1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1能根据两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦公式，并灵活 运用(重点) 2 能利用两角和与差的正弦、 余弦公式推导出两角和与差的正切公式 (难 点) 3掌握两角和与差的正切公式及变形应用(难点、易错点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 两角和与差的余弦公式 阅读教材 P128“思考”以下至“探究”以上内容，完成下列问题. 名称 简记符
2、号 公式 使用条件 两角差的 余弦公式 C() cos() _ ， R 两角和的 余弦公式 C() cos() _ ， R cos cos sin sin cos cos sin sin 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 cos 75cos 15sin 75sin 15的值等于_ 【解析】 逆用两角和的余弦公式可得 cos 75cos 15sin 75sin 15cos(7515)cos 900. 【答案】 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 两角和与差的正弦公式 阅读教材 P128“探究”以下内容，完成下列问题 1公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的
3、正弦 S( ) sin() _ 、R 两角差的正弦 S() sin() _ 、R 2.重要结论辅助角公式 yasin xbcos x_sin(x)(a，b 不同时为 0)，其中 cos _，sin _ sin cos cos sin sin cos cos sin a2b2 a a2b2 b a2b2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 ， 是任意的( ) (2)存在 ， R，使得 sin()sin sin 成立( ) (3)对于任意 ， R，sin()sin sin 都不成立( ) (4)sin 54cos 2
4、4sin 36sin 24sin 30.( ) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1).根据公式的推导过程可得 (2).当 45，0时，sin()sin sin . (3).当 30，30时，sin()sin sin 成立 (4).因为 sin 54cos 24sin 36sin 24 sin 54cos 24cos 54sin 24sin(5424)sin 30，故原式 正确 【答案】 (1) (2) (3) (4) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 3 两角和与差的正切公式 阅读教材 P129“探究”以下至“例 3”以上内容，完成下列问题 名称 简记符
5、号 公式 使用条件 两角和 的正切 T() tan()_ ， ， k 2 (kZ) 且 tan tan 1 两角差 的正切 T() tan()_ ， ， k 2 (kZ) 且 tan tan 1 tan tan 1tan tan tan tan 1tan tan 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)存在 ， R，使 tan()tan tan 成立( ) (2)对任意 ， R，tan() tan tan 1tan tan 都成立( ) (3)tan() tan tan 1tan tan 等价于 tan tan tan() (1tan tan )(
6、) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 (1).当 0， 3 时， tan()tan 0 3 tan 0tan 3 ， 但一般情况下不成立 (2).两角和的正切公式的适用范围是 ，k 2 (kZ) (3).当 k 2 (kZ)，k 2 (kZ)，k 2 (kZ) 时，由前一个式子两边同乘以 1tan tan 可得后一个式子 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型
7、 灵活应用和、差角公式化简三角函数式 (1)(2016 济宁高一检测) sin 47sin 17 cos 30 cos 17 ( ) A 3 2 B1 2 C1 2 D 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)化简求值： 1tan 75 1tan 75 ； sin(75)cos(45) 3cos(15)； (2016 遵义四中期末)tan 20tan 40 3tan 20tan 40. 【精彩点拨】 (1)化简求值应注意公式的逆用 (2)对于非特殊角的三角函数式化简应转化为特殊角的三角函数值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 (1)sin 47sin 17
8、 cos 30 cos 17 sin（17 30 ）sin 17 cos 30 cos 17 sin 17cos 30cos 17 sin 30 sin 17 cos 30 cos 17 cos 17sin 30 cos 17 sin 301 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【答案】 C (2)原式tan 45tan 75 1tan 45 tan 75 tan(45 75 )tan 120 3. 原式 3. 设 15， 则原式sin(60)cos(30) 3cos 1 2sin 3 2 cos 3 2 cos 1 2sin 3cos 0. 原式0. 原式tan 60 (1tan
9、 20 tan 40 ) 3tan 20tan 40 3. 原式 3. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1公式 T()，T()是变形较多的两个公式，公式中有 tan tan ，tan tan (或 tan tan )，tan()(或 tan()三者知二可表示出或 求出第三个 2 化简过程中注意“1”与“tan 4 ” 、 “ 3” 与“tan 3 ” 、 “1 2” 与“cos 3 ” 等特殊数与特殊角的函数值之间的转化 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 1化简求值： (1)cos 61cos 16sin 61sin 16； (2)sin 13cos 17cos 1
10、3sin 17； (3)1tan 12tan 72 tan 12tan 72 . 【解】 (1)原式cos(6116)cos 45 2 2 . (2)原式sin(1317)sin 301 2. (3)原式1tan 12tan 72 tan 12tan 72 1 tan（7212） 3 3 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 给值求值 (2016 普宁高一检测)已知 4 3 4 ，0 4 ，cos 4 3 5， sin 3 4 5 13，求 sin()的值. 导学号：00680069】 【精彩点拨】 可先考虑拆角， 3 4 4 ，然后再利 用 sin()sin()求值 上一页上一页返回
11、首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 因为 4 3 4，所以 2 4 . 所以 sin 4 1cos2 4 4 5. 又因为 0 4 ，3 4 3 4， 所以 cos 3 4 1sin2 3 4 12 13， 所以 sin()sin()sin 4 3 4 sin 4 cos 3 4 cos 4 sin 3 4 4 5 12 13 3 5 5 13 63 65. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1本题属于给值求值问题，求解时，关键是从已知角间的关系入手，分析 出已知角和待求角的关系如本题中巧用 () 这一关系 2常见角的变换为 (1)2()，2()； (2) 2 2 2 ， 2 2
12、2 ； 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (3) 4 4 2 ()； (4) 4 4 2 () 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2 已知 cos 4 5， ，3 2 ， tan 1 3， 2 ， ， 求 cos( ) 【解】 因为 ，3 2 ， cos 4 5，所以 sin 3 5. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 因为 2 ， ，tan 1 3， 所以 cos 3 10 10 ，sin 10 10 . 所以 cos()cos cos sin sin 4 5 3 10 10 3 5 10 10 3 10 10 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页
13、给值求角 已知 sin 5 5 ，sin 10 10 ，且 ， 为锐角，求 的值 【精彩点拨】 sin ，sin 求cos ，cos 求cos（）确定的范围求的值 【自主解答】 sin 5 5 ，为锐角， cos 1sin22 5 5. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 又 sin 10 10 ，为锐角， cos 1sin2 3 10 10. cos()cos cos sin sin 2 5 5 3 10 10 5 5 10 10 2 2 . 又 ， 0， 2 ， 0， 因此 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过大(小)，导致
14、求出的 角不合题意或者漏解 2求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围，(2)求角的某一三角 函数值，特别是要根据角的范围确定取该角的哪一种三角函数值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3若把本例题的条件改为“ 0， 2 ， 2 ，0 ，且 cos()3 5， sin 2 10 ” ，试求角 的大小 【解】 0， 2 ， 2 ，0 ，(0，)， 由 cos()3 5，知 sin() 4 5. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 由 sin 2 10 ，知 cos 7 2 10 . sin sin() sin()cos cos()sin 4 5 7 2 10 3 5
15、 2 10 2 2 . 又 0， 2 ， 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 辅助角公式的应用 探究 1 函数 ysin xcos x(xZ)的最大值为 2 对吗？为什么？ 【提示】 不对因为 sin xcos x 2 2 2 sin x 2 2 cos x 2 sin xcos 4 cos xsin 4 2sin x 4 . 所以函数的最大值为 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 2 函数 y3sin x4cos x 的最大值等于多少？ 【提示】 因为 y3sin x4cos x5 3 5sin x 4 5cos x ， 令 cos 3 5，sin
16、 4 5， 则 y5(sin xcos cos xsin )5sin(x)， 所以函数 y 的最大值为 5. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究 3 如何推导 asin xbcos x a2b2sin(x) tan b a 公式 【提示】 asin xbcos x a2b2 a a2b2sin x b a2b2cos x ， 令 cos a a2b2，sin b a2b2，则 asin xbcos x a2b2(sin xcos cos xsin ) a2b2sin(x)(其中 角所在象限由 a、 b 的符号确定，角的值由 tan b a确定，或由 sin b a2b2和 cos
17、a a2b2共同确定) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 当函数 ysin x 3cos x(0x2 )取得最大值时，x_. 【精彩点拨】 可先用公式 S将函数化为 yAsin(x)形式再求最大 值对应的 x 值 【自主解答】 函数为 ysin x 3cos x2 1 2sin x 3 2 cos x 2 sin xcos 3 cos xsin 3 2sin x 3 ， 当 0x2时， 3 x 3 5 3 ， 所以当 y 取得最大值时，x 3 2 ，所以 x5 6 . 【答案】 5 6 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1对于形如 sin cos ， 3sin cos 的三角函
18、数式均可利用特 殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化简为含有一个三角函数的形 式 2在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角函数求值化简的变换 过程中，一定要本着先整体后局部的基本原则 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4函数 f(x)sin xcos x 6 的值域为( ) A2，2 B 3， 3 C1，1 D 3 2 ， 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 f(x)sin xcos x 6 sin x 3 2 cos x1 2sin x 3 2sin x 3 2 cos x 3sin x 6 ， 所以函数 f(x)的值域为 3， 3 故
19、选 B 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1(2016 清远期末)化简：sin 21cos 81cos 21 sin 81 等于( ) A1 2 B1 2 C 3 2 D 3 2 【解析】 原式sin(21 81 )sin 60 3 2 .故选 D 【答案】 D 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2已知 是锐角，sin 3 5，则 cos 4 等于( ) 【导学号：00680070】 A 2 10 B 2 10 C 2 5 D 2 5 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【解析】 因为 是锐角，sin 3
20、 5， 所以 cos 4 5， 所以 cos 4 2 2 4 5 2 2 3 5 2 10 .故选 B 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3函数 ysin xcos x 的最小正周期是( ) A 2 B C2 D4 【解析】 ysin xcos x 2sin x 4 ，所以 T2. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4计算 3tan 15 1 3tan 15_ 【解析】 3tan 15 1 3tan 15 tan 60tan 15 1tan 60tan 15tan 451. 【答案】 1 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 ， 均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ，求 . 【解】 ，均为锐角，sin 5 5 ，cos 10 10 ， sin 3 10 10 ，cos 2 5 5 . sin sin ， 2 0， sin()sin cos cos sin 5 5 10 10 2 5 5 3 10 10 2 2 ， 4 . 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入
