1、 - 1 - 辽宁省瓦房店市 2018届高三数学 12月月考试题 理 时间： 120分钟 满分： 150分 一、选择题（共 12小题，每题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 60 分） 1已知集合 4 | 02xA x Z x ? ? ?， 1 | 2 44 xBx? ? ?，则 AB? =（ ） A. | 1 2xx? ? ? B. ? ?1,0,1,2? C. ? ?2, 1,0,1,2? D. ? ?0,1,2 2已知 i 为虚数单位， z 为复数 z 的共轭复数，若 29z z i? ? ? ，则复数 z 在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
2、 D. 第四象限 3.若 ? 为第二象限角，且 c o s s in 1 2 s in c o s2 2 2 2? ? ? ? ? ?，那么 2? 是（ ） A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 4下图的程序框图表示求算式 “2 3 5 9 17“? ? ? ? 之值，则判断框内可以填 ( ) A. 10k? B 16k? C 17k? D 34k? 5在 ABC? 中， 2332sin A sin C cosAcosA sin A cosC? ?，是角 A， B， C，成等差数列的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也必
3、要条件 6锐角三角形中， ,abc分别是内角 ,ABC 的对边，设 2BA? ，则 ab 的取值范围是（ ） A. 32,32?B. ? ?2,2 C. ? ?2, 3 D. 02（ ， ） 7某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是 （ ） - 2 - A. ? ?833? B. ? ?8 2 36? C. ? ?836? D. ? ?433? 8在 ABC? 中，点 O 是 BC 的三等分点（靠近点 B），过点 O 的直线分别交直线 AB ， AC于不同两点 MN， ，若 AB mAM? ， AC nAN? ， ,mn均为正数，则 11mn? 的最小值为（ ） A. 2 B. 21 3?
4、 C. 231 3? D. 221 3?9设 ?na 为等差数列，若 1110 1aa ? ， 且它的前 n 项和 nS 有最小值，那么当 nS 取得最小正值时的 n 值为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 10为迎接中国共产党的十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛 .该校高三年级准备从包括甲、乙、丙在内的 7 名学生中选派 4 名学生参加，要求甲、乙、丙这 3 名同学中至少有 1 人参加，且当这 3 名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的 4名学生不同的朗诵顺序的种数为（ ） A. 720 B. 768 C. 810 D. 816 11已知双
5、曲线 22: 1 ( 0 , 0 )xyE a bab? ? ? ?的右顶点为 A，抛物线 2:8C y ax? 的焦点为 F，若在 E的渐近线上存在点 P使得 PA FP? ，则 E的离心率的取值范围是（ ） A. ? ?1,2 B. 321,4? ?C. ? ?2,? D. 32,4? ?12设 ?fx是定义在 ? ? ? ?,0 0,? 的奇函数，其导函数为 ?fx? ，且当 ? ?0,x ? 时， ? ? ? ?s in c o s 0f x x f x x? ?，则关于 x 的不等式 ? ? 2 sin6f x f x? ?的解集为 ( ) A. , 0 0,66? ? ? ? ?
6、? ? ? ? ?B. , 0,66? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?- 3 - C. ,66? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?D. , 0 ,66? ? ? ? ? ? ? ? ? ?二、填空题（共 4 小题，每题只有一个正确答案，每小题 5 分，共 20 分） 13已知曲线 yx? ， 2yx? ，与 x 轴所围成的图形的面积为 S ，则 S? _ 14已知 ? ? ?*1lo g 2nna n n N? ? ?，观察下列算式： 1 2 2 3 l g 3 l g 4l o g 3 l o g 4 2l g 2 l g 3aa? ? ? ? ? ? ；1 2 6 2
7、 3 7 l g3 l g 4 l g 8l o g 3 l o g 4 l o g 8 3l g 2 l g3 l g 7a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?；? 若 1 2 3 2017ma a a a? ? ? ? ?，则 m 的值为 _ 15.若 8822107)21)(1 xaxaxaaxx ? ?（ ，则 721 aaa ? ? 的值 _ 16.三棱锥 P ABC? 中， PC? 平面 ABC ，且 2AB BC C A PC? ? ? ?，则该三棱锥的外接球的表面积是 _ 三、解答题（共 6小题， 17 21题 12 分， 选做题 10 分共 70分） 17设
8、向量 ? ?2c o s 2 , 2 , 1 , c o s3a x b x? ? ?，其中 xR? ，且函数 ? ?f x a b? . （ 1）求 ?fx的最小正周期； （ 2）设函数 ? ? 2 6 24g x f x ? ? ? ?，求 ?fx在 ,34?上的零点 . 18 如 图 ， 五 面 体 P ABCD? 中， CD? 平面 PAD , ABCD 为 直 角 梯 形 ，1 ,22B C D P D B C C D A D A P P D? ? ? ? ? ?， . （ 1）若 E 为 AP 的中点，求证： BE /平面 PCD ； （ 2）求二面角 P AB C?的余弦值 .
9、19.已知在公差不为零的等差数列 ?na 中， 5a 和 7a 的等差中项为 11，且 2 5 1 14a a aa? ，其前 n项和为 nS - 4 - （ 1） 求 ?na 的通项公式 na ； （ 2） 求证： 121 1 1 53nS S S? ? ? 20给定椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?，称圆心在原点 O ，半径为 22ab? 的圆是椭圆 C 的“准圆” .若椭圆 C 的一个焦点为 ? ?20F ， ，其短轴上的一个端点到 F 的距离为 3 . （ 1）求椭圆 C 的方程和其“准圆”方程； （ 2）点 P 是椭圆 C 的“准圆”上的动点，过点 P 作椭圆
10、的切线 12,ll交“准圆 ”于点 ,MN. 当点 P 为“准圆”与 y 轴正半轴的交点时，求直线 12,ll的方程并证明 12ll? ； 求证：线段 MN 的长为定值 . 21已知函数 ? ? x kf x e x?， kR? . (1)如果对任意 0x? ， ? ? 0fx? 恒成立，求 k 的取值范围； (2)若函数 ?fx有两个零点，求 k 的取值范围； (3)若函数 ?fx的两个零点为 12,xx，证明： 122.xx? ? 请考生在第 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的普
11、通方程是 ta n ( )2yx ? ? ?，曲线 1C 的参数方程是 cossinx a aya ? ?（ ? 为参数）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 2C 的极坐标方程是 2 sinb? （ 1）写出 l 及 1C 的极坐标方程； - 5 - （ 2）已知 12a? ， 1b? ， l 与 1C 交于 ,OM两点， l 与 2C 交于 ,ON两点， 求 22 | | | | |O M O M O N? 的最大值 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 0, 0ab?，函数 ( ) | | | 2 |f x x a x b? ? ? ?的最小值为 1. （ 1）
12、求证： 22ab? ； （ 2）若 2a b tab? 恒成立，求实数 t 的最大值 . - 6 - 高三模拟考试数学（理）参考答案 一、 选择题： 1-5 BACCB 6-10 ACDCB 11-12 BD 二、填空题： 13、 76 14、 201722? 15、 125 16、 283? 三、解答题： 17.解： （ 1） ? ? 2 13f x c o s 2 x 2 c o s x c o s 2 x s i n 2 x 1 c o s 2 x3 2 2? ? ? ? ? ? ?33 s in 2 x c o s 2 x 1 3 s in 2 x 12 2 3? ? ? ? ? ?，
13、 4 分 函数 ?fx的最小正周期为 2T 2?. 6分 （ 2） ? ? g x 2 f x 6 2 2 3 s i n 2 x 64 4 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 3 s in 2 x 66? ? ?， 由 ? ?g x 0? 得， 2sin 2 x62? ? ?， 8分 当 x,34?时， 5 2 x ,6 6 3? ? ?， 32x 64? ? 或 2x 64? ? ， 即 7x 24? 或 x 24? . 函数 ?gx在 ,34?上的零点是 724? 和 24? . 12 分 18.解 :（ 1）证明：取 的中点 ，连接 ， 因为 分别是
14、 的中点，所以 且 ， 因为 ，所以 且 ，所以 , 又 平面 平面 ，所以 平面 . 4分 - 7 - （ 2）以 为坐标原点， 所在直线分别为轴和轴，建立如图所 示的空间直角坐标系， 不妨设 ， 则 ， , 设平面 的一个法向量为 ，则 ， 令 ，得 ， 同理可求平面 的一个法向量为 ， 平面 和平面 为同一个平面， 所以二面角 的余弦值为 . 12 分 19. 解（ 1） 由题意可知， 572 5 1 1422aaa a aa? ?， 则 ? ? ? ? ? ?11 1 1 12 1 0 2 2 4 1 1ada d a d a a d? ? ? ? ?， 解得 1 12ad? ?， 2
15、1nan? ? ? 5分 （ 2） 2nSn? ， 211 1 51, 113n S? ? ? ?当 7分2n?当 时 ， ? ? ? ?2 2 21 1 4 4 4 1 1=24 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1nS n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?， - 8 - 121 1 1 1 1 1 1 1 112 3 5 5 7 2 1 2 1nS S S n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 51 3 2 1 3n? ? ? ? ， 得证 12 分 20 解 （ 1） 2 3
16、 1c a b? ? ? ?， ， ?椭圆方程为 2 2 13x y?， 准圆方程为 224xy? 2分 （ 2）（ ）因为准圆 224xy?与 y 轴正半轴的交点为 ? ?02P ， ， 设过点 ? ?02P ， 且与椭圆相切的直线为 2y kx?， 所以由 222 13y kxx y?，得 ? ?221 3 1 2 9 0k x kx? ? ? ?. 因为直线 2y kx?与椭圆相切， 所以 ? ?221 4 4 4 9 1 3 0kk? ? ? ? ? ?，解得 1k? ， 4分 所以 12ll， 方程为 22y x y x? ? ? ? ?， 12 1llkk? ?， 12ll? 6分
17、 （ ） 当直线 12ll， 中有一条斜率不存在时，不妨设直线 1l 斜率不存在， 则 1l ： 3x? ， 当 1l ： 3x? 时， 与准圆交于点 ? ? ? ?3 1 3 1?， ， ， ， 此时 2l 为 1y? （或 1y? ），显然直线 12ll， 垂直； 同理可证当 1l ： 3x? 时，直线 12ll， 垂直 7分 当 12ll， 斜率存在时，设点 ? ?00,P x y ，其中 22004xy?. 设经过点 ? ?00P x y， 与椭圆相切的直线为 ? ?00y t x x y? ? ?， - 9 - 所以由 ? ?0022 13y t x x yx y? ? ?，得 ? ? ? ? ? ? 222 0 0 0 01 3 6 3 3 0t x t y tx x y tx? ? ? ? ? ? ?. 由 0? 化简整理得 ， 因为 22004xy?，所以有
