1、 第第3 3章章 导数及应用导数及应用 3 3.1.3 .1.3 导数的几何意义导数的几何意义 导数的几 何意义 内容：切线的新定义、导数的几何意义及 利用导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程 应用 根据导数的定义求导数值 求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习理解导数的几何意义以及对曲线切线 方程的求解.通过多媒体课件的直观演示，引导学生通 过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义通过对 例题和练习题的探究完成知识的迁移并通过设置思 考题为学生进一步探讨导数的应用指出方向重点是 理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导 数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，体会数形 结合、以直代曲的
2、思想难点是发现、理解及应用导 数的几何意义；对导数几何意义的理解与掌握，在每 处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解； 运用导数的几何意义解释函数变化的情况 针对上述内容给出3个例题，通过解决具体问题强 调正确应用导数的几何意义的重要性。通过设置难易 不同的必做和选做作业题，对不同的学生进行因材施 教。 1.平均变化率 一般地，函数一般地，函数 在区间上在区间上 的平均变化率为的平均变化率为 )(xf, 21 xx 12 12 )()( xx xfxf x y 割线割线的斜率的斜率 12 12 )()( xx xfxf x y k O A B x y y=f(x) x1 x2 f(x1)
3、 f(x2) x2-x1=x f(x2)-f(x1)=y 2.导数的概念 00 0 00 ()() ()limlim xx f xxf xf fx xx )(xfy 0 xx 3.求函数 在 处的导数的步骤 （1）求平均变化率 （2）取极限 提出问题提出问题 导数的几何意义导数的几何意义 P 1 P 2 P 3 P 4 P T T TT PP xfy xfy xfy xfy O y x O y x O y x O y x 21 . 3图 1 2 3 4 ppt_playVideo.action?mediaVo. resId=54800cd9956ed1ed6016a 1c2 动画演示02:50
4、-03:40 y x o )(xfy P 相交 P Pn o x y y=f(x) 割割 线线 切线切线 T 曲线在点P处切线的定义 当点Pn沿着曲线无限接近点P即 x0时,割线PPn趋近于 确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. x o y y=f(x) P(x0,y0) Q(x1,y1) M x y 割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ x xfxxf kPQ )()( x y 00 即：当x0时，割线PQ的斜 率的极限，就是曲线在点P处的 切线的斜率， 思思 考考 函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲 线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线的斜率，
5、即曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0) 处的切线的斜率是 . )( 0 x f 故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)处的切线方程是: 导数的几何意义 问题： 从求问题： 从求函数函数)(xf在在 0 xx 处的导数的过程来看， 当处的导数的过程来看， 当 0 xx 时，时， 0 ()fx 是不是一个确定的数？是不是一个确定的数？ 导函数的定义导函数的定义 当当 0 xx 时，时， 0 ()fx 是一个确定的数是一个确定的数 因此，因此， 当当x变化时，变化时，( )fx便是便是x的一个函数， 我们称它为的一个函数， 我们称它为)(xf 的导函数（简称导数） 的导函数（简称导数）
6、 记作：记作：( )fx或或 y ，即：，即： 0 ()( ) ( )lim x f xxf x f xy x 注注：函数函数)(xf在在 0 x处的导数处的导数 0 ()fx 就是就是函数函数)(xf的导（函）的导（函） 数数( )fx在在 0 x处的函数值处的函数值 0 l 1 l 2 l t h O0t1t2t 31 . 3图 012 , . h ttt t h t 我们用曲线在处的切线 刻画曲 线在上述三个时刻附近的变 解 化情况 : ., , . ,1 0 00 0 几乎没有升降较平坦 附近曲线比在所以 轴平行于处的切线 在曲线时当 tt xlt thtt ., ,. 0 ,2 1
7、111 11 附近单调递减在即函数降 附近曲线下在所以的斜率处的切线 在曲线时当 ttth ttthl tthtt . , . 0,3 22 2222 单调递减 附近也在即函数附近曲线下降在所以 的斜率处的切线在曲线时当 ttthtt thltthtt ., ,31 . 3 21 21 附近下降得缓慢附近比在在这说明曲线程度 的倾斜的倾斜程度小于直线直线可见从图 ttth ll 0 l 1 l 2 l t h O0t1t2t 31 . 3图 根据导数的几何意义: 当某点处导数大于零时，说明在这点的附近曲线 是上升的，即函数在这点附近是单调递增； 当某点处导数小于零时，说明在这点的附近曲线 是下
8、降的，即函数在这点附近是单调递减 【例 2】设 2 ( )f xx，求( )fx，( 1)f ，(2) f 的值 分析：先根据导数的定义求( )fx，再将自变量的值代入求 得导数值 解解：由导数的定义知：由导数的定义知： 0 22 0 0 ()( ) ( )lim () lim lim(2) 2 x x x f xxf x fx x xxx x xx x 1 ( 1)( )|2 ( 1)2 x ffx ， 2 (2)( )|2 24 x ffx 变式训练变式训练 1 （1 1）已知已知yx，求，求 y （2）求函数求函数 2 3yx在点在点(1,3)处的导数处的导数. . 答案答案： （1）
9、1 2 x ； （2）6 【例例 3】求曲线】求曲线 2 yx在点在点(2,4)A处的切线方程处的切线方程 分析分析：本题关键是求切线斜率，(2)k f ，有两种思路： 一是直接求 0 (2)(2) (2)lim x fxf kf x ； 二是先求 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x ，再令2x 求得(2)k f 解： 22 00 () limlim2 xx yxxx yx xx 所以，斜率为 2 (2)|2 24 x kfy 故点(2,4)A处切线方程为：44(2)yx，即440xy 变式训练变式训练 2 求过点求过点(3,5)P且与曲线且与曲线 2 yx相切的直线方
10、程相切的直线方程 错解 22 00 () limlim2 xx yxxx yx xx 所以，斜率为 3 (3)|2 36 x kfy 故过点(3,5)P切线方程为：56(3)yx即6130xy 错因求曲线在点P处的切线与求过点P的切线有区别 在点P处的切线，点P必为切点；求过点P的切线，点 P未必是切点应注意概念的区别，其求法也有所不同 正解 法一： 22 00 () limlim2 xx yxxx yx xx . 设所求切线的切点为 00 (,)A xy 点A在曲线 2 yx上， 2 00 yx 又A是切点，过点A的切线的斜率 0 0 |2 x x yx 所求切线方程为 2 000 2()y
11、xx xx， 将点(3,5)P代入切线方程得 0 1 5x 或 切点坐标为(1,1)或(5,25)， 当切点为(1,1)时，切线的斜率为 10 22kx； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为 20 210kx. 所求的切线有两条，方程为12(1)yx 或2510(5)yx， 即210xy 或10250xy 法二： 22 00 () limlim2 xx yxxx yx xx . 设所求切线的切点为 00 (,)A xy 点A在曲线 2 yx上， 2 00 yx 又A是切点，过点A的切线的斜率 0 0 |2 x x yx 所求的切线过(3,5)P和 00 (,)A xy两点， 其斜率又为 2
12、00 00 55 33 yx xx ， 2 0 0 0 5 2 3 x x x ，解得 0 1x 或 0 5x . 从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25)余下的同上 法三：由于点(3,5)P在曲线 2 yx的下方， 所以过点(3,5)P的切线方程有两条 设所求切线方程为5(3)yk x， 即53ykxk 联立 2 53 , , ykxk yx 得 2 350xkxk 22 4(35)12200kkkk ，即2 10k 或 所求切线方程为210xy 或10250xy 1知识：知识： （1）切线的定义：当点 00 (,() n P xx f xx沿着曲线( )f x逼近点 00 (,()P x
13、f x时，即0x ，割线 n PP趋近于确定的位置，这个确 定位置上的直线 PT 称为点 P 处的切线 （2）函数( )f x在 0 xx处的导数 0 ()fx的几何意义就是函数( )f x 的图象在 0 xx处的切线的斜率 （3）求曲线在某点处的切线方程的方法，正确区别“在某点的 切线方程”与“过某点的切线方程” （4）求函数( )yf x的导函数的方法，正确区别“ 0 ()fx”与 “( )fx” 2思想：思想：体会“数形结合”的思想方法、逼近的思想方法、 “以直代曲”的思想方法. 必做题必做题 1求曲线 2 21yx在点( 1,3)P 处的切线方程 2已知抛物线 2 21yx，求 （1）抛物线上哪一点的切线平行于直线420xy； （2）抛物线上哪一点的切线垂直于直线830xy 3若函数 2 2yxax与24yx相切，求a的值 选做题选做题 1已知曲线已知曲线 2 27yx，求曲线过点，求曲线过点(39)P ，的切线方程的切线方程 2设函数设函数 32 ( )91(0)f xxaxxa，若曲线，若曲线( )yf x的的 斜率最小的切线与直线斜率最小的切线与直线1260xy平行，求平行，求a的值的值 谢 谢 欣 赏！
