1、 2021 年高考全国名校 9 月数学（理）模拟好题集锦：数列 一、单选题 1 （2020 湖北高三期中（理） ）记 n S为递增等差数列 n a的前n项和，若数列 n n S a 也为等差数列，则 3 3 S a 等于（ ） A3 B2 C 3 2 D1 2 （2020 全国高三其他（理） ） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某 贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第 2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，3 月入 25贯，全年（按 12个月计）共入 510贯”，则该人 1月的入贯数为（ ） A5 B10 C12 D15 3 （2020 山西迎
2、泽太原五中高三二模（理） ）设等差数列 n a的前 n项和为 n S，若4 m a ，0 m S ， 2 142, m SmmN ，则 2019 a的值为（ ） A2020 B4032 C5041 D3019 4（2020 北京市第五中学高三其他） 已知数列 n a， n b， 其中 1 1a ， 且 n a， 1n a 是方程 2 20 n n xb x 的实数根，则 10 b等于（ ） A24 B32 C48 D64 5（2020 全国高三其他 （理） ） 在等比数列 n a中， 设 135 6aaa， 135 111 2 aaa ， 则 1 3 5 aaa（ ） A 2 2 B 3 3
3、C2 2 D3 3 6 （2020 全国高三一模（理） ）已知数列 n a为等差数列， n S其前 n项和，且 24 36,aa则 9 S等于 A25 B27 C50 D54 7 （2020 贵州六盘水高三其他（理） ）等差数列 n a中，已知 611 aa，且公差0d ，则其前n项和取 最小值时的n的值为( ) A6 B7 C8 D9 8 （2020 全国高三二模（理） ）已知数列 n a是等比数列，若 258 8a a a ，则 1 51 95 9 149 aaaaaa （ ） A有最小值 7 2 B有最大值 7 2 C有最小值 5 2 D有最大值 5 2 9（2020 河北邢台高三其他
4、（理） ） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 06 2aa， 若 3 282 4 m SSS， 则m （ ） A 7 15 B 1 2 C 8 15 D 7 16 10 （2020 怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理） ）已知数列 n a的通项公式为 2 11 n a ann n ， 5 a 是数列 n a的最小项，则实数a的取值范围是（ ） A 40, 25 B 40,0 C 25, 25 D 25,0 11 （2020 安徽定远高三二模 （理） ） 已知数列 n a的首项为1， 第 2 项为3， 前n项和为 n S， 当整数1n 时， 111 2 nnn SSSS 恒成
5、立，则 15 S等于 A210 B211 C224 D225 12 （2020 全国高三其他 （理） ） 已知数列 n a满足 1 1a ， 2 1nnn aaa ， 若数列 2 n a的前 50项和为m， 则数列 1 1 n a 的前 50 项和为（ ） A 2 1 m m B 1 m m C 1m m D 1 2 m m 13 （2020 甘肃城关兰大附中高三月考（理） ）已知数列 n a满足条件 1 0a ， 1 1 nn aa ， * nN， 则 1211 |aaa的最小值为（ ） A3 B2 C1 D0 14（2020 辽宁沙河口辽师大附中高三月考 （理） ） 已知数列 n a满足
6、12 1 2 aa 2* 1 () n ann nN n ， 设数列 n b满足： 1 21 n nn n b a a ,数列 n b的前n项和为 n T，若 * () 1 n n TnN n 恒成立，则的取值范 围是（ ） A 1 ( ,) 4 B 1 ,) 4 C 3 ,) 8 D 3 ( ,) 8 15 （2020 合肥一六八中学高二开学考试（理） ）已知函数 f（x）ax21 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切 线 l与直线 8xy+20平行，若 1 ( )f n 的前 n项和为 Sn，则 S2020的值为（ ） A 2019 2020 B 2020 2021 C 4040 404
7、1 D 2020 4041 二、填空题 16 （2019 河北辛集中学高三月考（理） ）已知定义在R上的奇函数 f x满足 1 1 2 fxfx ， 11f， n S为数列 n a的前n项和，且421 nn aSnN， 35 f af a_. 17 （2020 东湖江西师大附中高三一模（理） ）已知数列 n a满足 123 232n n aaana，则 n a _ 18 （2020 河南高三其他（理） ）设数列 n a的前n项和为 n S，且2 nn aSn .若存在正整数n，使得不 等式 2 62 n nam成立，则实数m的取值范围是_. 19 （2020 全国高三其他（理） ）在数列的每相
8、邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫 做该数列的一次“扩展”.将数列 1，2 进行“扩展”，第一次得到 1，2，2；第二次得到数列 1，2，2，4， 2；第n次“扩展”后得到的数列为 12 1,2 t x xx.并记 212 log12 nt ax xx，其中 21 n t ， * nN，则数列 n a的通项公式 n a _ 20 （2020 河北桥西邢台一中高三月考（理） ）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 9a ， 5 40S ， 则 n S的最大值为_. 21 （2020 广西贵港高三其他（理） ）已知 2 log a与 3 log b的等差中项为 5 2
9、 ，等比中项为 6，则ab _ 三、解答题 22 （2020 四川阆中中学高三一模（理） ）在数列 n a中， 1 4a ， 2 1 (1)22 nn nanann （1）求证：数列 n a n 是等差数列； （2）求数列 1 n a 的前n项和 n S 23 （2020 全国高三课时练习（理） ）已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 1 1a ，且存在实数满足 1 24 nn aa ，n N. （1）求的值及通项 n a； （2）求数列 2 n n a 的前n项和 n S. 24 （2020 全国高三课时练习（理） ）已知等差数列an的公差是 1，且 139 ,a a a成等比数列 （1
10、）求数列an的通项公式； （2）求数列 2 n n a a 的前 n项和 Tn 25 （2020 安徽相山淮北一中高三其他（理） ）已知数列 n a为递增的等差数列，其中 3 5a ，且 125 ,a a a成 等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）设 1 1 11 n nn b aa 记数列 n b的前n项和为 n T，求使得 n m T 5 成立的m的最小正整数 26 （2020 东湖江西师大附中高三三模（理） ）已知数列 n a， n b满足 11 1ab，对任意*nN均有 22 1nnnnn aabab ， 22 1nnnnn babab （1）证明：数列 nn ab和数列 n
11、n ab均为等比数列； （2）设 11 1 2n n nn cn ab ，求数列 n c的前n项和 n T 27 （2020 全国高三月考（理） ）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1 2 nnn Snaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 2 2 n a 的前n项和为 n T，证明： 3 2 n T 28 （2020 盐城市第一中学高三三模）已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数，它们的前n项 和分别为, nn S T，且 11 22ba， 2322 54,11b SaT. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 1223 3nnn
12、Maba ba ba b ； （3）是否存在正整数m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 29 （2020 广西来宾高三月考（理） ）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 2 23 n Snn. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 12 1 nn aa 的前n项和为 n T，求证 1 15 n T . 30 （2020 五华云南师大附中高三月考（理） ）已知数列 n a的前 n 项和为 n S，且233 nn Sa（1n， * nN） ，数列 n b满足 1 3 nnn bba ， 1 3
13、b . （1）求数列的通项公式 n a； （2）令 3 n n n b c ，证明：数列 n c为等差数列，并求数列 1nn ca 的前 n项和 n T. 2021 年高考全国名校 9 月数学（理）模拟好题集锦：数列 一、单选题 1 （2020 湖北高三期中（理） ）记 n S为递增等差数列 n a的前n项和，若数列 n n S a 也为等差数列，则 3 3 S a 等于（ ） A3 B2 C 3 2 D1 【答案】B 【解析】设等差数列 n a的公差为d，则0d ， n S为递增等差数列 n a的前n项和，若数列 n n S a 也为等差数列， 则 321 213 2SSS aaa ， 1
14、1 11 2 233 1 2 adad adad ，整理可得 1 ad， 则 31 31 336 2 23 Sadd aadd . 故选：B. 2 （2020 全国高三其他（理） ） 九章算术是我国古代数学成就的杰出代表作，其中有这样一个问题：“某 贾人擅营，月入益功疾（意思是：某商人善于经营，从第 2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱） ，3 月入 25贯，全年（按 12个月计）共入 510贯”，则该人 1月的入贯数为（ ） A5 B10 C12 D15 【答案】D 【解析】由题意知该商人每月收入构成等差数列 n a，设首项为 1 a，公差为d，前n项和为 n S， 则 31 121 22
15、5, 1212 11510, 2 aad d Sa 解得 1 15a 故选：D 3 （2020 山西迎泽太原五中高三二模（理） ）设等差数列 n a的前 n项和为 n S，若4 m a ，0 m S ， 2 142, m SmmN ，则 2019 a的值为（ ） A2020 B4032 C5041 D3019 【答案】B 【解析】由题意得，设等差数列的首项为 1 a，公差为d， 则 1 1 2121 (1)4 (1) 0 2 2(21)14 m m mmmm aamd m m Sma SSaaamd ， 解得 1 4 5 2 a m d ， 所以4(1) 226 n ann ， 所以 2019
16、 2 201964032a. 故选：B 4（2020 北京市第五中学高三其他） 已知数列 n a， n b， 其中 1 1a ， 且 n a， 1n a 是方程 2 20 n n xb x 的实数根，则 10 b等于（ ） A24 B32 C48 D64 【答案】D 【解析】因为 n a， 1n a 是方程 2 20 n n xb x的实数根， 所以 1nnn aab ， 1 2n nn a a ， 又 1 1a ，所以 2 2a ； 当2n 时， 1 1 2n nn aa ，所以 11 11 2 nnn nnn aa a aaa ， 因此 4 102 232aa， 5 111 232aa 所
17、以 101011 323264baa. 故选：D. 5（2020 全国高三其他 （理） ） 在等比数列 n a中， 设 135 6aaa， 135 111 2 aaa ， 则 1 3 5 aaa（ ） A 2 2 B 3 3 C2 2 D3 3 【答案】D 【解析】由等比数列的性质可知 531 13515 111 2 aaa aaaa a ， 又 135 6aaa，所以 15 3a a ，易知 135 0a a a ， 所以 135 3 3a a a ， 故选：D 6 （2020 全国高三一模（理） ）已知数列 n a为等差数列， n S其前 n项和，且 24 36,aa则 9 S等于 A25
18、 B27 C50 D54 【答案】B 【解析】因为 241115 36396,433aaadadada 所以 9195 9 ()927. 2 Saaa 7 （2020 贵州六盘水高三其他（理） ）等差数列 n a中，已知 611 aa，且公差0d ，则其前n项和取 最小值时的n的值为( ) A6 B7 C8 D9 【答案】C 【解析】 因为等差数列 n a中， 611 aa，所以 6116111 15 0,0, 2 aaaaad ，有 2 (8)64 2 n d Sn， 所以当8n 时前n项和取最小值.故选 C. 8 （2020 全国高三二模（理） ）已知数列 n a是等比数列，若 258 8
19、a a a ，则 1 51 95 9 149 aaaaaa （ ） A有最小值 7 2 B有最大值 7 2 C有最小值 5 2 D有最大值 5 2 【答案】C 【解析】设等比数列 n a的公比q， 258 8a a a ， 3 2585 8a a aa ， 5 2a ， 5 1 4 0 a a q ， 2 195 4a aa， 95191 151959159 4998149 8 aaaaa a aa aa aa a a 1 1 1415 1912 36 882 a a ，当且仅当 1 1 4 9a a ，即 1 2 0 3 a 时，取等号， 故选：C. 9（2020 河北邢台高三其他 （理）
20、） 已知等比数列 n a的前n项和为 n S， 且 1 06 2aa， 若 3 282 4 m SSS， 则m （ ） A 7 15 B 1 2 C 8 15 D 7 16 【答案】C 【解析】因为 106 2aa，所以 4 2q .由 32824 mSSS，得 32824 111mqqq ，即 (1 16)12 1 8m ，解得 8 15 m . 故选：C. 10 （2020 怀仁市第一中学校云东校区高一期末（理） ）已知数列 n a的通项公式为 2 11 n a ann n ， 5 a 是数列 n a的最小项，则实数a的取值范围是（ ） A 40, 25 B 40,0 C 25, 25 D
21、 25,0 【答案】B 【解析】由已知条件得 5 a是数列 n a的最小项，所以 54 56 aa aa ，即 22 22 511 5411 4 54 511 5611 6 56 aa aa ，解 得 40 0 a a ，故选：B. 11 （2020 安徽定远高三二模 （理） ） 已知数列 n a的首项为1， 第 2 项为3， 前n项和为 n S， 当整数1n 时， 111 2 nnn SSSS 恒成立，则 15 S等于 A210 B211 C224 D225 【答案】D 【解析】结合 111 2 nnn SSSS 可知， 111 22 nnn SSSa ，得到 11 22 nn aaa ，所
22、以12121 n ann ，所以 15 29a 所以 115 15 1529 1 15 225 22 aa S ，故选 D 12 （2020 全国高三其他 （理） ） 已知数列 n a满足 1 1a ， 2 1nnn aaa ， 若数列 2 n a的前 50项和为m， 则数列 1 1 n a 的前 50 项和为（ ） A 2 1 m m B 1 m m C 1m m D 1 2 m m 【答案】B 【解析】由题意，数列 n a满足 1 1a ， 2 1nnn aaa ，若数列 2 n a的前 50项和为m， 所以 222 12502132515051151 1maaaaaaaaaaaa， 所以
23、 51 1am . 因为 2 1nnn aaa ，所以 2 1 1 nnnnn aaaaa ， 所以 1 1111 11 nnnnn aaaaa ，即 1 111 1 nnn aaa ， 所以数列 1 1 n a 的前 50项和为 1223505115151 1111111111 11 11 m aaaaaaaaamm . 故选：B. 13 （2020 甘肃城关兰大附中高三月考（理） ）已知数列 n a满足条件 1 0a ， 1 1 nn aa ， * nN， 则 1211 |aaa的最小值为（ ） A3 B2 C1 D0 【答案】C 【解析】因为 1 1 nn aa ，所以 22 1 21
24、nnn aaa ， 故 22 1 21 nnn aaa ，又因为 1 0a ，所以 2 2 1a ， 222 121112112 21111aaaaaaL 所以 2 121112 1 11 2 aaaa， 由题知，数列 n a为整数列，所以 22 12 11 113111 22 a， 当 12 3a时，等号成立，下面举例说明 12 a可以取到 3， 24681035791112 1,2,2,3aaaaaaaaaaa ， 所以 1211 aaa的最小值为 1. 故选：C. 14（2020 辽宁沙河口辽师大附中高三月考 （理） ） 已知数列 n a满足 12 1 2 aa 2* 1 () n an
25、n nN n ， 设数列 n b满足： 1 21 n nn n b a a ,数列 n b的前n项和为 n T，若 * () 1 n n TnN n 恒成立，则的取值范 围是（ ） A 1 ( ,) 4 B 1 ,) 4 C 3 ,) 8 D 3 ( ,) 8 【答案】D 【解析】因为 12 1 2 aa 2* 1 () n ann nN n ， 所以 12 1 2 aa 2 * 1 1 11 (,2) 1 n annnNn n ， 故 1 2 n an n 即 2 2 n an，其中2n . 而令1n ，则 22 1 1122 1a ，故 2 2 n an，1n . 222 2 21111
26、4 411 n n b n nnn ， 故 222222 1111111 41223 1 n T n n 2 22 112 1 4 141 nn nn ， 故 * () 1 n n TnN n 恒成立等价于 2 2 2 1 41 nnn n n 即 2 41 n n 恒成立， 化简得到 11 441n ，因为 11113 441488n ，故 3 8 . 故选 D. 15 （2020 合肥一六八中学高二开学考试（理） ）已知函数 f（x）ax21 的图象在点 A（1，f（1） ）处的切 线 l与直线 8xy+20平行，若 1 ( )f n 的前 n项和为 Sn，则 S2020的值为（ ） A
27、2019 2020 B 2020 2021 C 4040 4041 D 2020 4041 【答案】D 【解析】因为 ( )2,fxax 所以f （1）28a，得4a 所以 2 ( )41f xx， 故 2 11111 () ( )412 2121f nnnn 2020 111111 (1)()() 2335220201220201 S 112020 (1) 22202014041 故选：D 二、填空题 16 （2019 河北辛集中学高三月考（理） ）已知定义在R上的奇函数 f x满足 1 1 2 fxfx ， 11f， n S为数列 n a的前n项和，且421 nn aSnN， 35 f a
28、f a_. 【答案】2 【解析】对任意的n + N，421 nn aS，当1n 时， 11 421aS，得 1 1 2 a ； 当2n 时，由421 nn aS得 11 421 nn aS ， 上述两式相减得 1 4420 nnn aaa ，整理得 1 2 n n a a ， 所以，数列 n a是以 1 2 为首项，以2为公比的等比数列， 2 3 1 22 2 a， 4 5 1 28 2 a . 1 1 2 fxfx Q， 3 2 fxfx ，由于函数 yf x为奇函数， 3 2 fxfxf x ， 3 3 2 f xfxf x ， 则函数 yf x是以3为周期的周期函数， 3 2111f a
29、fff ， 5 821f aff ，因此， 35 2f af a ，故答案为：2 . 17 （2020 东湖江西师大附中高三一模（理） ）已知数列 n a满足 123 232n n aaana，则 n a _ 【答案】 1 2,1 2 ,2 n n n a n n 【解析】当1n 时，由已知，可得 1 1 22a ， 123 232n n aaana， 故 1 1231 23122 n n aaanan ， 由-得 11 222 nnn n na ， 1 2n n a n 显然当1n 时不满足上式， 1 2,1 2 ,2 n n n a n n 故答案为： 1 2,1 2 ,2 n n n a
30、 n n 18 （2020 河南高三其他（理） ）设数列 n a的前n项和为 n S，且2 nn aSn .若存在正整数n，使得不 等式 2 62 n nam成立，则实数m的取值范围是_. 【答案】 1 1 , 8 8 【解析】由2 nn aSn ，可得 11 22 nn aSn .由-可得 11 2 nnn aaa ，即 1 1 22 2 nn aa ，由 11 2aS 可得 1 1a ， 1 21a ，所以2 n a 是首项为 1，公比为 1 2 的等 比数列，所以 1 1 2 2 n n a ，即 1 1 2 2 n n a ，所以 1 6 62 2 n n n na ，设 1 6 2n
31、 n f n ，则 1 567 1 222 nnn nnn f nf n ，当70n ，即07n时， f n递增，当70n，即7n 时， f n递减，故 f n的最大值为 1 78 64 ff. 若存在正整数n，使得不等式 2 62 n nam成立，则 2 max 62 n mna 故 2 1 64 m ，故实数m的取值范围 1 1 , 8 8 . 故答案为： 1 1 , 8 8 19 （2020 全国高三其他（理） ）在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新的数列，这样的操作叫 做该数列的一次“扩展”.将数列 1，2 进行“扩展”，第一次得到 1，2，2；第二次得到数列 1，2，2，4，
32、 2；第n次“扩展”后得到的数列为 12 1,2 t x xx.并记 212 log12 nt ax xx，其中 21 n t ， * nN，则数列 n a的通项公式 n a _ 【答案】 31 2 n 【解析】由题意，根据 212 log12 nt axxx，可得 1211122 log1 (1)(2) 2) ttn axxxxxxx 33333 12 2 12 log31 2 n t xxx a ， 设 1 3() nn atat ，即 1 32 nn aat ，可得 1 2 t ， 则数列 1 2 n a 是首项为 13 2 22 ，公比为3的等比数列， 故 1 13 3 22 n n
33、a ，所以 31, 2 n n anN . 故答案为 31 2 n 20 （2020 河北桥西邢台一中高三月考（理） ）已知等差数列 n a的前n项和为 n S，若 2 9a ， 5 40S ， 则 n S的最大值为_. 【答案】55 【解析】解：设数列 n a的公差为d，则 53 540Sa， 3 8a， 又 2 9a ， 32 1daa ， 2 211 n aandn， 110 n an时，11n ，又 * nN max1011 ()55 n SSS. 故答案为：55. 21 （2020 广西贵港高三其他（理） ）已知 2 log a与 3 log b的等差中项为 5 2 ，等比中项为 6
34、，则ab _ 【答案】31或 17 【解析】依题意得 23 5 loglog25 2 ab， 2 23 (log)(log)( 6)6ab ， 所以 2 log a， 3 log b为方程 2 560 xx的两根， 2 log2a ， 3 log3b 或 2 log3a ， 3 log2b ， 42731ab或8917ab 故答案为：31或 17 三、解答题 22 （2020 四川阆中中学高三一模（理） ）在数列 n a中， 1 4a ， 2 1 (1)22 nn nanann （1）求证：数列 n a n 是等差数列； （2）求数列 1 n a 的前n项和 n S 【答案】(1)证明见解析.
35、 (2) n S 2(1) n n . 【解析】 （1） 2 1 (1)22 nn nanann 的两边同除以(1)n n，得 1 2 1 nn aa nn ，又 1 4 1 a ， 所以数列 n a n 是首项为 4，公差为 2 的等差数列 (2)由（1）得 1 2(1) n a an n ，即 2 22,22 n n a nann n , 故 2 111 11 2221 n annnn ， 所以 11111111 11 22231212(1) n n s nnnn 23 （2020 全国高三课时练习（理） ）已知数列 n a是公差不为零的等差数列， 1 1a ，且存在实数满足 1 24 n
36、n aa ，n N. （1）求的值及通项 n a； （2）求数列 2 n n a 的前n项和 n S. 【答案】 （1）2；21 n an（2） n S 22 224 n nn 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 * 1 24 nn aanN 得 * 1 24,2 nn aanNn ， -得，2dd， 又因为0d ，解得2； 将2代入 可得 1 2 nn aa ，即2d ， 又因为 1 1a ， 所以11221 n ann . （2）由（1）可得 1 2 2 21221 n nn n ann ， 所以 231 2223521 n n Sn 4 12 321 122 n nn 2
37、2 224 n nn . 24 （2020 全国高三课时练习（理） ）已知等差数列an的公差是 1，且 139 ,a a a成等比数列 （1）求数列an的通项公式； （2）求数列 2 n n a a 的前 n项和 Tn 【答案】(1) ann(2) 2 2 2 n n n T 【解析】 （1）因为 n a是公差为 1的等差数列，且 139 ,a a a成等比数列， 所以 2 319 aa a，即 2 111 (2)8aa a，解得 1 1a 所以 1 (1) n aandn； （2） 123 1111 1 ( )2 ( )3 ( )( ) 2222 n n Tn ， 231 11111 1 (
38、 )2 ( )1( )( ) 22222 nn n Tnn 两式相减得 1231 111111 ( )( )( )( )( ) 222222 nn n Tn 所以 1 1 1 11 11122 ( )1 1 2222 1 2 n n n nn n Tn 所以 2 2 2 n n n T . 25 （2020 安徽相山淮北一中高三其他（理） ）已知数列 n a为递增的等差数列，其中 3 5a ，且 125 ,a a a成 等比数列 （1）求 n a的通项公式； （2）设 1 1 11 n nn b aa 记数列 n b的前n项和为 n T，求使得 n m T 5 成立的m的最小正整数 【答案】
39、（1）21 n an； （2）2. 【解析】 （1）在等差数列中，设公差为 d0， 由题意，得， 解得 ana1+（n1）d1+2（n1）2n1； （2）由（1）知，an2n1 则， Tn T n+1 Tn 0， Tn单调递增，而 ， 要使成立，则，得 m， 又 mZ，则使得成立的 m的最小正整数为 2 26 （2020 东湖江西师大附中高三三模（理） ）已知数列 n a， n b满足 11 1ab，对任意*nN均有 22 1nnnnn aabab ， 22 1nnnnn babab （1）证明：数列 nn ab和数列 nn ab均为等比数列； （2）设 11 1 2n n nn cn ab
40、，求数列 n c的前n项和 n T 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2n n Tn （1）因为对任意 * nN均有 22 1nnnnn aabab ， 22 1nnnnn babab ， 将两式两边相加可得 11 2 nnnn abab ， 又因为 11 2ab， 所以数列 nn ab是首项为 2，公比为 2 的等比数列； 将两式两边相乘可得 11 2 nnnn aba b ， 又因为 11 1a b， 所以数列 nn ab是首项为 1，公比为 2 的等比数列 （2）由（1）可知2n nn ab， 1 2n nn ab ， 有 11 2 nn nnnn ab aba b 所以 1 1
41、1 1 21 2 nn n nn cnn ab ， 所以 2341 2 23 24 21 2n n Tn ， 3452 22 23 24 21 2n n Tn 上两式相减得： 23412 2 22221 2 nn n Tn ， 即 31 22 21 2 81 22 1 2 n nn n Tnn ， 所以 2 2n n Tn 27 （2020 全国高三月考（理） ）已知数列 n a的前n项和为 n S，且 1 1 2 nnn Snaa （1）求数列 n a的通项公式； （2）若数列 2 2 n a 的前n项和为 n T，证明： 3 2 n T 【答案】 （1） * 1 n annN （2）见解析
42、 【解析】 （1）当1n 时， 111 1 1 2 Saa，即 1 2a ， 当2n 时， 1 1 2 nnn Snaa， 111 1 11 2 nnn Snaa ， ，得： 11 2122 nnnnn ananaaa ，即 1 1 nn nana ， 1 1 nn aa nn ，且 1 1 2 a ， 数列 1 n a n 是以每一项均为1的常数列，则1 1 n a n ，即 * 1 n annN； （2）由（1）得1 n an， 22 22211 22 1 n an nnn n ， 11111111113 11 3243522122 n T nnnn . 28 （2020 盐城市第一中学高
43、三三模）已知等差数列 n a和等比数列 n b的各项均为整数，它们的前n项 和分别为, nn S T，且 11 22ba， 2322 54,11b SaT. （1）求数列 n a， n b的通项公式； （2）求 1 1223 3nnn Maba ba ba b； （3）是否存在正整数m，使得 1mm mm ST ST 恰好是数列 n a或 n b中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由. 【答案】 （1） 1 21,2 3n nn anb ； （2）2(1) 32 n n Mn； （3）存在，1. 【解析】 （1）设数列 n a的公差为d，数列 n b的公比为q， 因为
44、112322 22,54,11bab SaT， 所以 2 (33 )54 12211 qd dq ，即 (1)9 28 qd dq ，解得 3 2 q d ，或 3 2 5 q d （舍去）. 所以 1 21,2 3n nn anb . （2） 21 1 1223 3 1 23 2 352 3212 3n nnn Maba ba ba bn ， 21 31 2 33 2 3(23)2 3(21)2 3 nn n Mnn ， 所以 21 224 333(21)2 3 nn n Mn ， 1 3(13) 24(42)34(44) 3 13 n nn nn 所以2(1) 32 n n Mn. （3）
45、由（1）可得 2 n Sn，31 n n T， 所以 21 1 2 13 13 m m m m m m STm STm . 因为 1mm mm ST ST 是数列 n a或 n b中的一项，所以 21 * 2 13 , 13 m m m L LN m ， 所以 2 (1)1(3)3mLmL，因为 2 1 0,30 m m ， 所以13L ，又 * LN，则2L 或3L . 当2L 时，有 2 13mm ，即 2 1 1 3m m ，令 2 1 ( ) 3m m f m . 则 222 11 (1)11223 (1)( ) 333 mmm mmmm f mf m . 当1m 时，(1)(2)ff；当2m时， 10f mf m ， 即 (1)(2)(3)(4)ffff. 由 1 (1)0,(2) 3 ff，知 2 1 1 3m m 无整数解. 当3L 时,有 2 10m ，即存在1m 使得 21 2 13 3 13 m m m m 是数列 n a中的第
