1、2.3.2 双曲线的简单几何性质（1） 2.2 双曲线 通过动画展示通风塔的截面图是双曲线，培养学生善 于观察，热爱生活的良好品质，同时激发了学生探索新知 的欲望，充分调动学生学习的积极性和主动性. 运用类比 的思想，类比椭圆的性质学习双曲线的性质,注意双曲线 的性质比椭圆多一个渐进线的性质 例1是探讨双曲线的常见性质；例2是求通风塔的形状 双曲线方程；双曲线和之前学的椭圆有很多相似之处，也 有很多区别，在教学过程中着重采用了双曲线和椭圆对比 、对照的方式讲解.其一是便于学生理解，其二是通过对 比、对照让学生记忆深刻，不易混淆. 通风塔与双曲线通风塔与双曲线 | |MF1|- -|MF2| |
2、 =2a（ 0 e 1 e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大! （1）定义： （2）e的范围： （3）e的含义： 1e1) a c ( a ac a b 22 22 也增大也增大增大增大且且时，时，当当 a b ,e), 0( a b ), 1(e 的夹角增大增大时，渐近线与实轴e 几何画板展示离心率与几何画板展示离心率与 a,b,c及双曲线开口大小及双曲线开口大小 的关系（拖动三角形的的关系（拖动三角形的 端点使端点使a,b,c变化）变化） 1 916 22 yx 双曲线 范围：) 1 (Ryxx, 44或 顶点坐标：)2()0 , 4(),0 , 4( 21 AA 焦点坐标：)3
3、()0 , 5(),0 , 5( 21 FF 离心率：)4( 4 5 a c e 1 F 2 F 1 A x y O 2 A 的图像是什么？ 1 思考： x y 轴轴和图像无限靠近yx 1 ,xyy x 轴轴叫做的渐进线. 22 b yxa a 2 2 | 1 ba x ax 2 2 1 ba x ax 22 22 1,(0,0) xy ab ab 双曲线 x 当时, 2 2 0. a x ,x b yx a 说明: 当时 双曲线上点的纵坐标 与的纵坐标很接近. 2 11 2 1,. bab yxyxxyy axa 即与中，当时 x y O x a b y x a b y 5、渐近线、渐近线
4、拖动下方中间的两个点绘制双曲线 图像，体会双曲线和渐近线的关系 )0,0(,1双曲线 2 2 2 2 ba b y a x b yx a 直线叫做双曲线的渐进线. 的渐进线为：1 34 22 yx xy 2 3 的渐进线为：1 22 22 yx xy 等轴双曲线 2e x y O x a b y x a b y 焦点在x轴上的双曲线的几何性质 双曲线标准方程：双曲线标准方程： Y X 1 2 2 2 2 b y a x 1、 范围： xa或x-a 2、对称性： 关于x轴，y轴，原点对称。 3、顶点: A1（-a，0），A2（a，0） 4、轴：实轴 A1A2 虚轴 B1B2 A1 A2 B1 B
5、2 5、渐近线方程： 6、离心率： e= a c b yx a x y o 的简单几何性质 )0,0( 1二、导出双曲线 2 2 2 2 ba b x a y -a a b -b （1）范围）范围: ayay, （2）对称性）对称性: 关于关于x轴、轴、y轴、原点都对称轴、原点都对称 （3）顶点）顶点: (0,-a)、(0,a) （4）渐近线）渐近线: x b a y （5）离心率）离心率: a c e ax 或或 ax ay ay 或或 )0 ,( a ), 0(a x a b y x b a y a c e 222 ( )cab 其中 关于关于 坐标坐标 轴和轴和 原点原点 都对都对 称称
6、 性性 质质 双 曲 线 双 曲 线 ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x ) 0, 0( 1 2 2 2 2 ba b x a y 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 渐近线渐近线 离心率离心率 图象图象 解：解：把方程化为标准方程把方程化为标准方程 可得可得:实半轴长实半轴长a=4 虚半轴长虚半轴长b=3 焦点坐标是焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率离心率: 渐近线方程渐近线方程: 半焦距半焦距c= 5 3 4 2 2 xy 3 4 典例展示典例展示 22 22 1 43 yx 例例1 .求双曲线求双曲线 的实半轴长的实半轴长,虚半轴长虚半轴长, 焦点坐标焦点坐标
7、,离心率离心率,渐近线方程。渐近线方程。 22 916144yx 5 4 c e a 1 2 2 2 2 b y a x 的方程为解：依题意可设双曲线 8162aa，即 10, 4 5 c a c e又 36810 22222 acb 1 3664 22 yx 双曲线的方程为 xy 4 3 渐近线方程为 )0,10(),0,10( 21 FF 焦点 . 4 5 16 线和焦点坐标程，并且求出它的渐近 出双曲线的方轴上，中心在原点，写焦点在 ，离心率离是已知双曲线顶点间的距 x e 例2、双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其 虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为 13m
8、,下口半径为20m,高55m.选择适当的坐标系，求出此 双曲线的方程(精确到1m). A A 0 x C C B B y 13 12 20 1 1若双曲线若双曲线x x 2 2 8 8 y y 2 2 m m 1 1 的渐近线方程为的渐近线方程为y y22x x，则实数，则实数m m 等于等于( ( ) ) A A4 B4 B8 C8 C16 D16 D3232 解析：解析：由题意，得双曲线焦点在由题意，得双曲线焦点在x x轴上，且轴上，且a a 2 2 8 8，b b 2 2 m m， a a2 2 2 2，b bm m. . 又渐近线方程为又渐近线方程为y y22x x， m m 8 8
9、4.4.m m32.32. 答案：答案：D 3 3如图，如图，axaxy yb b0 0和和bxbx2 2ayay2 2abab( (abab0)0)所表所表 示的曲线只可能是示的曲线只可能是( ( ) ) 2 2设设F F1 1和和F F2 2为双曲线为双曲线x x 2 2 a a 2 2 y y 2 2 b b 2 2 1(1(a a0 0，b b0)0)的两个焦点，的两个焦点， 若若F F1 1，F F2 2，P P(0,2(0,2b b) )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率 为为( ( ) ) A.A.3 3 2 2 B B2 C.2 C.5
10、 5 2 2 D D3 3 B C 1 2 b y a x 2 2 2 （ a b 0） 1 2 2 2 2 b y a x ( a 0 b0) 2 2 2 b a (a 0 b0) c 2 2 2 b a (a b0) c y X F1 0 F2 M X Y 0 F1 F2 p 椭椭 圆圆 双曲线双曲线 方程方程 a b c关系关系 图象图象 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 图形 方程 范围 对称性 顶点 离心率 1 (0) xy ab ab 2222 2222 A1（- a，0），），A2（a，0） A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00 yx (a,b) ab 22
11、22 2222 yayaxR，或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1) c ee a 渐近线 a yx b . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) xaxayR， ，或 或 (1) c ee a b yx a . x a b y1. 1 2 2 2 2 的渐近线是 b y a x 的渐近线是直线的渐近线是直线y 1. 2 2 2 2 2 a y b x x b a .0即,0的渐近线方程是双曲线.3 2 2 2 2 2 2 2 2 b y a x b y a x b y a x .的双曲线方程是0渐近线方程为.4 2 2 2 2 b y a x b y a x 知识要点： 技法要点： 课后练习 课后习题
