1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握向量的数乘运算及其几何意义(重点) 2掌握向量共线定理的应用(难点) 3理解实数相乘与向量数乘的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量的数乘运算 阅读教材 P87P88例 5 以上内容，完成下列问题 1定义：一般地，我们规定实数 与向量 a 的积是一个_，这种运算 叫做_，记作_ 2规定：|a|a|，当_时， a 的方向与 a 的
2、方向_；当 0 相同 相反 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3运算律： 设 ， 为实数，则 (1)(a)_； (2)()a_； (3)(ab)_ 特别地，我们有 ()a_， (ab)_ a aa ab (a) (a) ab 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设 a 是非零向量， 是非零实数，则以下结论正确的有_ a 与a 的方向相反； |a|a|； a 与 2a 方向相同； |2a|2| |a|. 【解析】 由向量数乘的几何意义知正确 【答案】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 共线向量与向量的线性运算 阅读教材 P88例 5 以下至 P89例 7
3、以上内容，完成下列问题 1共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使得_ 2向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的_运算对于任意向量 a、b， 以及任意实数 、1、2，恒有 (1a 2b)_ ba 线性 1a2b 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 如图 2219，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AB AD AO ，则 _. 图 2219 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB AD AC ， 又O 是 AC 的中点，AC2AO， AC 2AO ，AB AD 2AO ，
4、 2. 【答案】 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 数乘向量的定义及其几何意义 (1)若两个非零向量 a 与(2x1)a 方向相同， 则 x 的取值范围为_ (2)若平面内不共线的四点O， A， B， C 满足OB 1 3OA 2 3OC ， 则|AB | |BC | _. (3)已知点 C 在线段 AB 的延长线上(在 B 点右侧)，且 ABAC23. 用BC 表示AB ； 用CB 表示AC . 上
5、一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 对数乘运算的理解，关键是对系数 的作用的认识： 0 时，a 与 a 同向，模是|a|的 倍； 0，即 x1 2. (2)因为OB 1 3OA 2 3OC ，所以OB OA 1 3OA 2 3OC OA ， 即AB 2 3AC ， 所以|AB |2 3|AC |， 同理可得|CB |1 3|CA |， 得|AB | |CB | 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (1)x1 2 (2)2 (3)如图 a，因为点 C 在线段 AB 的延长线上，且 ABAC23，所以 AB 2BC，AC3BC 如图 b，向量AB 与BC 方
6、向相同，所以AB 2BC ； 如图 c，向量AC 与CB 方向相反，所以AC 3CB . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 对向量数乘运算的三点说明： (1)a 中的实数 叫做向量 a 的系数 (2)向量数乘运算的几何意义是把a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小 (3)当 0 或 a0 时，a0.注意是 0，而不是 0. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1已知 a，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由 (1) 2a 的方向与 a 的方向相同，且 2a 的模是 a 的模的 2倍； (2)3a 的方向与 6a 的方向相反，且3a 的模是 6a 的模的1
7、2； (3)4a 与 4a 是一对相反向量； (4)ab 与(ba)是一对相反向量； (5)若 a，b 不共线，则 0 a 与 b 不共线. 【导学号：00680042】 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 (1)真命题 20， 2a 与 a 同向， | 2a| 2|a|， 2a 的模是 a 的模的 2倍 (2)真命题30，6a 与 a 方向相同且|6a|6|a|， 3a 与 6a 方向相反且模是 6a 的模的1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)真命题由数乘定义和相反向量定义可知 (4)假命题 ab 与 ba 是相反向量， ab 与(ba)是相等向量 (5)
8、假命题.0 a0，0a 与 b 共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量的线性运算 (1)化简：(2a3bc)(3a2bc)_. (2)已知向量 a，b，x，且(xa)(bx)x(ab)，则 x_. 【精彩点拨】 (1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)(2a3bc)(3a2bc)2a3a3b2bcc a5b2c. (2)因为(xa)(bx)x(ab)，所以 2xabxab，即：x0. 【答案】 (1)a5b2c (2)0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 向量数乘运算的方法：
9、(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算， 实数运算中的去括号、 移项、 合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这 里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数 (2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程 的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2(2016 枣庄高一检测)化简1 3 1 2（2a8b）（4a 2b）的结果是( ) A2ab B2ba Cba Dab 【解】 原式1 3(a4b4a2b) 1 3 (6b3a)2ba. 【答案】 B 上一
10、页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量共线问题 探究 1 已知 m，n 是不共线向量，a3m4n，b6m8n，判断 a 与 b 是否共线？ 【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数 ，使得 a b 即可 若 a 与 b 共线，则存在 R，使 ab，即 3m4n(6m8n) m，n 不共线， 63， 84. 不存在 同时满足此方程组，a 与 b 不共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 已知 e1，e2是共线向量，a3e14e2，b6e18e2，则 a 与 b 是 否共线？ 【提示】 e1，e2共线， 存在 R，使 e1e2. a3e14e23e
11、24e2(34)e2， b6e18e26e28e2(68)e2， a34 68 b 4 3 ， a 与 b 共线 当 4 3时，b0，a 与 b 共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 3 设两非零向量 e1和 e2不共线，是否存在实数 k，使 ke1e2和 e1 ke2共线？ 【提示】 设 ke1e2与 e1ke2共线， 存在 使 ke1e2(e1ke2)， 则(k)e1(k1)e2. e1与 e2不共线， 只能有 k0， k10，则 k 1. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知非零向量 e1，e2不共线 如果AB e1e2，BC 2e18e2，CD 3(e1e2)
12、，求证 A、B、D 三点共线 【精彩点拨】 欲证 A、B、D 共线，只需证存在实数 ，使BD AB 即可 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 证明：AB e1e2， BD BC CD 2e18e23e13e2 5(e1e2) 5AB . AB ，BD 共线，且有公共点 B， A、B、D 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1本题充分利用了向量共线定理，即 b 与 a(a0)共线ba，因此用它 既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值 2向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相 表示，从而判断共线 上一页上一页返回首页返回
13、首页下一页下一页 再练一题 3设两个非零向量 e1，e2不共线，已知AB 2e1ke2，CB e13e2，CD 2e1e2.问：是否存在实数 k，使得 A、B、D 三点共线，若存在，求出 k 的值； 若不存在，说明理由 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 设存在 kR，使得 A、B、D 三点共线， DB CB CD (e13e2)(2e1e2)e14e2，AB 2e1ke2. 又A、B、D 三点共线，AB DB ， 2e1ke2(e14e2)， 2 k4 ，k8， 所以存在 k8，使得 A、B、D 三点共线 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首
14、页返回首页下一页下一页 1下列各式中不表示向量的是( ) A0a Ba3b C|3a| D 1 xye(x，yR，且 xy) 【解析】 向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a|不是向量 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2下列计算正确的个数是( ) (3) 2a6a；2(ab)(2ba)3a；(a2b)(2ba)0. A0 B1 C2 D3 【解析】 因为(3) 2a6a 故正确；中左2a2b2ba3a 成 立，故正确；中左a2b2ba00，故错误 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3. 3a1 2bc 2a3 4bc 等于( ) Aa1 4b2
15、c B5a1 4b2c Ca5 4b2c D5a5 4b 【解析】 3a1 2bc 2a3 4bc (3a2a) 1 2b 3 4b (cc)a 1 4b 2c.故选 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4O 为平行四边形 ABCD 的中心，AB 4e1，BC 6e2，则 3e22e1 _ 【解析】 设点 E 为平行四边形 ABCD 的 BC 边中点，点 F 为 AB 边中点， 则 3e22e1BE BF BO OD . 【答案】 OD (或BO ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5在四边形 ABCD 中，AB a2b，BC 4ab，CD 5a3b，证明： 直线 ADBC 【导学号：00680043】 【证明】 AD AC CD AB BC CD (a2b)(4ab)(5a 3b)8a2b2(4ab)2BC ，AD 与BC 共线 又 AD 与 BC 不重合，直线 ADBC 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
