1、 1 2018 届高三 1 月教学质量测评 理科数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.若 z 为 12i? 的共轭复数 (i 是虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A 1 B 2 C i D 2i 2. 设集合 2 | lo g , 0 4 A y y x x? ? ? ?，集合 | 1xB x e?，则 AB等于（ ） A ( ,2? B (0, )? C ( ,0)? D R 3. 给出下列四个结论： 命题“ 10, 2xxx? ? ? ?”的否定是“00 010,
2、 2xx x? ? ? ?”； “若 3? ，则 3sin 2? ”的否命题是“若 3? ，则 3sin 2? ”； pq? 是真命题， pq? 是假命题，则命题 ,pq中一真一假； 若 1: 1, : ln 0p q xx ?，则 p 是 q 的充分不必要条件，其中正确结论的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 4. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示是以为猎人记录自己采摘果实个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数是（ ） A 492 B 382 C 185 D 123 5. 函数 ? ?
3、23f x x a? ? ?在区间 1, )? 上不单调，则 a 的取值范围是（ ） A 1, )? B (1, )? C ( ,1)? D ( ,1? 6.已知 , , ,m n a b R? ，且 满足 3 4 6 , 3 4 1m m m a b? ? ? ?，则 22( ) ( )m a n b? ? ? 的最小值为 （ ） 2 A 3 B 2 C 1 D 12 7. 某数学期刊的国内统一刊号是 CN42 1167/OI，其邮发代号 38 69，设 na 表示 42 1167n? 的个位数字，则数列的第 38 项之第 69 项之和 38 39 69a a a? ? ? ? （ ） A
4、180 B 169 C 150 D 140 8. 已知正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? ，点 P 在线段 1AC 上，当 BPD? 最大时，四棱锥 P ABCD? 的体积与正方体的体积比为（ ） A 124 B 118 C 19 D 112 9. 已知椭圆的短轴长为 8，点 12,FF为其两个焦点，点 P 为椭圆上任意一点， 12PFF? 的内切圆面积最大值为 94? ，则椭圆的离心率为（ ） A 45 B 22 C 35 D 223 10. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为 2 的正方形，侧视图是底边长分别为 2 和 1 的直角梯形，则该几何体的体积为（ ） A 8
5、3 B 43 C 823 D 223 11. 如图，在扇形 OAB 中， 01 2 0 , 2A O B O A O B? ? ? ?,点 M 为 OB 的中点，点 P 为阴影区域内的任意一点（含边界），若 OP mOA nOM?，则 mn? 的最大值为（ ） 3 A 273 B 2213 C 7 D 433 12. 关于函数 ? ? 22 lnf x x x x? ? ?，下列说法错误的是（ ） A不存在正实数 k ，使得 ? ?f x kx? 恒成立 B对任意 12, (0, )xx? ? ，若 12xx? ，有 ? ?2 1 1 2()x f x x f x? C对任意 1 2 1 21
6、2 ( ) ( ), (0 , 1 ) , ( )22x x f x f xx x f ?D若正实数 12,xx，满足 12( ) ( ) 4f x f x?，则 122xx? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 0, 2? ，则直线 cos 3 1 0xy? ? ? ?的倾斜角的范围是 14.数列 ?na 满足 121, 5aa?，若 11(1 , 1 ) , ( , 2 ) , 0n n nm a n a a m n? ? ? ? ? ? ?，则数列 ?na 通项公式为 15 设实数 ,xy满足约束条件 202 6 01yxx
7、yy? ? ?，则 12xz y?的最小值为 . 16.已知圆 22: 4 2 4 4 0C x y x y? ? ? ? ?，点 P 的坐标为 (,4)t ，其中 2t? ，若过点 P 有且只有一条直线 l被圆 C 截得的弦长为 46，则直线 l 的一般式方程是 三、解答题 （本 大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知直线0 3x ?是函数 ? ? 22 c o s 4 s i n c o s 3f x x m x x? ? ? ?的一个极值点，将 ?fx的图象向左平移4? 个单位，向下平移 2 个单位得到 ?gx的图象 . （ 1）求函
8、数 ?gx的解析式； 4 （ 2）设锐角 ABC? 中角 ,ABC 所对的边分别为 ,abc，若 ( ) 0gB? ，且 3, 2cb t a? ? ? 恒成立， 求 t 的取值范围 . 18. 某市教育局对该市普通高中学生进行学业水平测试，试卷满分 120 分，现从全市学生中随机抽查了 10名学生的成绩，其茎叶图如下图所示： （ 1）已知 10 名学生的平均成绩为 88，计算其中位数和方差； （ 2）已知全市学生学习成绩分布服从正态分 布 2( , )N? ，某校实验班学生 30 人 . 依据（ 1）的结果，试估计该班学业水平测试成绩在 (94,100) 的学生人数（结果四舍五入取整数）；
9、为参加学校举行的数学知识竞赛，该班决定推荐成绩在 (94,100) 的学生参加预选赛若每个学生通过预选赛的概率为 23 ，用随机变量 X 表示通过预选赛的人数，求 X 的分布列和数学期望 . 正态分布参考数据： ( ) 0 . 6 8 2 8 , ( 2 2 ) 0 . 9 5 4 4P X P X? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 19.已知四边形 ABCD 为等腰梯形， / / , 2 , 1A B C D A B A D C D B C? ? ? ?,BD 沿对角线将 ABD? 旋转，使得点 A 至点 P 的位置，此时满足 PD BC? . （ 1）判断
10、PDC? 的形状，并证明； （ 2）求二面角 A PB C?的平面角的正弦值 . 20. 已知动圆 G 过定点 (4,0)F ，且在 y 轴上截得的弦长为 8 . （ 1）求动圆 G 的圆心点 G 的轨迹方程 ? ； （ 2）过点 (2,0)S 的动直线与曲线 ? 交于 ,AB两点，平面内是否存在定点 T ，使得直线 ,ATBT 分别交 ? 于,CD两点，使得直线 ,ABCD 的斜率 12,kk，满足 122kk? ？若存在，请求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由 . 21.已知 ?fx? 为函数 ?fx的导函数，且 ? ? ? ?211 (0 ) 12 xf x x f x f e ?
11、? ?. 5 （ 1）判断函数 ?fx的单调性； （ 2）若 ? ? ? ? 212g x f x x x? ? ?，讨论函数 ? ? 2( ) ( ( ) )h x x e g a x x x? ? ? ? ?零点的个数 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 22.以平面坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知圆 1C 的参 数方程为1 cos2 (11 sin2xy? ? ?为参数），圆 2C 的极坐标方程为 24 1 6 c o s 1 5 0? ? ? ? ?. （ 1）分别 12,CC写
12、出的直角坐标方程； （ 2）已知点 ,MN分别是圆 12,CC上的动点，点 P 的坐标为 (2,2) ，求 PN PM? 的最大值 . 23.已知函数 ? ? ? ?1 , 2f x x g x t x? ? ? ?. （ 1）解关于 x 的不等式 ? ? 21f x x?. （ 2）若不等式 ? ? ? ?f x g x? 对任意的 xR? 恒成立，求 t 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1-5:BDCDB 6-10:CBCCA 11、 B 12： C 二、填空题 6 13. 0, 6? 14. 2 1nn? 15.1 16.4 3 36 0xy? ? ? 三、解答题 17.解 :（
13、1）化简得 ? ? 2 s i n 2 c o s 2 2f x m x x? ? ?， 由题意知 3x ? 是函数 ?fx的一条对称轴， 于是 2 224 1 2 s in c o s 233mm ? ? ? ?，解得 32m? ， 故 ? ? 3 s i n 2 c o s 2 2 2 s i n ( 2 ) 26f x x x x ? ? ? ? ? ?， 于是 ? ? 2 sin (2 )3g x x ?. （ 2）由 ? ? 0 2 s i n ( 2 ) 0 23 3 2 6kg B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，解得 3B ? ， 由正弦定理 2 2 s i n
14、, 2 s i ns i n s i n s i na b c a A c CA B C? ? ? ? ? ?， 所以 22 s i n s i n 2 s i n s i n ( ) 3 s i n ( )2 3 6ca A C A A A? ? ? ? ? ? ? ?, 又锐角 ABC? ，所以 3( , ) ( 0 , ) s in ( ) ( 0 , )6 2 6 3 6 2A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 则 3(0, )22ca? ，故 32t? . 18.解：（ 1）由茎叶图可知这 10 个数据依次为 7 8 , 8 1 , 8 1 , 8 6 , 8 6 ,
15、8 7 , 9 2 , 9 6 , 9 7， 中位数为 86 87 86.52? ? ， 由平均数为 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 218 8 ( 1 0 ) ( 7) ( 4 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 5 8 9 3 610xs? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 2）由（ 1）知 88, 6?， ( 2 2 ) ( )( 9 1 1 0 0 ) ( 2 ) 2P X P XP X P X ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0 .9 5 4 4 0 6
16、 8 2 8 0 .1 3 5 92?， 该班学生成绩在 (94,100) 的人数为 3 0 0 .1 3 5 9 4 .0 5 4? ? ?. 随机变量 0,1,2,3,4X ? ，显然 X 服从二项分布 2(4, )3B ， 其分布列为 44 22( ) ( ) (1 )33k k kP X k C ? ? ?，其中 0,1,2,3,4? ， 7 ? ? 284 33EX ? ? ?. 19.解：（ 1） PCD? 为等腰直角三角形， 证明：在等腰梯形 ABCD 中，由平面几何知识可得 060A? ，又 2, 1AB AD?， 由余弦定理得 3BD? ，则 2 2 2AD BD AB?，故
17、 AD BD? ， 折叠后 PD BD? ，又 ,PD BC BD BC B?，故 PD? 平面 BCD ， 而 CD? 面 BCD ，故 PD CD? ， 又 PD CD? ，故 PCD? 为直角三角形 . (2)由（ 1）知 PD? 平面 BCD ， AD BD? ，以点 D 为坐标原点，以 ,DB DA DP 所在的直线分别为 ,xyz 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 31( 0 , 1 , 0 ) , ( 3 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( , , 0 )22A B P C ?， 则 31( 0 , 1 , 1 ) , ( 3 , 0 , 1 ) ,
18、( , , 0 )22A P P B B C? ? ? ? ? ? ?， 平面 APB 的法向量为 1 ( , , )n x y z? ，则 1100300yzn A Pxzn B P? ? ? ? ?， 取 1 3 , 3x y z? ? ? ?故， 1 (1, 3, 3)n ? ， 同理可求得平面 PBC 的一个法向量 2 (1, 3, 3)n ? ， 设二面角 A PB C?的平面角为 ? ，则 12121 3 3 1c o s 777nnnn? ? ?， 结合图形可知 43sin 7? . 20.解：（ 1）设动圆圆心 ( , )Gxy ，设圆交 y 轴于 ,MN两点，连接 ,GFGM ， 则 GF GM? ，过点 G 作 GH MN? ，则点 H 是 MN 的中点， 8 显然 2 2 21 , ( 1 )G M x G F x y? ? ? ? ?， 于是 2 2 2 2( 4 ) 4x y x? ? ? ?，化简整理得 :8yx?，故的轨迹方程为 2:8yx?. （ 2）设 1 1 2 2 3 3 4 4( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )A x y B x y C x y D x y T m n ， 设
