1、简单多面体与球的接切问题简单多面体与球的接切问题 一一.球的概念球的概念 1球的概念球的概念 与定点的距离等于定长的点的集与定点的距离等于定长的点的集 合，叫做合，叫做 。 半圆以它的直径为旋转轴，旋半圆以它的直径为旋转轴，旋 转所成的曲面叫做转所成的曲面叫做球面球面.球面所球面所 围成的几何体叫做围成的几何体叫做球体球体. 球的旋转定义球的旋转定义 球的集合定义球的集合定义 与定点的距离等于或小于定长的与定点的距离等于或小于定长的 点的集合，叫做点的集合，叫做球体球体。 球面球面 二二 球的性质球的性质 性质性质2: 球心和截面圆心的连线垂球心和截面圆心的连线垂 直于截面直于截面 22 dR
2、r 性质性质1：用一个平面去截：用一个平面去截球球，截面是，截面是圆面圆面； ； 用一个平面去截用一个平面去截球面球面， 截线是截线是圆圆。 。 大圆大圆-截面过球心，半径等于球半径；截面过球心，半径等于球半径； 小圆小圆-截面不过球心截面不过球心 性质性质3: 球心到截面的距离球心到截面的距离d与球与球 的半径的半径R及截面的半径及截面的半径r 有下面的关系有下面的关系: A 2.一球的球面面积为 256 cm2， 过此球的一条半径中点， 作垂直于这条半径的截面，求截面圆的半径和面积 解：设 O 为球心，O为截面圆圆心，如右图，则 OO OA，OA 为截面圆半径，OA 为球的半径 根据球的表
3、面积公式，则有： 4 AO2256，得 AO8 cm， 在 RtAOO 中， OO1 2AO4 cm. 所以 AO AO2OO2 82424 3(cm) S截面圆 AO2 (4 3)248(cm2) 所以截面圆半径为 4 3 cm，面积为 48cm2. 正方体的内切球正方体的内切球,外接球外接球,棱切球棱切球 1正方体与球正方体与球 切点：切点：各个面的中心各个面的中心。 球心：球心：正方体的中心正方体的中心。 直径：直径：相对两个面中心连线相对两个面中心连线。 o 球的直径等于正方体棱长。 aR2 一、正方体的内切球一、正方体的内切球 二、球与正方体的棱相切二、球与正方体的棱相切 球的直径等
4、于正方体一个面上的对角线长 aR22 切点：切点：各棱的中点各棱的中点。 球心：球心：正方体的中心正方体的中心。 直径：直径： “对棱”中点连线“对棱”中点连线 三、三、 正方体的外接球正方体的外接球 球直径等于球直径等于正方体的（体）对角线 aR32 正方体的内切球正方体的内切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球 三个球心合一三个球心合一 1:2 :3半径之比为半径之比为： 2长方体与球长方体与球 一、长方体的外接球一、长方体的外接球 长方体的（体）对角线等于球直径 Rcbal cba 2 222 ，则、分别为设长方体的长、宽、高 一般的长方体有内切球吗？一般的长方体有内切球吗？ 没有。没有
5、。一个球在长方体内部，最多一个球在长方体内部，最多 可以和该长方体的可以和该长方体的5个面相切。个面相切。 如果一个长方体有内切球，如果一个长方体有内切球， 那么它一定是那么它一定是 正方体正方体 ？ 例例1：如图，半球内有一内接正方体，正方体：如图，半球内有一内接正方体，正方体 的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面的一个面在半球底面圆内。则这个半球的面 积与正方体表面积的比为积与正方体表面积的比为 （ ） 将半球补成整球将半球补成整球 aaaal6)2( 222 分析分析2 2 2222 2 , 2 2 ,23 2 OAaOBRABa aaRRa O A B O A B 设球心为设球心为O
6、，则，则O亦为底面正方形的中心亦为底面正方形的中心。 如图，连结如图，连结OA、OB，则得，则得RtOAB. 设正方体棱长为设正方体棱长为a，易知：，易知： 22 22 23 662 SRa Saa 半球 正方体 例例 2：(2010 年高考课标全国卷年高考课标全国卷)设三棱柱设三棱柱 的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都，顶点都 在一个球面上，则该球的表面积为在一个球面上，则该球的表面积为( ) O1B2 3 3a 2 3a 3 ， R2(a 2) 2 ( 3a 3 )27a 2 12 ， S4R27a 2 3 3正四面体与球正四面体与球 1.求棱长为
7、求棱长为a的正四面体的外接球的半径的正四面体的外接球的半径R. 2 2 6 . 4 Ra 将正四面体放到正方体中， 得正方体的棱长为a, 且正四面体的外接球 即正方体的外接球， 所以 2.求棱长为求棱长为a的正四面体的棱切球的半径的正四面体的棱切球的半径R. 2 4 Ra 正四面体的外接球和棱切球的球心重合。正四面体的外接球和棱切球的球心重合。 3.求棱长为求棱长为a的正四面体的内切球的半径的正四面体的内切球的半径r. rShSV 全面积底面积 3 1 3 1 ar 12 6 ShSr 底面积全面积 1 4 Sr Sh 底面积 全面积 1 4 rh 正四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？正
8、四面体的外接球和内切球的球心为什么重合？ ？ 6 3 ha 正四面体的外接球和内切球的球心一定重合正四面体的外接球和内切球的球心一定重合 R:r=3:1 ar 12 6 6 4 Ra 2 4 Ra 正四面体的内切球正四面体的内切球, 棱切棱切球球, ,外接球外接球 三个球心合一三个球心合一 3 :1:3 3 半径之比为半径之比为： 1:2 :3 P A B C M O R R .正四面体的外接球还 可利用直角三角形勾 股定理来求 P A M D E O D O P A B C D K H .正四面体的正四面体的内切球 还可利用截面三角 形来求 O1 A B E O 1 3 2 F 4半径为 R
9、 的球的外切圆柱的表面积是_ 解析：外切圆柱的底面半径为 R，高为 2R. 答案：6R2 5把直径分别为 6 cm,8 cm,10 cm 的三个铜球熔制成一 个较大的铜球，再把球削成一个棱长最大的正方体，求此正 方体的体积 解： 设熔制后的大铜球半径为 r， 则4 3(3 34353)4 3r 3， r6 cm. 据题意：正方体为球的内接正方体，球的直径即为正方 体对角线的长，故正方体的棱长 a 2r 3 12 34 3 cm. V正方体a3(4 3)3192 3 cm3. 规律归纳 处理有关球切、接的相关问题时，要注意球心的位置与 几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在 几何体
10、的特殊位置，比如中心，对角线中点等问题的求解 就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径 4.若一个底面边长为 6 2 ， 侧棱长为 6的正六棱柱(底面是 正六边形，各侧面均为矩形)的所有顶点都在一个球面上，则 此球的体积为_ 解析：设球的半径为 R， 正六棱柱的最长的体对角线即为球的直径， (2R)2( 6)2(2 6 2 )2. R 3，V球4 3( 3) 34 3. 答案：4 3 3 三棱锥的三条侧棱两两垂直， 其长分别是 1、 2、 3， 则此三棱锥的外接球的表面积是( ) A6 B12 C18 D24 解析：由三棱锥的三条侧棱两两垂直，可使我们想象到 把它补成一个长方体，且长方体的八个顶点都在球面上，它 的长、宽、高分别是 1、 2、 3，它的体对角线是球的直径， 外接球的直径为 2R 12 22 32 6，表面 积为 6. 答案：A 补形补形 正四面体常常补成正四面体常常补成正方体正方体求外接球的半径求外接球的半径 三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体长方体 小结小结:常见的补形常见的补形
