1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 两角差的余弦公式 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1掌握两角差的余弦公式(重点) 2会利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式(难点) 3两角差的余弦和两角余弦的差(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 两角差的余弦公式 阅读教材 P124P126例 1 以上内容，完成下列问题 cos()_ (1)适用条件：公式中的角 ， 都是任意角 (2)公式结构：公式右端的两部分
2、为同名三角函数积，连接符号与左边角的 连接符号相反 cos cos sin sin 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)cos(6030)cos 60cos 30.( ) (2)对于任意实数 ， ，cos()cos cos 都不成立( ) (3)对任意 ， R， cos()cos cos sin sin 都成立 ( ) (4)cos 30cos 120sin 30sin 1200.( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1).cos(6030)cos 30cos 60cos 30. (2).当 45，45时，cos()cos
3、(4545)cos( 90)0， cos cos cos(45)cos 450， 此时 cos()cos cos . (3).结论为两角差的余弦公式 (4).cos 30cos 120sin 30sin 120cos(12030)cos 90 0. 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 利用两角差的余弦公式化简求值 (1)cos 345的值等于( ) A 2 6 4
4、B 6 2 4 C 2 6 4 D 2 6 4 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)2cos 10sin 20 sin 70 的值是( ) A1 2 B 3 2 C 3 D 2 (3)化简下列各式： cos(21)cos(24)sin(21)sin(24)； sin 167sin 223sin 257 sin 313 . 【精彩点拨】 (1)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊 角的差，然后利用两角差的余弦公式求解 (2)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解 (3)对较复杂的式子化简时应注意两角差余弦公式的逆用 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页
5、 【自主解答】 (1)cos 345cos(360 15 ) cos 15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 6 2 4 . (2)原式2cos（30 20 ）sin 20 sin 70 2cos 30cos 202sin 30 sin 20 sin 20 sin 70 3cos 20 sin 70 3sin 70 sin 70 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3)原式cos21(24) cos 45 2 2 ，所以原式 2 2 ； 原式sin(180 13 )sin(180 43 )sin(180 77 ) sin(360 47
6、 ) sin 13sin 43sin 77 sin 47 sin 13 sin 43 cos 13 cos 43 cos(13 43 )cos(30 ) 3 2 . 【答案】 (1)C (2)C (3) 2 2 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值 (2)在转化过程中， 充分利用诱导公式， 构造两角差的余弦公式的结构形式， 然后逆用公式求值 2两角差的余弦公式的结构特点： (1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦 (2)把所得的积相加 上一页上一页返回首页返回首页下一
7、页下一页 再练一题 1求下列各式的值： (1)cos 13 12 ； (2)sin 460sin(160)cos 560cos(280)； (3)cos(20)cos(40)sin(20)sin(40 ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解】 (1)cos 13 12 cos 12 cos 12 cos 3 12 2 12 cos 4 6 cos 4 cos 6 sin 4 sin 6 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)原式sin 100sin 160cos 200cos 280 sin 100sin 20cos 20c
8、os 80 (cos 80cos 20sin 80sin 20) cos 601 2. (3)cos(20)cos(40)sin(20) sin(40) cos(20)(40) cos(60)1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知三角函数值求角 已知 ， 为锐角，cos 1 7，sin() 5 14 3，求 . 【导学号：00680066】 【精彩点拨】 本题是已知三角函数值求角的问题解答此类问题一般先 确定所求角的某一个三角函数的值，然后由角的范围来确定该角的大小 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 为锐角，且 cos 1 7， sin 1cos21 1
9、 7 24 3 7 . 又 ，为锐角，(0，) 又 sin() 5 14 3sin ， 2 ， . cos() 1sin2（） 1 5 14 3 211 14. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 cos cos() cos()cos sin()sin 11 14 1 7 5 3 14 4 3 7 1 2. 又 为锐角， 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1这类问题的求解，关键环节有两点： (1)求出所求角的某种三角函数值； (2)确定角的范围， 一旦做好这两个环节， 结合三角函数的性质与图象，角可求解 2确定应用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目，结合所给角的范 围
10、确定 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知 、 均为锐角，且 cos 2 5 5 ，cos 10 10 ，求 的值 【解】 、 均为锐角， sin 5 5 ，sin 3 10 10 . cos()cos cos sin sin 2 5 5 10 10 5 5 3 10 10 2 2 . 又 sin sin ， 0 2 ， 2 0.故 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 利用角的变换求三角函数值 探究 1 若已知 和 的三角函数值，如何求 cos 的值？ 【提示】 cos cos()cos()cos sin() sin . 探究 2 利用 () 可
11、得 cos 等于什么？ 【提示】 cos cos()cos cos()sin sin() 探究 3 若 cos cos a， sin sin b， 则 cos()等于什么？ 【提示】 cos()2a 2b2 2 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 若 0 2 ， 2 0，cos 4 1 3，cos 4 2 3 3 ，则 cos 2 的值为( ) A 3 3 B 3 3 C5 3 9 D 6 9 【精彩点拨】 把 2 看成 与 2 之和，从已知条件中求出 与 2 的正、 余弦的值，然后运用和角的余弦公式，思路很流畅但运算量繁杂且大求解此 类问题的关键是：先从题设的条件与结论中寻找角的变
12、形的目标，再利用同角 三角函数的基本关系式求出正弦值、余弦值，最后利用和(差)角的余弦公式解 题 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 0 2 ， 2 0， 4 4 3 4 ， 4 4 2 2 ， 又cos 4 1 3，cos 4 2 3 3 ， sin 4 2 2 3 ，sin 4 2 6 3 ， cos 2 cos 4 4 2 cos 4 cos 4 2 sin 4 sin 4 2 1 3 3 3 2 2 3 6 3 5 3 9 .故选 C 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 巧妙变角是指将已知角灵活分拆、配凑成待求的角主要针对已知某些角 的三角函数值
13、，求(或证明)另外角的三角函数值的题目，解决问题的关键是要 善于观察 常见的“变角”有： 单角变为和差角， 如 ()， 2 2 等；倍角化为和差角，如 2()()等等 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3设 cos 2 1 9，sin 2 2 3，其中 2 ， ， 0， 2 ，求 cos 2 的值 【解】 2 ， ， 0， 2 ， 2 4 ， ， 2 4 ， 2 ， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 sin 2 1cos2 2 1 1 81 4 5 9 ， cos 2 1sin2 2 14 9 5 3 . cos 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 sin 2
14、 sin 2 1 9 5 3 4 5 9 2 3 7 5 27 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1cos 65cos 35sin 65 sin 35 等于( ) Acos 100 Bsin 100 C 3 2 D1 2 【解析】 原式cos(65 35 )cos 30 3 2 . 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2若 a(cos 60，sin 60)，b(cos 15，sin 15)，则 a b( ) A 2 2 B1 2 C 3 2 D1 2 【解析】 a bcos 60cos 15sin 60sin
15、 15 cos(6015)cos 45 2 2 . 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3已知锐角 、 满足 cos 3 5，cos() 5 13，则 cos 等于( ) 【导学号：00680067】 A33 65 B33 65 C54 75 D54 75 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 因为 、 为锐角，cos 3 5，cos() 5 13， 所以 sin 4 5，sin() 12 13. 所以 cos cos() cos()cos sin() sin 5 13 3 5 12 13 4 5 33 65.故选 A 【答案】 A 上一页上一页返回首页返回首
16、页下一页下一页 4sin 75_. 【解析】 sin 75cos 15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 2 3 2 2 2 1 2 6 2 4 . 【答案】 6 2 4 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5 ， 为锐角，cos()12 13，cos(2) 3 5，求 cos 的值 【解】 因为 ，为锐角，所以 0. 又因为 cos()12 13，所以 0 2 ，所以 02. 又因为 cos(2)3 5，所以 02 2 ， 所以 sin() 5 13，sin(2) 4 5， 所以 cos cos(2)() cos(2) cos()sin(2) sin() 3 5 12 13 4 5 5 13 56 65. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
