1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握平面向量的坐标表示及其坐标运算(重点) 2理解平面向量坐标的概念(难点) 3向量的坐标与平面内点的坐标的区别与联系(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 平面向量的正交分解及坐标表示 阅读教材 P94P95内容，完成下列问题 1平面向量的正交分解： 把一个向量分解为两个互相_的向量，叫做把向量正交分解 垂
2、直 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2平面向量的坐标表示： 在平面直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向_的两个_向量 i、 j 作为_ 对于平面内的一个向量 a， 由平面向量基本定理知， _ 一对实数 x，y，使得 axiyj，我们把有序数对_叫做向量 a 的坐标，记 作 a(x，y)，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，a(x， y)叫做向量的坐标表示显然，i_，j_，0_ 相同 单位 基底 有且只有 (x，y) (1，0) (0，1) (0，0) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)两
3、个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同( ) (2)当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标( ) (3)两向量差的坐标与两向量的顺序无关( ) (4)点的坐标与向量的坐标相同( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1)错误对于同一个向量，无论位置在哪里，坐标都一样 (2)正确根据向量的坐标表示，当始点在原点时，终点与始点坐标之差等 于终点坐标 (3)错误根据两向量差的运算，两向量差的坐标与两向量的顺序有关 (4)错误当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标等于(终)点的坐标 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一
4、页 教材整理 2 平面向量的坐标运算 阅读教材 P96“思考”以下至 P97例 4 以上内容，完成下列问题 1若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，即两个向量 和的坐标等于这两个向量相应坐标的和 2若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab_，即两个向量 差的坐标等于这两个向量相应坐标的差 3若 a(x，y)， R，则 a_，即实数与向量的积 的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标 (x1x2，y1y2) (x1x2，y1y2) (x，y) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4向量坐标的几何意义： 在平面直角坐标系中，若 A(x，y)，则OA _，若 A(x1，y
5、1)，B(x2，y2)， 则AB _如图 2314 所示 图 2314 (x，y) (x2x1，y2y1) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知向量 a(x3，x23x4)与AB 相等，其中 A(1，2)，B(3，2)，则 x _. 【解析】 易得AB (2，0)， 由 a(x3，x23x4)与AB 相等得 x32， x23x40，解得 x1. 【答案】 1 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 平
6、面向量的坐标表示 (1)已知AB (1，3)，且点 A(2，5)，则点 B 的坐 标为( ) A(1，8) B(1，8) C(3，2) D(3，2) (2)如图 2315， 在正方形 ABCD 中， O 为中心， 且OA (1，1)，则OB _；OC _；OD _. 图 2315 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)如图 2316，已知在边长为 1 的正方形 ABCD 中，AB 与 x 轴正半轴 成 30 角，求点 B 和点 D 的坐标和AB 与AD 的坐标 图 2316 【 精 彩 点 拨 】 表示出各点的坐标 用终点坐标减去起点坐标 得相应向量的坐标 上一页上一页返回首页返回首
7、页下一页下一页 【自主解答】 (1)设 B 的坐标为(x，y)，AB (x，y)(2，5)(x2，y 5)(1，3)，所以 x21， y53，解得 x1， y8， 所以点 B 的坐标为(1，8) (2)如题干图，OC OA (1，1)(1，1)， 由正方形的对称性可知，B(1，1)，所以OB (1，1)， 同理OD (1，1) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (1)B (2)(1，1) (1，1) (1，1) (3)由题意知 B, D 分别是 30 ，120角的终边与以点 O 为圆心的单位圆的 交点设 B(x1，y1)，D(x2，y2)由三角函数的定义， 得 x1cos30
8、 3 2 ，y1sin301 2， 所以 B 3 2 ，1 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 x2cos1201 2， y2sin120 3 2 ， 所以 D 1 2， 3 2 . 所以AB 3 2 ，1 2 ，AD 1 2， 3 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 求点、向量坐标的常用方法： (1)求一个点的坐标：可利用已知条件，先求出该点相对应坐标原点的位置 向量的坐标，该坐标就等于相应点的坐标 (2)求一个向量的坐标：首先求出这个向量的始点、终点坐标，再运用终点 坐标减去始点坐标即得该向量的坐标 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1已知边长
9、为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x 轴上， C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量AB ，AC ，BC ，BD 的坐标. 【导学号：00680048】 【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60，2sin 60)， C(1， 3)，D 1 2， 3 2 ， AB (2，0)，AC (1， 3)， BC (12， 30)(1， 3)， BD 1 22， 3 2 0 3 2， 3 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量的坐标运算 (1)设
10、AB (2，3)，BC (m，n)，CD (1，4)，则DA 等于( ) A(1m，7n) B(1m，7n) C(1m，7n) D(1m ，7n) (2)已知向量OA (3，2)，OB (5，1)，则向量1 2AB 的坐标是( ) A 4，1 2 B 4，1 2 C 1，3 2 D(8，1) (3)若 A、B、C 三点的坐标分别为(2，4)，(0，6)，(8，10)，求AB 2BC ， BC 1 2AC 的坐标 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【精彩点拨】 (1)可利用向量加法的三角形法则将DA 分解为DC CB BA 来求解 (2)可借助AB OB OA 来求1 2AB 坐标 (3
11、)可利用AB (xBxA，yByA)来求解 【自主解答】 (1)DA DC CB BA CD BC AB (1，4)(m，n)(2，3) (1m，7n) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)1 2AB 1 2(OB OA ) 1 2 （5，1）（3，2） 1 2(8，1) 4，1 2 ，1 2AB 4，1 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 (1)B (2)A (3)AB (2，10)，BC (8，4)，AC (10，14)， AB 2BC (2，10)2(8，4) (2，10)(16，8) (18，18)， BC 1 2AC (8，4)1 2(10，14)
12、 (8，4)(5，7) (3，3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 平面向量坐标的线性运算的方法： (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则 进行 (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向 量的坐标运算 (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知 a(1，2)，b(2，1)，求： (1)2a3b；(2)a3b；(3)1 2a 1 3b. 【解】 (1)2a3b2(1，2)3(2，1) (2，4)(6，3)(4，7) (2)a3b(1，2)3(2，1)(1，2)(6，
13、3)(7，1) (3)1 2a 1 3b 1 2(1，2) 1 3(2，1) 1 2，1 2 3， 1 3 7 6， 2 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 向量坐标运算的综合应用 探究 1 已知点 O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP OA tAB . 当 t 为何值时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ 【提示】 OP OA tAB (1，2)t(3，3)(13t，23t) 若点 P 在 x 轴上，则 23t0，t2 3. 若点 P 在 y 轴上，则 13t0，t1 3. 若点 P 在第二象限，则 13t0， 2 3t 1
14、 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 对于探究 1 条件不变，四边形 OABP 能为平行四边形吗？若能， 求出 t 的值；若不能，请说明理由 【提示】 OA (1，2)，PB (33t，33t) 若四边形 OABP 为平行四边形， 则OA PB ， 33t1， 33t2，该方程组无解 故四边形不能成为平行四边形 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 3 已知在非平行四边形 ABCD 中，ABDC，且 A，B，D 三点的坐 标分别为(0，0)，(2，0)，(1，1)，则顶点 C 的横坐标的取值范围是什么？ 图 2317 【提示】 当 ABCD 为平行四边形时，则A
15、C AB AD (2，0)(1，1) (3，1)，故满足条件的顶点 C 的横坐标的取值范围是(1，3)(3，) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知点 A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)若AP AB AC (R)，试 求 为何值时， (1)点 P 在一、三象限角平分线上； (2)点 P 在第三象限内 【精彩点拨】 解答本题可先用 表示点 P 的横、纵坐标，再根据条件列 方程或不等式求解 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设点 P 的坐标为(x，y)， 则AP (x，y)(2，3)(x2，y3)， AB AC (5，4)(2，3)(7，10)(2，3) (
16、3，1)(5，7)(35，17) AP AB AC ， x235， y317，则 x55， y47. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (1)若 P 在一、三象限角平分线上， 则 5547，1 2， 1 2时，点 P 在一、三象限角平分线上 (2)若 P 在第三象限内，则 550， 470，1. 当 1 时，点 P 在第三象限内 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1解答本题可用待定系数法此法是最基本的数学方法之一，实质是先将 未知量设出来，建立方程(组)求出未知数的值，是待定系数法的基本形式，也 是方程思想的一种基本应用 2坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等；对应
17、坐标相等 的向量是相等向量由此可建立相等关系求某些参数的值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3 向量 a， b， c 在正方形网格中的位置如图 2318 所示， 若 cab(， R)，则 _ 图 2318 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 以向量 a 的终点为原点，过该点的水平和竖直的网格线所在直 线为 x 轴、 y 轴建立平面直角坐标系， 设一个小正方形网格的边长为 1， 则 a( 1，1)，b(6，2)，c(1，3)由 ca b，即(1，3)(1，1) (6，2)，得61，23，故 2，1 2，则 4. 【答案】 4 上一页上一页返回首页返回首页下一页
18、下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1点 A(1，3)，AB 的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( ) A(4，4) B(2，4) C(2，10) D(2，10) 【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由AB (3，7)(x，y)(1，3)(x 1，y3)，得 B(4，4) 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2若 a(2，1)，b(1，0)，则 3a2b 的坐标是( ) A(5，3) B(4，3) C(8，3) D(0，1) 【解析】 3a2b3(2，1)2(1，0)(4，3) 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3若向
19、量AB (1，2)，BC (3，4)，则AC 等于( ) A(4，6) B(4，6) C(2，2) D(2，2) 【解析】 由AC AB BC (1，2)(3，4)(4，6)故选 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知点 A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB 同方向的单位向量为_. 【导学号：00680049】 【解析】 AB (3，4)，则与AB 同方向的单位向量为 AB |AB | 1 5(3，4) 3 5， 4 5 . 【答案】 3 5， 4 5 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，CM 3CA ，C
20、N 2CB ，求MN 的坐标 【解】 因为 A(2，4)，B(3，1)，C(3，4)，所以CA (23，4 4)(1，8)， CB (33，14)(6，3)， 所以CM 3CA (3，24)， CN 2CB (12，6) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 设 M(x，y)，则CM (x3，y4)， 即 x33， y424，解得 x0， y20， 所以 M(0，20)，同理可得 N(9，2)， 所以MN (90，220)(9，18) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
