1、2.3 双曲线 2.3.2 双曲线的简单几何性质（2） 本节课主要学习本节课主要学习双曲线的定义双曲线的定义、直线与双曲线的位置直线与双曲线的位置 关系关系、直线与双曲线的弦长直线与双曲线的弦长. . 通过通过回顾双曲线的概念回顾双曲线的概念、方方 程和性质程和性质，复习直线与椭圆的位置关系等知识复习直线与椭圆的位置关系等知识，巩固所巩固所 学知识学知识，充分调动学生学习的积极性和主动性充分调动学生学习的积极性和主动性. . 双曲线的第二定义作为了解内容双曲线的第二定义作为了解内容，在实际教学中可以在实际教学中可以 根据实际情况酌情处理根据实际情况酌情处理，在普通班的教学中可以忽略不在普通班的
2、教学中可以忽略不 讲讲，直接讲例题直接讲例题1 1；例；例2 2研究了直线与双曲线的位置关系；研究了直线与双曲线的位置关系； 例例3 3讲的是高考的一个热点内容讲的是高考的一个热点内容弦长公式问题弦长公式问题。直线直线 与双曲线的弦长公式问题与双曲线的弦长公式问题（可以推广到直线与其它圆锥可以推广到直线与其它圆锥 曲线的弦长公式问题曲线的弦长公式问题）. . 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 y x O A2 B2 A1 B1 . . F1 F2 y B2 A1 A2 B1 x O . . F2 F1 )0( 1ba b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 bybaxa A
3、1（- a，0），），A2（a，0） B1（0，-b），），B2（0，b） ) 10( e a c e F1(-c,0) F2(c,0) F1(-c,0) F2(c,0) ),b(a b y a x 00 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Ryaxax， 或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 A1（- a，0），），A2（a，0） ) 1( e a c e 无无 x a b y 图形图形 方程方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 渐进线渐进线 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 图形图形 方程方程 范围范围 对称性对称性 顶点顶点 离心率离心率 )0(
4、 1ba b y a x 2 2 2 2 2 2 2 2 A1（- a，0），），A2（a，0） A1（0，-a），），A2（0，a） ),b(a b x a y 00 1 2 2 2 2 2 2 2 2 Rxayay， 或或 关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 ) 1( e a c e 渐进线渐进线 x b a y . . y B2 A1 A2 B1 x O F2 F1 x B1 y O . F2 F1 B2 A1 A2 . F1(-c,0) F2(c,0) F2(0,c) F1(0,-c) Ryaxax， 或或 ) 1( e a c e x a b y 1、“共渐近线”的双曲线、
5、“共渐近线”的双曲线 2222 2222 1(0) xyxy abab 与共渐近线的双曲线系方程为， 为参数 ， 0表示焦点在表示焦点在x轴上的双曲线；轴上的双曲线；a0)，求点M的轨迹. 2 a x c a c M 解：设点M(x,y)到l的距离为d，则 |MFc da 即 22 2 ()xcyc aa x c 化简得 (c2a2)x2 a2y2=a2 (c2 a2) 设c2a2 =b2， 22 22 1 xy ab (a0,b0) 故点M的轨迹为实轴、虚轴长分别为2a、2b的双曲线. 222 ()|axcyacx 22224222 (2)2axcxcyaa cxc x b2x2a2y2=a
6、2b2 即 就可化为: M 点M的轨迹也包括双曲线 的左支. 双曲线的第二定义双曲线的第二定义 双曲线的第二定义 平面内，若定点F不在定直线l上，则到定点F的距离与到定直线l的 距离比为常数e(e1)的点的轨迹是双曲线。 定点F是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线 的离心率. 对于双曲线 22 22 1 xy ab 是相应于右焦点F(c, 0)的右准线. 类似于椭圆 2 a x c 是相应于左焦点F(-c, 0)的左准线. 2 a x c x y o F l M F 2 a x c l 2 a x c 点M到左焦点与左准线的距离之比 也满足第二定义. 想一想：中心在原点， 焦
7、点在y轴上的双曲 线的准线方程是怎 样的？ x y o F 相应于上焦点F(c, 0)的是上准线 2 y a c 2 y a c 相应于下焦点F(-c, 0)的是下准线 2 y a c 2 y a c F 解：解： dM设设 是是点点到到直直线线 的的距距离离，根根 据据题题意意，所所求求轨轨迹迹就就是是集集合合 l 5 4 | MF | PM, d 22 55 164 5 (x)y . |x | 由由此此得得 22 916144xy. 8 6M.所所以以 点点的的轨轨迹迹是是实实轴轴、虚虚轴轴长长分分别别为为, , 的的双双曲曲线线 例1.点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定 直线
8、 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹. 5 16 :xl 4 5 22 1 169 xy .即即 x y l . . F O M d . H 典例展示典例展示 将上式两边平方，并化简，得：将上式两边平方，并化简，得： 双曲线中应注意的几个问题：双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的； (3)双曲线只有两个顶点，离心率e1； (5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e 的不同 (4)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直； 椭圆与直线的
9、位置关系及判断方法 判断方法判断方法 0 （1）联立方程组）联立方程组 （2）消去一个未知数）消去一个未知数 （3） 复习复习: 相离相离 相切相切 相交相交 直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系 X Y O 1) 位置关系种类位置关系种类 种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点) 2)2)位置关系与交点个数位置关系与交点个数 X Y O X Y O 相离相离:0:0个交点个交点 相交相交:一个交点一个交点 相交相交:两个交点两个交点 相切相切:一个交点一个交点 3)判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序 把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程 得到一元一次方程得到一元一次方程 得到一元二次方程得到一元二次方程 直线与双曲线的直线与双曲线的 渐进线平行渐进线平行 相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式 0 =0 0 直线与双曲线相交（两个交点） =0 直线与双曲线相切 0，所以 16916，所以16 25. 所以所求的双曲线标准方程为 x 2 256 25 y 2 144 25 1. 解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x4y0， 1 .位置判定 2.弦长公式 3.中点问题 4.垂直与对称 5.设而不求(韦达定理、点差法) 课后练习 课后习题
