1、 1 湖北省宜昌市 2018届高三数学 9 月月考试题 文 一、选择题 （每小题 5分共 60分） 1 下列函数中，既是奇函数，又在定义域上单调递增的是 ( ) A. 3yx? B. 2xy? C. 1yxx? D. sin2yx? 2若复数 z 满足 ? ? ? ?1 2 1i z i? ? ?，则 z? （ ） A. 25 B. 35 C. 105 D. 10 3命题 “ 所有实数的平方都是正数 ” 的否定为 （ ） A. 所有实数的平方都不是正数 B. 有的实数的平方是正数 C. 至少有一个实数的平方是正数 D. 至少有 一个实数的平方不是正数 4 若 ,xy满足约束条件 10 2 0
2、2 2 0xyxyxy? ? ? ? ?，则 z x y? 的最大值是 ( ) A. 3? B. 12 C. 1 D. 1? 5某几何体的三视图如图所 示 (单位： cm)，则该几何体的体积等于（ ） cm3 A. 24 3? B. 34 2? C. 26 3? D. 36 2? 6 定义运算 *ab为执行如图所示的程序框图输出的 S 值，则55sin * co s1 2 1 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ?的值为 ( ) A. 234? B. 14 C. 34 D. 234? 7 已知 1, 2, 5a b a b? ? ? ?，则 1912ab?的最小值为 ( ) A. 4 B.
3、8 C. 9 D. 6 8 若 ? ?s in 2 s in 2 c o s4? ? ? ? ?，则 sin2? （ ） A. 45? B. 45 C. 35? D. 35 2 9 已知 单位向量 ,ab满足 a b a b? ? ? ，则 a 与 ba? 的夹角是 ( ) A. 6? B. 3? C. 4? D. 34? 10 设 ABC 的内角 ,ABC 的对边分别是 ,abc， 3b? ， 6C ? ， 1sin 2A? ，若 D 是 BC 的中点，则 AD? ( ) A. 74 B. 72 C. 14 D. 12 11 若双曲线 ? ?22: 1 , 0xyC a bab? ? ?的左
4、支与圆 ? ?2 2 2 2 2 2x y c c a b? ? ? ?相交于 ,AB两点， C 的右焦点为 F ，且 AFB 为正三角形，则双曲线 C 的离心率是 ( ) A. 31? B. 21? C. 3 D. 2 12 若曲线 ? ?,0f x y ? 上两个不同的点处的切线重合，则称这条切线为曲线 ? ?,0f x y ? 的自公切线，则下列方程对应的曲 线中存在自公切线的为（ ） 2 1y x x? ? ? ； sin 4cosy x x? ； 1yxx? ； 214xy? ? ? . A. B. C. D. 二、填空题 （每小题 5分共 20分） 13 函数 tan 24yx?的
5、最小正周期为 _. 14若 f(x) 12x 1 a是奇函数，则 a _ 15 设 P 是圆 22:2O x y?上任意一点，定点 ? ?2,0Q ，则 2PQ? 的概率是 _ 16 已知函数 1()2xfx ?，12( ) logg x x?，记函数 ( ) , ( ) ( )()( ) , ( ) ( )g x f x g xhx f x f x g x? ? ?， 则函数( ) ( ) 5F x h x x? ? ?所有零点的和为 _. 三、解答题 17 已知递增的等比数列 ?na 和等差数列 ?nb ，满足 1 4 2 31 8 3 2a a a a? ? ?， ， 2b 是 1a 和
6、 2a 的等差中项，且 333ba?.（ ）求数列 ?na 和 ?nb 的通项公式； 3 （ ）若11nnnc bb?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nS .（本题 12分） 18 在如图所示的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， （ 1）过点 C作与面 1ABD 平行的截面；（ 2）求证： 11AC ABD?面 （ 3）若正方体的棱长为 2，求四面体 11ABCD 的体积。 （本题 12分） 19 某班 20名同学某次数学测试的成绩可绘制成如下茎叶图，由于其中部分数据缺失，故打算根据茎叶图中的数据估计全班同学的平均成绩 . (1)完成频率分布直方图； (2)根据 (1)中
7、的频率分布直方图估计全班同学的平均成绩 x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )； 4 (3)设根据茎叶图计算出的全班的平均成绩为 y ，并假设 ? ?, |2 7 a b n Z n? ? ? ?，且 ,ab各自取得每一个可能值的机会相等，在 (2)的条件下，求概率 ? ?P y x? .（ 12分） 20 已知椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?经过点 31,2A?， C 的四个顶点构成的四边形面积为 43. (1)求椭圆 C 的方程； (2) ,EF为椭圆上的两个动点，是否存在这样的直线 ,AEAF ，使其满足： 直线 AE 的斜 率与直线 AF 的斜率互为
8、相反数； 线段 EF 的中点在直线 12x? 上，若存在，求出直线 AE 和 AF 的方程；若不存在，请说明理由 . （本题 12分） 21 设函数 ? ? ? ?ln 2axf x x a a Rx? ? ? ? ? ?. （ ）当曲线 ? ?y f x? 在点 ? ? ?1 ,1f， 处的切线与直线 yx? 垂直时，求 a 的值； （ ）若函数 ? ? ? ? 24aF x f x x?有两个零点，求实数 a 的取值范围 . （本题 12 分） 5 22 选修 4 4：极坐标与参数方程 已知直线 l： 3sin ( )32m?，曲线 C： 1 3 cos3 sinxy? ?（ ）当 m 3
9、时，判断直线 l与曲线 C的位置关系； （ ）若曲线 C上存在到直线 l的距离等于 32 的点，求实数 m的范围 （本题 10 分） 参考答案 1 A 2 C【解析】试题分析： 1 1 3 1 01 2 5 5iizzi? ? ? ? ? ? ，故选 C. 3 D 4 C【解析】 由约束条件 10 2 0 2 2 0xyxyxy? ? ? ? ?， 作出可行域如图， 由 10 2 2 0xyxy? ? ? ? ?，得 A（ 0， 1） 化目标函数 z=x+y为 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过 A（ 0， 1）时，目标函数有最大值，为 z=1+0=1 故选： C 5 D【解析
10、】试题分析：由三视图还原原几何体如图， 是一个半圆柱与一个直三棱柱的组合体， 半圆柱的底面半径为 ，高为 ；直三棱柱底面是等腰直角三角形（直角边为 ），高为 故本题选 D. 6 B【解析】 由程序框图可得， 55s in c o s1 2 1 2ab? ? ? 5 5 5 5 1 5 1s i n * c o s s i n c o s s i n1 2 1 2 1 2 1 2 2 6 4S ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 故选 B. 7 B【解析】 1912ab?= ? ? ? ?1 2 9 11 9
11、 1 21 0 82 1 2 2 1 2a b aba b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?,当且仅当 ? ?91212abab? ?成立时，等号成立，即 37,22ab?。选 B. 8 C 【解析】 ? ? ? ?2s i n 2 s i n 2 c o s s i n c o s , s i n 3 c o s 0 ,42? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 22 s i n c o s 2 t a n 3t a n 3 , s i n 2 .s i n c o s 1 t a n 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?9 D【解析
12、】 单位向量 ,ab满足 a b a b? ? ? , a b ， 则 a 与 ba? 的夹角是 = ?4? =34? ， 10 B【解析】 由 6C ? ， 1sin 2A? ，易得： A 6? ， 所以 ABC 为等腰三角形，且 BA=BC=1 在 ACD 中， 2 2 2 7A D A C 2 3 0 4C D A C C D c o s? ? ? ? ?，即 72AD? 11 A【解析】 设左焦点为 1F ,易得： FA 3c? ， 1 cFA? ，根据双曲线定义有： 3 c 2ac? ，即 e 3 1?. 12 B【解析】 . 22213 ,0241 13 ,024xxy x xxx
13、? ? ? ? ? ? ? ?,在 12x? 和12x? 处 的 切 线 都 是 34y? ， 故 有 自 公 切 线 ； . ? ? 343 4 c o s 5 , c o s ,55y s in x x s in x s in? ? ? ? ? ? ? ?， 此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合，故此函数有自公切线 ， . 1yxx? 为对勾函数，分别 位于一三象限 ,图象关于原点对称且导数为211y x?， 在 ? ? ? ?, 1 , 1,? ? ?递增 ， ? ? ? ?1,0 , 0,1? 递减 ，存在平行的切线 ， 不存在自公切线 ； . 由于 214xy? ? ? ，
14、即 222 3 0x x y? ? ? ?，结合图象可得，此曲线没有自公切线 ， 故选 B. 13 2? 14 0 【解析】 因为 ? ? xf x e? ? ，所以曲线 ? ?y f x? 在点 ? ?11f 处的切线为 l 的斜率为ke? 故切线为 l 的方程为： ? ?y e m e 1x? ? ? ?，又坐标原点 O 在直 线 l 上，所以 ? ?0 e m e 0 1? ? ? ?，即 m=0 15 14 【 解 析 】 设 P 点 坐 标 为 ? ?2cos 2sin， ， ? ? ? ? ? ?22 2 c o s 2 2 s i n 02PQ? ? ? ? ? ? ?， ， 易
15、得： 2cos 2? ， ? ? ?， ， 44? ? ? ，故 P 活动区域是圆 O 周长的 14 ， 2PQ? 的概率是 14 . 16 5【解析】 函数 ， ，关于直线 y=x对称， 记函数 ， ， 可知 h(x)关于直线 y=x对称。 y=x 与 y=5?x,交点为 A(2.5,2.5) y=5 ?x,与函数 h(x)交点关于 A对称， ， 函数 F(x)=h(x)+x?5 的零点。 设 h(x)与 y=5?x交点问题 ,可以解决函数 F(x)=h(x)+x?5 零点问题。 绘制函数图像 ， 观察可得函数 F(x)=h(x)+x?5所有零点的和为 5. 故答案为： 5. 17 (1)
16、2nna? , 21nbn?;(2) nS? 21nn? . 【解析】 试题分析： （ 1）利用等差数列等比数列基本公式求通项；（ 2） 利用裂项相消法求和 . 试题解析： （ ）由题意知， 141 4 2 31418 32 aaa a a aaa?，解得 142 16aa ? ，设等比数列 ?na 的公比为 q ， 2q? ， 2nna? ；由题意知， 122 3 33 , 3 52aab b a? ? ? ? ?，则等差数列 ?nb 的公差 2d? , ? ? ? ?2 2 3 2 2 2 1nb b n d n n? ? ? ? ? ? ? ?. （ ） ? ? ? ?1 1 1 12
17、1 2 1 2 2 1 2 1nC n n n n? ? ? ? ? ?， 1 1 1 1 1 1 1 112 3 2 3 5 2 2 1 2 1nS nn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1112 2 1 2 1nnn? ? ?. 18 （ 1）见解析；（ 2）见解析；（ 3） 83 . 【解析】 试题分析： （ 1）由平行的性质即可得解； （ 2）易证得 1AC BD? ， 11AC AB? 即可证明线面垂直； （ 3） 由（ 2）知 11AC ABD?面 ，设垂足为 O,由等积法知1 1 1112 3 4 3 1,?3 3 3A B
18、 C D A B DA O C O V S C O? ? ? ?，即可求解 . 试题解析： (1)见下图 (2) 证 明 ： 正 方 体 1 1 1 1ABCD A B C D? ， 1CC ABCD?面 1CC BD?又有AC BD? , 11BD ACC A?面 , 1 1 1 1A C A C C A B D A C? ? ?面 ， 同理 11AC AB? ,而 1BD AB B?, 11AC A BD?面 。 (3) 法 一 （ 直 接 计 算 ） 由 （ 2 ）知 11AC ABD?面 ，设垂足为 O, 由等积法知12 3 4 3,33A O C O? ? ? ? ?1 1 1 211 1 3 4 3 8 223 3 4 3 3A B C D A B DV S C O? ? ? ? ? ? ?法二：（间接计算）用正方体体积减去四个角 落的体积
