1、第第3 3章章 导数及应用导数及应用 3.2.2 基本初等函数的导数公式 及导数的运算法则 基本初等 函数的导 数公式及 导数的运 算法则 内容：基本初等函数的导数公式及导内容：基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则数的运算法则 应用应用 求函数的导数 函数的导数在生活中的应用 求复合函数的导数 本课主要学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则. 以分形与函数的动画为引子，在复习导数的几何意义、四种常 见函数的导数的基础之上，学习基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则。在基本初等函数的导数公式和导数的四则运算 法则的基础上将导数的计算研究得更深入，虽然基本初等函数 的导数公式和导数的四则
2、运算法则解决了不少导数问题，但对 于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及，平时研究的函数 不会仅限于基本初等函数，因此我们要想将问题研究得更加透 彻，就得继续研究导数层层深入，由易到难，探讨什么是复 合函数、复合函数的构成及复合函数的求导法则等 为了巩固新知识，探究了4个例题，采用例题与变式训练 相结合的方法，一例一练。本课内容是导数的关键部分，对后 面更深地研究导数起着至关重要的作用。为此，通过设置难易 不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。 1.导数的几何意义? 导数的几何意义是曲线在某一点处的切线的斜率. 2.导数的物理意义? 导数的物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度. 3
3、.导函数的求解公式是什么？ 导函数的求解公式是： . 0 lim x f xxf x fxy x 分形与函数 函数函数 导数导数 4.四种常见函数的导数及应用： yx 1y 2 yx2yx 1 y x 2 1 y x yx 1 2 y x 上述四个函数是 哪类初等函数？ 导数有什么规律？ 思考思考 n yx 1n ynx 幂函数幂函数 基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 1( ),( )f xcfx、若则 2( ),( ) n f xxfx、若则 3( )sin,( )f xxfx、若则 4( )cos,( )f xxfx、若则 0 1 n n x cosx sinx 5( ),(
4、) x f xafx、若则 6( ),( ) x f xefx、若则 7( )log,( ) x a f xfx、若则 8( )ln,( )f xxfx、若则 ln x aa x e 1 lnxa 1 x 常函数常函数 幂函数幂函数 三角函数三角函数 指数函数指数函数 对数函数对数函数 ) 1, 0(aaay x )( * Qxy ) 1, 0(ln)(aaaaay xx ).()( *1 Qxxy .sin)(cos,cos)(sinxxyxxy a 几个基本初等函数的导数的区别几个基本初等函数的导数的区别 （1）注意区别）注意区别 与与 的导数的区别：的导数的区别： xysinxycos
5、（2） 与与 导数的区别与联系：导数的区别与联系： （3）以）以e为底的指数函数的导数是其本身，以为底的指数函数的导数是其本身，以e的对数函数的的对数函数的 导数是反比例函数（这有点特殊）；导数是反比例函数（这有点特殊）； （5）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以）要特别注意指数函数、对数函数的求导中，以e为底的是以为底的是以 为底的特例为底的特例. a lna （4）以）以 为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注为底的指数函数或对数函数的导数较为难记，要格外注 意它们都有意它们都有 这个部分，只是对数函数的导数中这个部分，只是对数函数的导数中 在分母上；在分母上； lna 9
6、 . (1) (2)5 (3)sin (4) ( ) 2 【例1】用导数公式求下列函数的导数 x yxy yf xx 8 13 44 (1)9 (2)5 ln5 1 (3)0 (4)() 4 答案： x yxy yyxx 20 6 52 . (1) (2)log 1 (3)cos (4) 变式练习1:求下列函数的导数 yxyx yxy x 19 27 55 1 (1)20 (2) ln6 2 (3)sin (4)() 5 答案： yxy x yxyxx 00 0 2205% ( )(1 5%) .0 110 .0 【例 】假设某国家在年期间的通货膨胀率为。物价 （单位:元）与时间t（单位：年）
7、有如下关系: 其中 为时的物价。假定某种商品 的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度 大约是多少？（精确到0 1） t p p tppt p 0 ( )1.05ln1.05解由导数公式： t p tp 10 (10)1.05 ln1.05p 0.08(元/年） 10.0答:在第 个年头,这种商品的价格约以0 8元/年的速度上涨。 0 510变式练习2：若某种商品的，那么在第个年头， 这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ p 0 ( )1.05ln1.05, t p tp提示： (10)5 0.080.4 p 导数的运算法则 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差
8、),即: 法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即: 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函 数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的 平方.即: 由法则2: 【例3】求下列函数的导数： 3 23(1) yxx sin2(2) yx x1 (3)y x1 ln (4) x y x 332 (1)(23)()(2 )(3)32因为解：yxxxxx 32 2332所以，函数的导数是 yxxyx (2)sin22sincosyxxx (2sincos ) 2(sincossin cos) yxx xx
9、xx 22 2(cossin) 2cos2 xx x sin22cos2所以，函数的导数是y = yxx 2 (1) (1)(1) (1) (3) (1) xxxx y x 2 2 (x1) 2 12 1(1) 所以，函数的导数是 x yy xx 2 (ln )(ln ) ( ) (4) xxxx y x 2 1 lnx x 2 ln1 ln 所以，函数的导数是 xx yy xx 32 2 . (1)2 (2)234 (3)3cos4sin ln (4)ln (5) (6)32 变式练习3:求下列函数的导数 x xxx yeyxxyxx xx yxxyyee x 2 3 (1)266 1 (3
10、)3sin4cos(4)1 12ln (5)3 (1 ln3)2ln2 答案：；(2)； ； ；(6) x xxx yeyxx yxxy x xx yye x ln2?yx如何求函数的导数呢 ., “22ln 2ln.ln,22 的函数表示为自变量可以通过中间变量即的 得到复合经过和看成是由 可以从而则若设 xuy xxuuy xyuyxxu .2ln “, , xxgfufy xgu xuufyuy 过程可表示为复合那么这个 的关系记作和的关系记作与如果把 .,“ 3232,“ 2 2 等等而成复合 和由函数例如得到的复合 经过可以看成是由两个函数我们遇到的许多函数都 xuuyxy .),(
11、 , , xgfyctionfuncompositexgu ufyxy uxguufy 记作的 和那么称这个函数为函数的函数可以表示成 如果通过变量和对于两个函数一般地 复合函数复合函数 . , xux uyy xguufyxgfy 导数间的关系为 的的导数和函数复合函数 .的导数的乘积对的导数与对的导数等于对即xuuyxy . 23 3 3 1 23ln ,23 ln23ln, xu xuuyy xxu uuyxxy xux 即的导数的乘积对导数与 的对的导数等于对由此可得 x y 表示y对x的导数 .,sin3 ;2;321 4 105. 0 2 均为常数其中 求下列函数的导数例 xy e
12、yxy x .32 321 3 2 的复合函数 和可以看作函数函数解 xu uyxy xux uyy 2 32 xu.1284xu .105. 0 2 105. 0 的复合函数 和可以看作函数函数 x ueyey ux 由复合函数求导法则有 xux uyy 105. 0xeu .05. 005. 0 105. 0 xu ee . sinsin3 的复合函数 和可以看作函数函数 xu uyxy 由复合函数求导法则有 xux uyy sinxu .coscosxu 变式练习变式练习 4 求下列函数的导数求下列函数的导数 (1)yln 1 x； ；(2)ye3x；(3)y5log2(2x1) 解 (
13、1)函数yln 1 x 可以看成函数yln u和函数u 1 x的复合 函数 yxyu ux(ln u) (1 x) 1 u ( 1 x2) 1 x. (2)函数ye3x可以看成函数yeu和函数u3x的复合函数 yxyu ux(eu) (3x)3eu3e3x. yxyu ux5(log2u) (2x1) 10 uln 2 10 2x1ln 2. (3)函数y5log2(2x1)可以看成函数y5log2u和函 数u2x1的复合函数 1知识：基本初等函数的导数公式及导数运算法则； 2思想：数形结合思想、归纳思想、分层思想. （一）书面作业 必做题必做题 P18 习题1.2 A组 5,6,7题 B组
14、2题 选做题选做题 2 1. 1=_; 3. cos _; 2. ln . (1) (2)1. 的图象与直线相切，则 已知 的导数是 函数 求这个函数的导数； 求这个函数在点处得 函数 切线方程 x ya y x yxx x xyxa 32 ( ) ( 1,( 1)670 . (二)课外思考： 1.已知函数的图象过点P(0,2)， 且在点处的切线方程为， 求函数的解析式 f xxbxaxd Mfxy 2.( )sin1 2 210 f xxxx axya 若曲线在处得切线与直线 相互垂直，求实数 的值. ( )sincos ,解：因为 fxxxx ()sincos1 2222 所以 f 210
15、, 2 又直线的斜率为 a axy 1 ()1, 2 所以，根据题意得 a 2.解得 a 5.yx3.已知曲线 42 xy )5 , 0(P 求曲线上与直线 平行的切线的方程； 求过点 且与曲线相切的切线的方程 解：解：设切点为 . ),( 00 yx 0 0 5 5|. 2 由，得 x x yxy x 00 0 24 52525 2,. 1642 因为切线与直线平行， 所以所以 yx xy x 2525 2(), 416 168250. 故所求切线的方程为 即 yx xy P(0,5) 因为点 不在曲线 上 5yx 5 ( , ). 2 故设切点为，则切线斜率为M m n m 5 又因为切线的斜率为， n m 5555 , 2 22, 所以 所以 nm mmm mmm4.解得m 5 5(0) 2 4 所以切线的方程为 yx 54200.即xy
