1、 - 1 - 广西陆川县中学 2017年秋季期高三 12月月考 文科数学试题 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分 . 1已知集合? ? ? ?2| 2 0 , | 3 , 0xA x x x B y y x? ? ? ? ? ? ?，则?B?A)2,1(?B)1,(?C1,(?D(02 若iyiix 1)2( ? ?xy?R,则yx?= A 1?B 1 C 3 D3?3在等差数列?na中，3 7 10 1a a? ? ? ?，11 4 21aa?，则?7aA 7B 10C 20D 30 4. 已知变量x与变量y之间具有相关关系，并测得如下一组数据 则变量x与y之间的线性回
2、归方程可能为（ ） A0.7 2.3yx?B0.7 10.3? ?C10.3 0.7? ?D10.3 0.75. 已知数列?na满足：1 1, 0n?，? ?2 2 *1 1nna a n N? ? ? ?，那么使5na?成立的 的最大值为（ ） A 4 B 5 C 24 D 25 6. 已知函数? ? ? ? ?2 sin 0f x x? ? ? ? ?的部分图象如图所示，则函数?fx的一个单调递增区间是（ ） - 2 - A75,12 12?B7 ,12 12?C36?D11 17,7. 若01m?，则 （ ） A? ? ? ?11mmlog m log m? ? ?B(1 0)mlog
3、m?C. ? ?211? ? ?D? ? ? ?32? ? ?8. 已知一个棱长为 2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示 ,则该截面的面积为（ ） A92B 4 C. 3 D31029. 若函数? ? 32 4f x x x ax? ? ? ?在区间? ?1,1?内恰有一个极值点，则实数a的取值范围为（ ） A? ?1,5B? ?1,5C. ?1,5D? ? ? ?,1 5,? ? ?10.已知, , ,ABCD是同一球面上的四个点，其中ABC?是正三角形， AD?平面 ， 26AB?，则该球的体积为（ ） A323?B48?C. 24?D1611.设数列?na前n项和为S，已
4、知1 45a?，112 , 0 ,212 1, 1,2nnnnnaaaaa? ? ? ? ? ?则2018S等于（ ） A50445B50475C. 50485D5049512.已知抛物线2:4x y?， 直线:1ly?，,PAPB为 抛物线C的两条切线 ， 切点分别为,AB，则 “点 P在l上 ”是“ PB?”的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C. 充要条件 D既不充分也不必要条件 - 3 - 二填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分； （ 13） 已知na为 各项 都是正 数的等比数列 ， 若484aa?，则5 6 7a a a? ? ? （ 14） 已知1tan
5、 2?，则tan 24? ? （ 15）如图，多面体OABCD，,AOB OC两两垂直， = =2AB D，=B =2 3AD C，= 10AC BD， 则经过, , ,AB的外接球的表面积是 （ 16） 设数列?na的前 n项和为S若31?a且121 1 ? ?nn aS则 的通项公式? 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17）（本小题 满分 12 分） 已知函数2 1( ) c os 3 si n( ) c os( ) 2f x x x x? ? ? ? ?. （） 求函数()fx在0, ?的单调递减区间； （）在锐角ABC?中，内角 A， B，C， 的对边分别为a，
6、b，c， 已知( ) 1fA?，2a?，sin sinb C a A?， 求 的面积 . （ 18）（本小题 满分 12 分） 某县政府为了引导居民合理用水，决定全面实施阶梯水 价，阶梯水价原则上以住宅（一套住宅为一户）的月用水量为基准定价：若用水量不超过 12吨时，按 4元 /吨计算水费；若用水量超过 12吨且不超过 14吨时，超过 12 吨部分按 6.60元 /吨计算水费；若用水量超过 14吨时，超过 14吨部分按 7.80元 /吨计算水费为了了解全市居民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了 100户居民的月用水量（单位：吨），将数据按照? ?0,2，(2,4， ? ，? ?,16分成 8
7、组，制成了如图 1 所示的频率分布直方图 . - 4 - （图 1） （图 2） （） 通过频率分布直方图，估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数 （精确到 0.01）； （ ） 求用户用水费用y(元 )关于月用水量t（吨）的函数关系式； （ ） 如图 2是该县居民李某 2017年 1 6月份的月用水费y(元 )与 月份x的散点图，其拟合的线性回归方程是2 33yx?. 若李某 2017年 1 7月份水费总支出为294.6元，试估计李某 7月份的用水吨数 （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥P ABCD?中 ， BACD，2CD BA?，AD?,平面 PAD平面AB， APD
8、?为等腰直角三角形 ，2PA PD?. （ ）证明 ： PB PD?； （ ）若三棱锥B PCD?的体积为43，求 BPD?的面积 （ 20）（本小题 满分 12 分） 已知椭圆22: 1 ( 0)xyC a bab? ? ? ?的左、右焦点分别为1F，2，上顶点为 B，若12BFF?的周长为6，且点1F到直线2的距离为b. - 5 - （）求椭圆C的方程； （）设12,AA是椭圆 长轴的两个端点，点 P是椭圆C上不同于12,AA的任意一点，直线1AP交直线14x?于点 M，求证：以 MP为直径的圆过点2A. （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数2 2( ) l n , ( )f x
9、x a x a Rx? ? ? ? （ ） 若()fx在2x?处取极值 ， 求()在点(1, (1)f处的切线方程 ； （ ）当0a?时 ， 若 有唯一的零点0x， 求证 ：0 1.x?请考生在第 22 23题中任选一题作答， 如果多做，则按所做的第一题 计 分。 （ 22）（本小题 满分 10 分） 选修 4 4： 坐标系与参数方程 极坐标系的极点为直角坐 标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同已知曲线 C 的极坐标方程为2sin?，0,2 ? （ ）求曲线 C的直角坐标方程； （ ）在曲线 C 上求一点 D，使它到直线33: 32xtl yt? ? ? ?
10、 ?（t为参数 ）的距离最短，写出 点的直角坐标 . （ 23）（本小题 满分 10 分）选修 4 5： 不等式选讲 设 函数( ) | | | 1 |f x x m x m? ? ? ? ? （ ） 当1m?时， 求 不等式1()2fx?的 解集 ； （ ）若 对任意0,1?， 不等式()f x n?的解集为 空集 ， 求实数n的取值范围 - 6 - 文科数学试题答案 1-5: DACBC 6-10: DDABA 11、 12： BC 二、填空题 13 8 1417?1513?16? ? ? 2,341,32 nnn17 解 （ 1） 由已知得 2 1( ) c os 3 si n c os
11、 2f x x x x? ? ?1 c os 2 3 1si n 22 2 2x x? ? ?sin(2 )6x ? ? 3分 2 2 22 6 2k x kx? ? ? ? ? ? ? ?63kx x kx? ? ? ?又0, x ?函数()fx在0, ?的单调递减区间为0, 3和5 , 6?. ? 6分 （ 2）由（ 1）知( ) si n( 2 )6f x x ? ? ?锐角ABC?， 2A ?526 6 6A? ? ? ? ? ? ?又( ) si n( 2 ) 16f A A ? ? ? ? ?2 62? ?，即3A ? 9分 又sin sinb C a A?2 4bc a? ? ?
12、- 7 - 1 si n 32ABCS bc A? ? ?. ? 12 分 18 解： （ 1）平均数 7.96，中位数 8.15. ? 4分 （ 2） 设居民月用水量为t吨，相应的水费为y元，则 4 , 0 12 ,48 ( 12) 6.6 , 12 14 ,61.2 ( 14) 7.8 14 16 ,tty t ttt? ? ? ? ? ? ? ? ?即4 , 0 12 ,2 6.6 31.2 , 12 14 ,7.8 48 , 14 16 ,y t ttt? ? ? ? 8分 （ 3） 设李某 2017年 1 6月份月用水费y（元）与月份x的对应点为( , ) ( 1, 2 , 3, 4
13、 , 5, 6)iix y i ?，它们的平均值分别为x，y，则1 2 6 21 6x x x? ? ? ? ?，又点( , )xy在直线2 33yx?上，所以40y?，因此1 2 6 240y y y? ? ? ?，所以 7月份的水费为294. 6 240 54.6?元 由（ 2）知，当13t时，( ) 6.6 13 31.2 54.6ft ? ? ? ?， 所以李某 7月份的用水吨数约为 13吨 . ? 12分 19证明 ：（ 1） 因为平面 PDA?平面ABCD，平面 PDA?平面ABCD= AD，AD?所以CD?平面 . 又CD ，?平面 . ?平面 ， PD AB 又 APD?为等腰
14、直角三角形 ， PD PA， 有 PA AB A? ? ? PD平面 PAB， 又 PB?平面 PAB PD? 6分 （ 2）设ABx?， 则2CD x?， 过 P作 PE AD?于 E，则 E=1P. 又 平面 PDA?平面CD，平面 A?平面ABCD= AD 平面 . 又2PA PD?2?. ?1 1 1 2 43 3 2 3 3B P C D P B D C B D CV V S PE D C AD PE x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- 8 - 2x?RTPAB?中 ，22 6PB PA AB? ? ?. PBD中 ，1 32BPDS D P PB? ? ? ? ?.
15、 ? 12 分 20 解： （ 1）设1( ,0)Fc?、2( ,0)， 由已知可得2 2 6ac? 又(0, )Bb可求2 :0BFl bx cy bc? ? ?， 所以22bc bc bab?，即2bc ab? 又2 2 2a b c?，由可求得2, 3?所以22143xy? 6分 证明：（ 2）由题意知：( 2, 0) , (2, 0)AA?.设00( , )Px y， 则1 0A 0: ( 2)2Pyl y xx?，所以0016(14, ),2yM x ?又点 P在椭圆 C上，所以2 00 3(1 )4xy ?若以 MP为直径的圆过点2A，则AM AP?所以02 2 0 0016(12
16、 , ) ( 2 , )2yA M A P x yx? ? ? ?2001612( 2) 2yx? ? ? ?200 012( 4 )12( 2) 2xx x ? ? ?000012( 2) ( 2)12( 2) 2xxx x? ? ? ?0?- 9 - 以 MP为直径的圆过点2A? 12 分 21解： （ 1）7 10 0xy? ? ? 4分 （ 2）? ? 2 2 lnf x x a xx? ? ? ? 3 222x axfx x? ?0x?令? ? 322g x x ax? ? ?，则? 26g x x a? ?由? ?0, 0a g x?，可得6ax? ?gx?在0, 6a?上单调递减
17、，在,?上单调递增 由于? ?0 2 0g ? ?，故0, 6a?时 ，? ? 0?又?10ga? ?，故?在?1,?上有唯一零点，设为1x， 从而可知fx在1(0, )上单调递减，在?,?上单调递增 由于?有唯一零点0x，故,xx?且0 1x? 12分 22 解： （ 1）由? ?= 2 si n , 0 , 2? ? ? ?，可得2 2 sin? ?曲线C的直角 坐标方程为2220x y y? ? ? 5分 （ 2 ）直线l的参数方程为? ?3332xt tyt? ? ? ? ? 为 参 数， 消 去t得l的普通方程为35yx? ?， C与l相离，设点? ?00,D x y，且点 到直线: 3 5l y x? ?的距离最短，则曲线 在点D处的切线与直线: 3 5l y x? ?平行， ? ?0 0 1 . 3 1y x ? ? ?，又? ?220 0 11xy? ? ?- 10 - 0 32x? ?或0 32x ?， 32y?点D的坐标为33,22? 10 分 23 解： （ 1）当? ? 11, 2m f x?等价 于11 2xx? ? ?i当1x?时，不等式化为1? ? ?，无解 ?ii当x?
