1、2.1.1 椭圆及其标准方程（1） 2.1 椭圆 本课件截取了“天宫一号”与“神八”成功对接的电 视新闻，亲切而具体，是本课的一大亮点。接着让学生列 举生活中常见的椭圆图形，体现了数学源于生活，又服务 于生活的数学应用思想，培养学生善于观察，热爱生活的 优良品质。通过模拟实验，学生合作探究，自己动手画出 椭圆，同时，又运用了flash动画、几何画版等多种媒体手 段探索了椭圆形成的条件，归纳出椭圆的定义. 例1根据椭圆标准方程判断焦点的位置及求焦点坐标； 例2是灵活运用椭圆的定义求椭圆的标准方程。本节课的 难点是椭圆标准方程的证明. 天宫一号与神八将实现两次成 功对接。北京航天飞行控制中心最 新
2、消息：从对接机构接触开始，经 过捕获、缓冲、拉近、锁紧4个步骤， “神舟八号”飞船与“天宫一号” 目标飞器3日凌晨实现刚性连接，形 成组合体，中国载人航天首次空间 交会对接试验获得成功。 通过视频我们看到天宫一号与神通过视频我们看到天宫一号与神 八的运行轨迹是什么？八的运行轨迹是什么？ “天宫一号”与“神八” 将实现两次对接 压扁 自己动手试试看:取出课前准备好的一条定长为6cm的 细绳，把它的两端固定在画板上的F 1 和F 2 两点，用铅 笔尖把细绳拉紧,使铅笔尖在图板上缓慢移动,仔细观察, 你画出的是一个什么样的图形呢? 椭圆的定义 怎样画椭圆呢？ F1 F2 M 椭圆的产生 绘图纸上的三
3、个问题绘图纸上的三个问题: 3绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 1.视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距 离之和符合什么条件，其轨迹是椭圆？ 2.改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等，画出的 图形还是椭圆吗？ 结论结论： (1)若|MF1|+|MF2|F1F2|,M点轨迹为椭圆. (1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为 10,则M点的轨迹是什么? (2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为6,则M点的轨迹是什么? (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离和为5,则M点的轨迹是什么? 椭圆 线段AB 不存在 (3
4、)若|MF1|+|MF2|F1F2|. M M F F 2 2 F F 1 1 椭圆的定义 建系： 设点： 列式： 化简： 证明： 建立适当的直角坐标系； 设M（x,y）是曲线上任意一点； 建立关于x,y的方程 f(x,y)=0； 化简方程f(x,y)=0. 说明曲线上的点都符合条件，（纯粹性）；符合 条件的点都在曲线上（完备性）。 求椭圆的方程求椭圆的方程 复习复习: :求曲线方程的方法步骤是什么？ (证明一般省略不写,如有特殊情况，可以适当予以说明) 探讨建立平面直角坐标系的方案 建立平面直角坐标系通常遵循的原则：“对称”、“简洁” O x y O x y O x y M F1 F2 方案
5、一 O x y 方案二 F1 F2 M O x y 2 2.如何求椭圆的方程？如何求椭圆的方程？ x F1 F2 M 0 y 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距 2c(c0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0) . 由椭圆的定义得： aMFMF2| 21 22 2 22 1 )(| ,)(|ycxMFycxMF aycxycx2)()( 2222 代入坐标 （问题：下面怎样化简？）（问题：下面怎样化简？） 22222
6、2 bayaxb则上式变为 222 (0 ),acbb设 ,0,22 22 cacaca即 由椭圆定义可知由椭圆定义可知 222 )(ycxacxa即： 22222222224 22yacacxaxaxccxaa 两边再平方，得两边再平方，得 )()( 22222222 caayaxca整理得： 2222222 )()(44)(ycxycxaaycx 移项，再平方移项，再平方 ). 0 ( 1 2 2 2 2 b a b y a x aycxycx2)()( 2222 得：两边同除以 22 ba 椭圆的标准方程 它表示： 椭圆的焦点在x轴 焦点坐标为F1（-C，0）、F2（C，0） c2= a
7、2 - b2 焦点在焦点在x x轴上的椭圆的标准方程：轴上的椭圆的标准方程： )0(1 2 2 2 2 ba b y a x F1 F2 M 0 x y 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢 焦点在焦点在y y轴上的椭圆的标准方程轴上的椭圆的标准方程 )0(1 2 2 2 2 ba b x a y 它表示: 椭圆的焦点在y轴 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） c2= a2 - b2 x M F1 F2 y O 22 22 +=1 0 xy ab ab 22 22 +=1 0 xy ab ba 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数
8、（大于F1F2）的点的轨迹 12 - , 0 , 0，FcFc 1 2 0,-0,，FcFc 标准方程 相 同 点 焦点位置的判断 不 同 点 图 形 焦点坐标 定 义 a、b、c 的关系 根据所学知识完成下表: x y F1 F2 P O x y F1 F2 P O a2-c2=b2 椭圆方程有特点 系数为正加相连 分母较大焦点定 右边数“1”记心间 1 1625 )1( 22 yx 答：在x轴。（-3，0）和（3，0） 1 169144 )2( 22 yx 答：在y轴。（0，-5）和（0，5） 1 1 )3( 2 2 2 2 m y m x 答：在y轴。（0，-1）和（0，1） 判断椭圆标
9、准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上 例1、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写出焦点坐标。 典例展示典例展示 对椭圆对椭圆 ，各个小组仿照例题或习题各个小组仿照例题或习题 的形式自己设计一个题目的形式自己设计一个题目，两个小组交换审查两个小组交换审查， 并尝试作答并尝试作答. . 1 1625 22 yx 例2椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭 圆上一点M 到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。 1 2 y o F F M x 解： 椭圆的焦点在x轴上 设它的标准方程为: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=5242=9 所求椭
10、圆的标准方程为 )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 925 22 yx 求椭圆标准方程的解题步骤： （1）一定焦点位置 （2）二设椭圆方程； （3）三三求a a、b b的值的值.(.(待定系数法) （4）写出椭圆的标准方程. 1 2 3 闯关竞技场 题题： 题题： 2 3 A B C D 1、若动点、若动点 P 到两定点到两定点 F1 (4,0)， F2 (4,0)的距离之和为的距离之和为 8， 则动点， 则动点 P 的轨迹为（的轨迹为（ ） 不存在 椭圆 D 退出 答案 B C D A 7 5 A 3 2 退出 1 1625 22 yx 2、已知椭圆、已知椭圆 上一点上一点
11、P到椭圆的到椭圆的 一个焦点的距离为一个焦点的距离为3，则，则P到另一个焦到另一个焦 点的距离为点的距离为 （ ） 答案 3、求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)a= ,b=1,(1)a= ,b=1,焦点在x轴上, 6 2 2 1 6 x y (2)(2)焦点为F F1 1(0,(0,3)3)，F F2 2(0,3),(0,3),且a=5.a=5. 22 1 2516 yx 答案 退出 一个定义一个定义 椭圆定义：椭圆定义：平面内平面内与与两个定点两个定点F F1 1、 、F F2 2的 的距离的和距离的和等于等于 常数常数2a 2a ( (大于大于 F F1 1F F2 2,),)的点的轨迹，叫做的点的轨迹，叫做椭圆椭圆. . 两个方程两个方程 椭圆标准方程：椭圆标准方程： (1). (1). 椭圆焦点在椭圆焦点在x x轴上轴上 (2). (2). 椭圆焦点在椭圆焦点在y y轴上轴上 两种方法两种方法 待定系数法、数形结合思想方法待定系数法、数形结合思想方法 ).0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ).0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 课后练习 课后习题 THANKS!
