1、2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程（1） 通过观看视频可以清晰直观地了解双曲线的形状,激发学 生的学习兴趣，又通过展示生活中各种各样的双曲线物体,体 会双曲线广泛地存在于我们的生活的各个角落,充分调动学生 学习的积极性和主动性. 借助多媒体辅助手段，动态展现双曲 线的形成,将抽象的数学问题变为具体的图形语言,增强学生直 观感知能力在学习了椭圆的定义和标准方程之后，利用类比 的思想学习双曲线的定义和标准方程，自然流畅，易于理解. 例1是借助双曲线的定义求动点的轨迹方程；例2是生活实际 问题中的双曲线问题,也是结合双曲线的定义求动点的轨迹方程 问题. 1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义
2、和 等于常数 2a ( 2a|F1F2|0) 的点的轨迹. 平面内与两定点F1、F2的距离的 1 F 2 F 0, c 0, cX Y O yxM, 2. 引入问题：引入问题： 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？ 平面内与两定点F1、F2的距离的 |MF1|+|MF2|=2a ( 2a|F1F2|0) 如图(A)， |MF1|-|MF2|=常数 如图(B)， 上面两条合起来叫做双曲线 由可得：由可得： | |MF1|-|MF2| | = 常数（差的绝对值） |MF2|-|MF1|=常数 数学实验：数学实验： 1取一条拉链； 2如图把它固定在板上的两点F1、F2 3 拉动拉链（M）。 思考：拉链
3、运动的轨迹是什么？ 用拉链绘制双曲线用拉链绘制双曲线 =55d6bf5daf508f0099b1c742 生活中的双曲线生活中的双曲线 法拉利主题公园法拉利主题公园 巴西利亚大教堂巴西利亚大教堂 麦克唐奈天文馆麦克唐奈天文馆 双曲线定义 先通过三个小动画理解双曲线的定义先通过三个小动画理解双曲线的定义 双曲线双曲线1 双曲线双曲线2 双曲线双曲线3 两个定点F1、F2双曲线的焦点; |F1F2|=2c 焦距. （1）2a0 ； 思考：思考： （1）若2a= | F1F2 |,则轨迹是？ （2）若2a | F1F2 |,则轨迹是？ 说明说明: （3）若2a=0,则轨迹是？ | |MF1| - |
4、MF2| | = 2a (1)两条射线 (2)不表示任何轨迹 (3)线段F1F2的垂直平分线 双曲线定义：双曲线定义： F 2 F 1 M x O y 求曲线方程的步骤： 双曲线的标准方程双曲线的标准方程 1. 1. 建系建系 以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原 点建立直角坐标系 2.2.设点设点 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.3.列式列式 |MF1| - |MF2|=2a 4.4.化简化简 aycxycx2)()( 2222 即 aycxycx2)()( 2222 2 22 2 22 )(2)(ycxaycx 222 )(ycxaacx 222
5、22222 ()()caxayaca 222 bac )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 此即为焦 点在x轴 上的双曲 线的标准 方程 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y F 2 F 1 M x O y O M F2 F1 x y )00(ba， 若建系时,焦点在y轴上呢? 看 前的系数，哪一个为正，则 在哪一个轴上 22 , yx 问题2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程 有何区别与联系? 问题1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？ 定定 义义 方方 程程 焦焦 点点 a.b.ca.b.c的的 关系关系 F（c，0） F（c，0） a0，b0
6、，但a不一定大 于b，c2=a2+b2 ab0，a2=b2+c2 双曲线与椭圆之间的区别与联系 |MF1|MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆 双曲线 F（0，c） F（0，c） 22 22 1(0) xy ab ab 22 22 1(0) yx ab ab 22 22 1(0,0) xy ab ab 22 22 1(0,0) yx ab ab 解： 12 6PFPF 焦点为 12 ( 5,0),(5,0)FF 可设所求方程为: 22 22 1 xy ab (a0,b0). 2a=6,2c=10,a=3,c=5. 所以点 P 的轨迹方程为 22 1 916 xy . 12 10
7、F F 6, 由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是一条双曲线, 例例 1 1 已知两定点已知两定点 1( 5,0) F , , 2(5,0) F, ,动点动点P满足满足 12 6PFPF, , 求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程. . 典例展示典例展示 变式变式训练训练 1 1: :已知两定点已知两定点 1( 5,0) F , , 2(5,0) F, ,动点动点P满足满足 12 10PFPF, ,求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程. . 12 10PFPF 轨迹方程为轨迹方程为0(55)yxx或或. . 12 10F F , 点点 P 的轨迹是的轨迹是两两条条射射线线, , 解：解： 变式变式
8、训练训练 2 2: :已知两定点已知两定点 1( 5,0) F , , 2(5,0) F, ,动点动点P满足满足 12 6PFPF, ,求动点求动点P的轨迹方程的轨迹方程. . 解： 12 6PFPF 焦点为焦点为 12 ( 5,0),(5,0)FF 可可设设双双曲线曲线方程为方程为: : 22 22 1 xy ab ( (a0,0,b0).0). 2 2a=6,2=6,2c=10,=10,a=3,=3,c=5.=5.b 2 2=5 =5 2 2 3 3 2 2=16. =16. 所以点所以点 P 的轨迹方程为的轨迹方程为 22 1 916 xy (3)x. . 12 10F F 6, 由双曲
9、线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支), 解: 由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2s,2s,可知可知A A地与爆炸点的地与爆炸点的 距离比距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680m.680m.因为因为|AB|680m,|AB|680m,所以所以爆炸点的轨迹 是以A、B为焦点的双曲线在靠近B处的一支上. 例2.已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s, 且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程. ,使A、B两点在x轴上，并且点O与 线段AB的中点重合 如图所示，建立直角坐标系xOy 设爆炸点P
10、的坐标为(x,y)，则 3402680P AP B 即 2a=680，a=340 800A B 8006800 ,0P AP Bx 1(0) 11560044400 xy x 2222 28 0 0 ,4 0 0 ,cc x y o P B A 因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 4 4 4 0 0bca 222222 思考 1:若在 A,B 两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的 轨迹是什么? 思考思考 2 2: :根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以 确定爆炸点在确定爆炸点在某条曲线上某条曲线上， 但不能
11、确定爆炸点的准确位置， 但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生而现实生 活中为了安全，我们最关心的活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能 确定爆炸点的准确位置确定爆炸点的准确位置呢呢? 答: 爆炸点的轨迹是线段 AB 的垂直平分线. 答:再增设一个观测点C，利用B、C（或A、C）两处测得的爆炸声的时间 差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能 确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用. 变式训练3.如果方程 表示双 曲线，求m的取值范围. 22 1 21 xy mm 解: 21mm 得得或或 (2)(1)0m m由
12、由 m的取值范围为(, 2)( 1,) 1 1已知两定点已知两定点F F1 1( (5 5, ,0 0) )，F F2 2( (5 5, ,0 0) )，动点动点P P满足满足 | |PFPF1 1| | |PFPF2 2| |2 2a a，则当则当a a3 3和和5 5时时，P P点的轨迹为点的轨迹为( ( ) ) A A双曲线和一直线双曲线和一直线 B B双曲线和一条射线双曲线和一条射线 C C双曲线的一支和一条射线双曲线的一支和一条射线 D D双曲线的一支和一条直线双曲线的一支和一条直线 C 2.2.若方程若方程(k(k2 2+k+k- -2)x2)x2 2+(k+1)y+(k+1)y2
13、 2=1=1的曲线是焦点在的曲线是焦点在y y轴上的轴上的 双曲线，则双曲线，则k k . . ( (- -1, 1)1, 1) 解解：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线方程 为为 mxmx 2 2 nyny 2 2 1(mn0)1(mn0)，因，因 P P1 1，P P2 2在双曲线上，所以有在双曲线上，所以有 4m45 4 n1 16 9 7m16n1 解得解得 m 1 16 n1 9 所以所以所求双曲线方程为所求双曲线方程为 x x 2 2 1616 y y 2 2 9 9 1 1，即，即y y 2 2 9 9 x x 2 2 1616 1.1. ， ， ， ， 12 34 ( 2,5)(7 4) 23 PP 和和，3.已知双曲线过已知双曲线过 两点，求双曲线两点，求双曲线 的标准方程的标准方程. 1.双曲线定义及标准方程； 4.双曲线与椭圆之间的区别与联系. 2.双曲线焦点位置的确定方法； 3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 课后练习 课后习题
