1、 - 1 - 江苏省扬州市 2018届高三数学 10月阶段检测试题 （考试时间： 120分钟 试卷满分： 160分） 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分。请把答案填写在 答题纸相应的位置 上 . 1 设 i 是虚数单位，则 复数 3()zi? 的虚部为 2 已知集合 ? ? ? ?1, 0 , , 0 1A a B x x? ? ? ? ?，若 AB? ，则实数 a 的取值范围是 . 3 设 R? ，则 “ sin 0? ” 是 “ sin2 0? ” 的 条件（选填： 充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要） 4 已知命题 p ： “ nN? ， 使得 2
2、 2nn? ” ，则命题 p? 的真假为 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C ： 2 22 1( 0)x yaa ? ? ?的一条渐近线与直线: 2 1 0l x y? ? ? 垂直，则实数 ?a 6 函数 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图示，则将 ()y f x? 的图象向右平移 6? 个单位后，得到的图象解析式为 7 如果实数 ,xy满足不等式组 1102 2 0xxyxy? ? ? ? ?，则 2z x y? 最小值为 8 已知 P 是边长为 2 的正 ABC? 边 BC 上的动点，
3、则 ()AP AB AC? ? ? . 9 函数 cos 24yx?在 0, ? 上的单调递减区间是 10 设函数22 , 2() ,2x axfx x a x? ? ? ?，若 )( xf 的值域为 R ，则常数 a 的取值范围是 11 在 ABC? 中， D 为 BC 中点， 4 5 , 3 0 , 2B A D C A D A B? ? ? ? ?， 则 AD? 12 已知 12a? ，则方程 22 2 | |a x x? ? ?的相异实根的个数是 13 已知点 F 是椭圆 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?的左焦点，若椭圆 C 上存在两点 P 、 Q 满足2PF FQ
4、? ，则椭圆 C 的离心率的取值范围 是 - 2 - 14 若 ,xyz 为正实数，则2 2 223xy yzx y z?的最大值为 二、解答题： 本大题共 6小题，共计 90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤 15 （本题满分 14分） 已知函数 2( ) 2 s in 2 3 s in c o s 2f x x x x? ? ? ? 求 ()fx的最小正周期及对称中心； 若 , 63x ? ，求 ()fx的最大值和最小值 . 16 （本题满分 14分） 平面内给定三个向量 (3,2)a? ， ( 12)b?， ， (4, )cm? ， mR? 求满足 ()a
5、 mb c?的实数 m 的值； 解关于 x 的不等式 ()xa c? ( ) 0xb c? ? ? 。 - 3 - 17 （本题满分 14分） 已知点 ( ,4)Pm ，和圆 22: ( 4) 4C x y? ? ? 当 2m? 时，过点 P 作圆 C 的切线，求切线的方程； 过点 P 引圆 C 的两条割线 12,ll，直线 1l 和 2l 被圆 C 截得的弦的中点分别为 ,MN 试问过点 , , ,PM NC 的圆是否过定点（异于点 C ）？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由 18 （本题满分 16分） 某地方政府要将一块如图所 示的直角梯形 ABCD 空地改建为健身娱乐广场 .已知
6、/ , , 2 2 3A D B C A D A B A D B C? ? ?百米， 3AB? 百米，广场入口 P 在 AB 上，且 2AP BP? ，根据规划，过点 P 铺设两条相互垂直的笔直小路 ,PMPN （小路的宽度不计），点 ,MN分别在边 ,ADBC 上（包含端点）， PAM? 区域拟建为跳舞健身广场， PBN? 区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设 APM ?. 求绿化草坪面积的最大值； 现拟将两条小路 ,PMPN 进行不同风格的美化， PM 小路的美化费用为每百米 1万元， PN小路的美化费用为每百米 2 万元，试确定 ,MN的位置，使得小路 ,PMPN 的美化总费用最
7、低，并求出最小费用 . - 4 - 19（本小题满分 16分） 如图， 椭圆 1C 的焦点在 x 轴上 ,中心是坐标原点 O ，且与椭圆222 :112 4xyC ?的离心率相同 ,长轴长是 2C 长轴长的一半 . (3,1)A 为 2C 上一点 ,OA 交 1C 于 P 点 ,P 关于 x 轴的对称点为 Q 点 ,过 A 作 2C 的两条互相垂直的动弦 ,ABAC ,分别交 2C 于 ,BC两点 . 求椭圆 1C 的标准方程 ; 求 Q 点坐标 ; 求证 : ,BQC 三点共线 . 20（本小题满分 16分） 已知函数 2( ) ln ,2af x x x x x a a R? ? ? ?
8、?. 当 0a? 时，求函数 ()fx的极值； 若函数 ()fx在其定义域内有两个不同的极值点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值），记为 12,xx，且 12xx? . 求 a 的取值范围； 若不等式 1 12e x x? ? 恒成立，求正实数 ? 的取值范围 . - 5 - - 6 - 江苏省高邮中学高三年级十月份阶段测试 数学试卷（选修部分） 2017.10 （考试时间： 30 分钟 试卷满 分： 40 分） 21 （本小题满分 10分） 已知矩阵? 10 021,20 01 NM ，试求曲线 xy sin? 在矩阵 MN 变换下的函数解析式 22 （本小题满分 10分） 在一次购物
9、抽奖活动中，假设某 10 张券中有一等奖券 1 张，可获价值 50 元的奖品；有二等奖券 3 张，每张可获价值 10 元的奖品；其余 6 张没有奖，某顾客从此 10 张券中任抽 2 张，求： 该顾客中奖的概率； 该顾客获得的奖品总价值 ? （元）的概率分布列和期望 ()E? . 23 （本小题满分 10分） - 7 - 如图，已知四棱锥 P ABCD? 的底面是菱形，对角线 ,ACBD 交于点 O ， 4OA? ， 3OB? ，4OP? ， OP? 底面 ABCD ，设点 M 满足 ( 0)PM MC?. 当 12? 时，求直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值； 若二面角 M AB C?
10、的大小 为 4? ，求 ? 的值 . 24 （本小题满分 10分） 已知数列 nx 中， 1 1x? ，1 1 nn nxx px? ? ?（ *nN? ， p 是正常数） 当 2p? 时，用数学归纳法 证明 2nx ? （ *nN? ） ； 是否存在正整数 M ，使得对于任意正整数 n ，都有 Mnxx? - 8 - 高邮中学 2017-2018学年度高三年级第一学期十月双周考试 数学试卷（必做部分答案） 2017.10 一、填空题： 1、 1 2、 01a? 3、充分不必要 4、假 5、 2 6、sin(2 )6yx? 7、 5 8、 6 9、 370, , , 88? 10、 ? ? ?
11、 ?12? ? ?， ， 11、 312? 12、 2 个或 3 个或 4 个 13、 1,13?14、 21313 二、解答题： 15 、 解 ： ( ) 3 s i n 2 c o s c o s 2 1 2 s i n ( 2 ) 16f x x x x x ? ? ? ? ? ? ? 4分 ()fx 的最小正周期为2T?， ? 6 分 令 sin(2 ) 06x ?，则 ()2 12kx k Z? ? ?， ()fx 的 对 称 中 心 为( ,1)( )2 12k kZ?； ? ? -8分 , 63x ? 526 6 6x? ? ? ? ? ? 1 sin(2 ) 126x ? ?
12、? ? 1 ( ) 2fx? ? ? 当 6x ? 时， ()fx 的最小值为 0 ；当 6x? 时， ()fx 的 最 大 值 为3 . ? 14分 16、解：解： 4m? ； ? 6分 由 22 ( ) 0a b x a c b c x c? ? ? ? ? ? ?得22( 4 8 ) ( 1 6 ) 0x m x m? ? ? ? ?， ? 8分 2 2 2( 4 8 ) 4 ( 1 6 ) 1 2 6 4m m m m? ? ? ? ? ? ? ? 10分 当 0? ，即 16 03 m? ? ? 时，不等式无解； ? 12 分 当 0? 即 16 03mm? ? ?或 时， - 9
13、- 不等式的解集为22( 2 4 3 1 6 , 2 4 3 1 6 )m m m m m m? ? ? ? ? ? ? 14 分 17 解：若 2m? ，则 (2,4)P 当斜率不存在时， 2x? ，此时与圆 C 相切； 当斜率存在时，设切线为 4 ( 2)y k x? ? ? ，即 4 2 0kx y k? ? ? ? 所以2| 4 0 4 2 |21kkd k? ? ? ，解得 34k? ，即 33( ) 4 2 ( ) 044xy? ? ? ? ? ?， 所 以3 4 22 0xy? ? ?， 所以所求的直线为 2x? 或3 4 22 0xy? ? ?； ? 6分 由题意知， 过点 ,
14、 , ,PMNC 的圆为以 PC 为直径的圆，圆心为 4( ,2)2m? ，半径2( 4 ) 1 622mPCR ? ， 所以所求的圆为 22 2 2( 4 ) 1 64( ) ( 2 ) ( )22 mmxy ? ? ? ?， 整理得 224 4 ( 4 ) 0x x y y m x? ? ? ? ? ?，所以22404 4 0xx x y y? ? ? ? ?， 40xy? ?（舍） 44xy? ?过点 , , ,PM NC 的圆过定点 (4,4) ?14分 18 解：在 PMARt? 中， ?tan?APAM ，得 ?tan2?AM ，所以? t a n2t a n2221 ?P M A
15、S 由 ? BPNM P NAPM , 2, ? ? M PNAPM 在 PNBRt? 中， ?tan?BNBP ， 得 ?tan1?BN ，所以 ? t a n2 1t a n1121 ? P M AS所以绿化草坪面积PBNPAM SSABBCADS ? ? )(21? t a n121t a n23)332(21 ? 9 3 1 1( 2 ta n ),2 2 ta n? ? ? ? ? 3,6 ? ? 4分 - 10 - 2t a n121t a n22t a n121t a n2 ? ? ，当且当 ? tan2 1tan2 ? ， 21tan ? ，? 3,6 ? ? ? 6分 所以绿
16、化草坪面积的最大值为 )2239( ? 平 方 百米 . ? 8分 在 PMARt? 中， ?cos?PMAP ，得 ?cos2?PM ， 由 ? BPNM P NAPM , 2, ? ? M PNAPM ，在 PNBRt? 中，?sin?PNBP ， 得 ?sin1?PN ， 所 以 总 美 化 费 用 为3,6,s in2c o s2 ? ?y ? 10 分 方法一：? 223322 c o ss i n)( s i n2s i nc o s2c o ss i n2 ?y? ?22 2c o ss i n)c o so ss i n) ( s i nc o s( s i n2 ? 令 0 ?y 得 4? 列表如下 ? 6? )4,6( ? 4? )3,4( ? 3? y - 0 - y 344? 单调递减 4 单调递增 344? 所以当 4? 时，即 1,2 ? BMAM 时总美化费用最低为 4万元 . ? 16 分 方法二： ? ? c o ss in )c o s( s in2s in2c o s2 ?y 令 ? ? 2,2 31,c o ss in tt ? 得 2 1cossin 2 ? t? ， 所 以 142 ?t ty ，
