1、 - 1 - 内蒙古包头市 2018届高三数学 12月月考试题 文 考试时间： 2017年 12月 15 日 满分： 150分 考试时长： 120分钟 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合 A 1， 2， 3， B y|y 2x 1， x A，则 A B () A 1， 3 B 1， 2 C 2， 3 D 1， 2， 3 2. 复平面内表示复数 z i( 2 i)的点 位于 ( ) A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限 3.下列命题中，是真命题的（） A. 命 题 “ 若 a2 b2
2、0， a， bR ，则 a b 0” 的逆否命题是 假命题； B. 已知 a， b都是实数，那么 “ a b” 是 “ lnalnb” 的充分不必要条件 ； C. 命题 “ ? x R， sin x 1” 的否定是 “ ? x R， sin x 1 ”； D. “si cos?”是“cos2 0?”的充分不必要条件； 4已知 F是双曲线 C： x2- 23y =1的右焦点， P是 C 上一点，且 PF与 x轴垂直，点 A的坐标是(1,3).则 APF的面积为 （） A 13 B 1 2 C 2 3 D 3 2 5 .函数 2 1sin x cos xy cos x? ? 的部分图像大致为 （）
3、 6 在 ABC中， a 4， b 52， 5sin(B C)-4 0，则 角 B的大小为 （） A.6 B.4 C.3 D.56 - 2 - 7.设首项为 1，公比为 23 的等比数列 an的前 n项和为 Sn，则（） A. 12 ? nn aS B. 23 ? nn aS C. nn aS 34? D. nn aS 23? 8 过抛物线 y2 4x的焦点 F的直线交该抛物线于 A， B两点，若 |AF| 3，则 |BF| =（） A.3 B.32 C. 23D.2 9.在四边形 (1 2 ), ( 4 2 ),A B C D A C B D? ? ?中 ， ， ，则该四边形的面积为（ ）
4、A. 5 B.25 C.5 D.10 10. 已知 函数 f(x)是定义在 R上的 偶函数，且在区间 0, )? 上单调递增 .若实数 a满足212(lo g ) (lo g ) 2 (1)f a f a f?，则 a的取值范围是 ( ) A.1,2 B. 1(0, 2C. 1 ,22D.(0,2 11.设 12,FF分别是椭圆 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左右焦点， P为直线 54xa? 上一点， 21FPF?是底角为 030 的等腰三角形，则 C 的离心率为（） A.58B. 104C. 34D. 32 12.若函数 1( ) sin 2 sin3f x x x a x?
5、 ? ?在 ? ?,? 上单调递增，则 a 的取值范围是 ( ) A ? ?1,1? B 11,3?C 11,33?D 11,3?二 、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分。） 13.已知向量 ? ? ? ? ? ? ? ?1 , 1 , 2 , 2 , , =? ? ? ? ? ? ?m n m n m n? ? ?若 则_； 14已知 ABC的外接圆半径为 6 中，已知 B 45 ， D是 BC 边上的一点若 AD 1， AD AC 3， 则 CD的长 为 _； 15.数列 ?na 的 n 前项和为 nS ，若 111, 3 ( 1),nna a S n? ? ?则 6a?
6、_； 16若 存在 2,3,x? 则不等式 1 12xaxx? ?成立，则实数 a 的最小值为 _ 三、 解答题（本大题共 6小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.已知函数? ? 2si n 2 3 si n 2xf x x? - 3 - （ I） 求?fx的最小正周期 ； （ II）求 在区间20,3?上的最小值 18.已知数列?na的前 n项和 为S，2nSn?， 数列?nb满足2 3 1, 2.nna b b? ? ?(I)求a及b； (II)记?表示 的 个位数字，如7174 4,? ?求数列1nnab? ? ?的前 20 项和 19.已知各项均不相等的等差
7、数列?na的前四项和4 14S?，且1 3 7,a a a成等比数列 (I)求数列?na的通项公式； (II)求 数列13 nnna?的 前 n项和nT 20.设椭圆 13222 ?yax （ 3?a ）的右焦点为 F ，右顶点为 A ，已知| 3| 1| 1 FAeOAOF ?，其中 O 为原点， e 为椭圆的离心率 . （ ）求椭圆的方程； （ ）设过点 A 的直线 l 与椭圆交 于点 B （ B 不在 x 轴上），垂直于 l 的直线与 l 交于点 M ，与 y 轴交于点 H ，若 HFBF? ，且 MAOMOA ? ，求直线的 l 斜率 . 21 已知函数 ( ) ln2af x xx?
8、 ，其中 a?R （ ） 给出 a 的一个取值，使得曲线 ()y f x? 存在斜率为 0 的切线，并说明理由； （）若 ()fx存在极小值和极大值，证明： ()fx的极小值大于极大值 - 4 - 选考题 (（本小题满分 10分）请考生在 22、 23题中任选一道题做答，如果多做，则按所 做的第一题计分 22在极坐标系中，已知三点 O（ 0， 0）， A（ 2， ）， B（ 2 ， ） （ 1）求经过 O， A， B的圆 C1的极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2 的参数方程为（ 是参数），若圆 C1与圆 C2外切，求实数 a的值 23 设
9、 f(x) |x| |x 10|. (I)求 f(x) x 15的解集 M； (II)当 a， b M时，求证： 5|a b| ab 25|. - 5 - 高三年级第一学期第四次调研文科数学试卷答案 一、选择题 ACDDCADBCCAC 二、 填空 13、 -3 14、 7 15、 768 16、 72 三、 解答题 17.（ I）2?；（ II）3?. 18.同理 17 19.（ 1）1nan?（ 2）116 ( 2) ( )3 nnTn ? ? ?20.（）求椭圆标准方程，只需确定量，由 1 1 3| | | | | |cOF OA FA?，得 1 1 3()cc a a a c? ? ，
10、再利用 2 2 2 3a c b? ? ? ， 可解得 2 1c? ， 2 4a? （）先化简条件：MOA MAO? ? ? | | | |MA MO? ， 即 M再 OA中垂线上， 1Mx ? ， 再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求 B ；利用两直线方程组求 H，最后根据 HFBF? ， 列等量关系解出直线斜率 . 试题解析：（ 1）解：设 (,0)Fc ，由 1 1 3| | | | | |cO F O A FA?，即 1 1 3()cc a a a c? ?，可得2 2 23a c c? ，又 2 2 2 3a c b? ? ? ，所以 2 1c? ，因此 2 4a? ，所以椭圆的方
11、程为 22143xy?. （ 2）设直线的斜率为 ( 0)kk? ，则直线 l 的方程为 ( 2)y k x?， 设 ( , )BBBx y ，由方程组 221,43( 2),xyy k x? ?消去 y ， 整理得 2 2 2 2( 4 3 ) 1 6 1 6 1 2 0k x k x k? ? ? ? ?，解得 2x? 或 228643kx k ? ?， 由题意得 228643B kx k ? ?，从而21243B ky k? ?， - 6 - 由（ 1）知 (1,0)F ，设 (0, )HHy，有 ( 1, )HFH y? ， 2229 4 1 2( , )4 3 4 3kkBF kk?
12、 ?， 即 2 2 2 2( 2 )M M M Mx y x y? ? ? ?，化简得 1Mx ? ，即 2220 9 112( 1)kk ? ?， 解得 64k? 或 64k? ， 所以直线 l 的斜率为 64k? 或 64k? . 21 解： （） 函数 ()fx的定义域 是 | 0D x x?，且 2x? ，且2 1() ( 2)afx xx? ? ? ? 2分 当 1a? 时，曲线 ()y f x? 存在斜率为 0 的切线证明如下： 3分 曲线 ()y f x? 存在斜率为 0 的切线 ? 方程 ( ) 0fx? ? 存在 D 上的解 令2110( 2) xx? ? ?，整理得 2 5
13、 4 0xx? ? ? ， 解得 1x? ，或 4x? 所以当 1a? 时，曲线 ()y f x? 存在斜率为 0 的切线 5分 注：本题答案不唯一，只要 0a? 均符合要求 （）由（）得 2 1() ( 2)afx xx? ? ? ? 当 0a 时， ( ) 0fx? ? 恒成立 ， - 7 - 函数 ()fx在区间 (0,2) 和 (2, )? 上单调递增，无极值，不合题意 6 分 当 0a? 时，令 ( ) 0fx? ? ，整理得 2 ( 4) 4 0x a x? ? ? ? 由 2 ( 4) 16 0a? ? ? ? ? ?， 所以，上述方程必有 两个不相等 的 实数解 1x ， 2x
14、 ，不妨设 12xx? 由 12124 4,4,x x axx? ? ? ? ? 得 1202xx? ? ? 8分 ()fx? ， ()fx的变化情况如下表： x 1(0, )x 1x 1( ,2)x 2(2, )x 2x 2( , )x ? ()fx? ? 0 ? ? 0 ? ()fx 极大值 极小值 所以， ()fx存在极大值 1()fx ，极小值 2()fx 10分 2 1 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) ( l n ) ( l n ) ( ) ( l n l n )2 2 2 2a a a af x f x x x x xx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
15、 ? ? 11分 因为 1202xx? ? ? ， 且 0a? ， 所以21022aaxx?， 21ln ln 0xx?， 所以 21( ) ( )f x f x? 所以 ()fx的极小值大于极大 值 22在极坐标系中，已知三点 O（ 0， 0）， A（ 2， ）， B（ 2 ， ） （ 1）求经过 O， A， B的圆 C1的极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系，圆 C2 的参数方程为（ 是参数），若圆 C1与圆 C2外切，求实数 a的值 【解答】解：（ 1）将 O， A， B三点化成普通坐标为 O（ 0， 0）， A（ 0， 2）， B（ 2，
16、2） 圆 C1的圆心为（ 1， 1），半径为 ， 圆 C1的普通方程为 （ x 1） 2+（ y 1） 2=2， 将 代入普通方程得 2 2cos 2sin=0 ， =2 sin（ ） - 8 - （ 2） 圆 C2的参数方程为 （ 是参数）， 圆 C2的普通方程为（ x+1） 2+（ y+1） 2=a2 圆 C2的圆心为（ 1， 1），半径为 |a|， 圆 C1与圆 C2外切， 2 = +|a|，解得 a= 23.【解析】（ ）由 得： 或 或? （ 3分） 解得 ， 所以 的解集为.? （ 5分） （ ）当 ，即 ， 时， 要证 ，即证.? （ 6分） ? （ 9分） ，即.? （ 10分）
