,1)3? 1 (1, )? ()gx? ? 0 ? 0 ? ()gx 5927? 1? 所以函数 ()gx在 13x? 处取得极小值 5927? ；在 1x? 处取得极大值 1? ? 6分 ( ) 因为 2( ) 3 2 1f x x ax? ? ? ?的对称轴为 3ax? （ 1）若 133a?
15、 ? 即 1a? 时，要使函数 ()fx在 1( , )3? ? 上恒为单调递增函数，则有24 12 0a? ? ?，解得： 33a? ? ? ，所以 31a? ? ? ；? 8分 （ 2）若 133a? ? 即 1a? 时，要使函数 ()fx在 1( , )3? ? 上恒为单调递增函数，则有- 6 - 21 1 1( ) 3 ( ) 2 ( ) 1 03 3 3fa? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得： 2a? ，所以 12a?；? 10分 综上，实数 a 的取值范围为 32a? ? ? ? 12 分 21（本小题满分 10分） 证明：（ 1）如图，连接 ABOCCBCAOBOAOC ?
16、 ,? OC? 是圆的半径， AB? 是圆的切线 -3分 2） ED 是直径， ? ? 90,90 E D CEE C D 又 EBCC B DEB C DODCO C DO C DB C D ? ? 又,90， BCD? BEC? ， BEBDBCBCBDBEBC ? 2， -5分 21tan ? ECCDCED ， BCD? BEC? ， 21? ECCDBCBD -7分 设 ,2, xBCxBD ? 则 2)6()2( 22 ? BDxxxBEBDBC? -9分 532 ? ODBDOBOA -10分 22（本小题满分 10分） 解：（ 1）圆锥曲线 C 的参数方程为? ? ?sin3cos2yx（ ? 为参数）， 所 以 普 通 方 程 为 C ：134 22 ? yx -2分 )1(3:,3)0,1(),0,1(),3,0( 12 ? xylkFFA ?直线 l 极坐标方程为： 3)3s in (23c o s3s in ? ? -5分 （ 2）? 085)1(3134 222 ? xxxyyx ， 5164)(1 212212 ? xxxxkMN -10 分 23（本小题满分 10分） A C B E O D - 7 - 解 ： （ 1 ）?2,3221,1321,3)(xxxxxxxf，-2分 当 5,5,23,21 ? xxx
