1、 第第3 3章章 导数及应用导数及应用 3.2.1 几个常用函数的导数 几个常用 函数的导 数 内容：根据导数的定义求四个常用函数 的导数 应用 根据导数定义求出函数的导 数 求曲线在某点处的切线方程 本课主要学习根据导数定义求出几个常用函数的导 数,利用地球脉动视频引入新课,以“问题引导，探究交 流”为主，新知识是学生在已有知识的基础上探究而来 ，例题的处理非常灵活，变式训练设计合理，过渡有水 到渠成之感，整堂课下来充实流畅. 在讲述利用导数求切线方程时，采用例题与思考与 探究相结合的方法，通过2个例题。随后是课堂检测， 通过设置难易不同的必做和选做试题，有利于对不同的 学生进行因材施教。
2、一般地，函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬间变化率是 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx ， 我们称它为 ( )f x 在点 0 xx 处的导数，记为 ( )fx ，或 0 |x xy ， 即： 00 00 ()() ( )limlim xx f xxf xy fx xx . 1.导数的定义是什么？ 曲线 )(xfy 在点（ )(, 00 xfx ）处的切线的斜率 3.求函数 )(xfy 的导数的一般步骤是什么？ （1）求函数的改变量 y ()( )f xxf x ； （2）求平均变化率 y x ()( )f xxf x x ； （3）取极限，得导数 y = (
3、 )fx x y x 0 lim = 0 ()( ) lim x f xxf x x 简称:一差、二商、三极限. 2.导数的几何意义是什么？ 地球的变幻导数与函数的变幻 地球脉动 函数函数 y = f (x) =c 的导数的导数 y=c y x O ，因0 x cc x xfxxf x y 00 limlim 0. 0 xx y y x 所以 y=0表示函数y=x图象上每一点处的切线的斜率都为0. 若y=c表示路程关于时间的函数,则y=0则为某物体的瞬时速 度始终为0,即一直处于静止状态. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 函数函数 y= f (x)=x 的导数的导数 ，因为1 x xx
4、x x xfxxf x y . 11limlim 00 xx x y y所以 y=x y x O y=1表示函数y=x图象上每一点处的 切线斜率都为1. 若y=x表示路程关于时间的函数,则y=1可以解释为某物体做瞬 时速度为1的匀速运动. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 函数函数 y = f (x) = x2 的导数的导数 x xxx x xfxxf x y 2 2 因为 x xxxxx 2 2 2 2 xx2 .22limlim 00 xxx x y y xx 所以 y=x2 y x O y =2x表示函数y=x2图象上点(x,y)处切线的斜率为2x, 说明随着x的变化,切线的斜率也
5、在变化. 从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,y=2x表明: 当x0时,随着x的增加,y=x2增加得越来越快. 从几何的角度理解： 从物理的角度理解： 若y=x2表示路程关于时间的函数,则y=2x可以解释为某 物体作变速运动,它在时刻x的瞬时速度为2x. 函数函数 y = f (x) = 的导数的导数 x 1 x xxx x xfxxf x y 11 因为 ， xxxxxxx xxx 2 1 . 11 limlim 22 00 xxxxx y y xx 所以 画出函数 的图象.根据图象,描述它的变化情况, 并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. x y 1 2 1 -1 -2 -2 -1 1
6、 2 x y 1四个常用函数的导数：四个常用函数的导数： （1） ( )yf xc 的导数 0y ； （2） ( )yf xx 的导数 1y ； （3） 2 ( )yf xx 的导数 2yx ； （4） 1 ( )yf x x 的导数2 1 y x 2求函数导数的步骤：求函数导数的步骤： （1）求函数的改变量 )()(xfxxfy ； （2）求平均变化率 x xfxxf x y )()( ； （3）得导数 y = ( )fx x y x 0 lim 3函数的导数的不同角度意义的解释：函数的导数的不同角度意义的解释： （1）几何意义的解释是：曲线 )(xfy 在点（)(, 00 xfx ）处的切
7、线的 斜率； （2）物理意义的解释是：物体运动在某一时刻的瞬时速度 例例1 1.在同一平面直角坐标系中,画出函数y=2x,y=3x,y=4x的图象, 并根据导数定义,求它们的导数. (1)从图象上看,它们的导数分别表示什么? (2)这三个函数中,哪一个增加得最快?哪一个增加得最慢? (3)函数y=kx(k0)增(减)的快慢与什么有关? 解：函数 2yx 的导数 因为 ()( )2()2 2 yf xxf xxxx xxx ， 所以 y = x y x 0 lim 0 lim 22 x 同理可求得函数 3yx 的导数 3y ；函数 4yx 的导数 4y 如图，画出它们的图象， （1）从图象上看，
8、它们的导数分别 表示各条直线的斜率； （2）在这三个函数中， 4yx 增加 得最快， 2yx 增加得最慢； （3）函数 (0)ykx k 增加的快慢 与k有关系，即与函数的导数有关 系，k越大，函数增加的越快，k越小，函数增加的越慢. 函数 (0)ykx k 减少的快慢与 k 有关系，即与函数导数的绝 对值有关系， k 越大，函数减少的越快， k 越小，函数减 少的越慢 2 1 -1 -2 -2 -1 1 2 x y y=x y=2x y=3x y=4x 1 ( )f x x ( )yf x (1,1)例例2已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程 (1,1) 1( 1)(1)yx 故曲线在点
9、处的切线方程为： k 2 1 (1)1 1 f 所以， ( )fx 2 1 x 解：因为 = ， 20xy即： . 1 ( )f x x ( )yf x (1,1) 变式训练变式训练1：已知函数 ，求过曲线 上点 且与过这点的切线垂直的直线方程 ( )yf x (1,1) 1 yx 解:由例2可知, 过曲线 上点 的切线的斜率为 所以与它垂直的直线的斜率为1, 所以所求直线方程为 ， 1 ( )f x x l ( )yf x (3, 1)l 变式训练变式训练2：已知函数 ，直线 为曲线 的切线且过点 ，求直线 的方程 问题1：点 (3, 1)是否在曲线上？ 问题2：函数在 3x 处的导数是否是
10、所求切线的斜率？ 问题3：如何求这条切线方程？ 解：设切点为00 (,)P xy ，直线的斜率： 0 0 1 ()kfx x ， 直线 l 的方程为：00 ()yyk xx ， 即： 0 00 11 ()yxx xx 又因为直线 l 过点(3, 1) ， 所以： 0 00 11 1(3)x xx ，解得：0 1x 所以所求的切线方程为： 1( 1)(1)yx ，即： 20xy 本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 1知识： （1）利用定义求导法的方法，求导的三个步骤：作差，求 商，取极限 （2）四个常用函数的导数： yc 的导数 0y ； yx 的导数 1y ； 2 yx 的导数
11、 2yx ； 1 y x 的导数2 1 y x （3）函数的导数的不同角度意义的解释 （4）利用导数求切线方程的方法 2思想：归纳概括思想、类比思想、数形结合的思想 必做题：必做题： 1已知圆面积 2 Sr ，根据导数定义求 ( )S r 2已知 2 ( )f xx ,求 (3) f 3求过曲线 3 yx 上点 (1,1) 的切线的直线方程 4求曲线 2 21yx 的斜率等于 4 的切线方程 选做题：选做题： 1氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体如果最 初有 500 克氡气，那么 t 天后，氡气的剩余量为 ( )5000.834tA t ， 问氡气的散发速度是多少？ 2由四个常用函数的导数，能否归纳 yx (Q*)的导数？ T e h E n d
