1、3 3.3.3 .3.3 函数的最大（小）函数的最大（小） 值与导数值与导数 函数的最大（小）值与导数 内容：内容：利用导数研究函数的最大（小）值 应用应用: : 1.求函数的最大值和最小值 2.已知函数的最值求函数的解析式 3.利用导数和不等式恒成立问题求参数的取 值范围. 本课主要学习利用导数研究函数的最大（小）值。以 视频世界上最长的荡秋千线最高、最低点引入新课。通 过合作交流，使学生发现并掌握极值与最值的区别与联 系，感受领会从数到形的探究过程。接着讲述某函数在 一个确定的闭区间上存在最值的条件。针对定理所解决 的三类问题给出4个例题和变式，通过解决问题巩固新 知，强调利用导数研究函数
2、最值问题的重要性。 在讲述利用导数研究函数最值时，采用例题与变式结 合的方法，通过例1、例2和变式巩固掌握求已知函数在 闭区间的最值的方法。例3及变式，既注重了与原问题 的联系，又在不知不觉中提高了难度，提高了学生的解 题能力；而例4是与函数最值有关的恒成立问题，说明 思路的由来过程，开阔了学生的思路 通过观看视频，大家一起讨论一下荡秋千线最 高、最低点问题. 世界上最长的荡秋 千线最高、最低点 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0) （1）求f(x)的最小值h(t)； （2）若h(t)-2t+m对(0t2)恒成立，求实数m的 取值范围
3、 23 :(1)( )()1(,0)f xt xtttxR t 解 3 3 ,( )()1, ()1 xtf xfttt httt 当时取最小值 即 3 2 (2)( )( )( 2)31, ( )3301() g th ttmttm g tttt 令 由得 =1或舍 单调递减单调递减 1 0 单调递增单调递增 极大值极大值 x ( )g t ( )g t (0,1)(1,2) 1 m ( )(0,2)(1)1g tgm 在内有最大值 ( )2(0,2)( )0 (0,2),10 h ttmg t m 在内恒成立等价于 在内恒成立 即等价于 (1,)m的取值范围是 32 2 ( )23381
4、2. (1),; (2)0,3 ,( ), . f xxaxbxcx x a b xf xc c 设函数在及 时取得极值 求的值 若对于任意的都有成立 求的取值范围 :(1)3,4; (2)(, 1)(9,) ab 答案 有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问 题求解时首先要确定函数，看哪一个变量的范 围已知，以已知范围的变量为自变量确定函数 max min ( ) ( ); ( ) ( ) f xf x f xf x 一般地,恒成立 恒成立 教师提问：教师提问： 本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？ 学生作答：学生作答： 1知识： （1）极值与最值的区别与联系： （2）利用
5、导数求函数的最值的步骤： 2思想：归纳概括思想、数形结合思想 教师总结：教师总结：在学习新知时也用到了前面所学过的知识，提醒 学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而 知新”在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏，从而 更好地运用知识，解题要有目的性，加强对数学知识、思想 方法的认识与自觉运用 D D A A A A 1 1下列说法正确的是下列说法正确的是( )( ) (A)(A)函数的极大值就是函数的最大值函数的极大值就是函数的最大值 (B)(B)函数的极小值就是函数的最小值函数的极小值就是函数的最小值 (C)(C)函数的最值一定是极值函数的最值一定是极值 (D)(D)若若
6、函数的最值在区间内部取得函数的最值在区间内部取得, ,则一定是极值则一定是极值. . 2.2.函数函数 y= =f( (x) )在区间在区间a, ,b上的最大值是上的最大值是 M，最小值是，最小值是 m, ,若若 M=m, ,则则( )fx ( )( ) (A)(A)等于等于 0 0 (B)(B)大于大于 0 0 (C)(C)小于小于 0 0 (D)(D)以上都有可能以上都有可能 3.3.函数函数 y= = 432 111 432 xxx, ,在 在 1 1, ,1 1 上的最小值为上的最小值为( )( ) ( (A)A)0 0 (B)(B)2 2 (C)(C)1 1 (D)(D) 12 13
7、 必做题必做题: 4.函数y=x3-3x2，在2，4上的最大值为（ ) (A)-4 (B)0 (C)16 (D)20 C C 32 5.( )3 , (1)3( ), ( )1,5; (2)( ), f xxaxx aR xf x f xx f xRa 已知函数 若是函数的极值点 求在上的最大值和最小值 若函数是 上的单调函数 求实数的取值范围 maxmin :(1)5,( )(5)19,( )(1)1 (2) 3,3 af xff xf 答案 1.函数函数 y = x + 3 x 9x在在 4 , 4 上的最大值为上的最大值为 , 最小值为最小值为 . 分析分析: (1) 由 f (x)=3
8、x +6x9=0, (2) 区间4 , 4 端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76 得x1=3，x2=1 函数值为f (3)=27, f (1)=5 76 -5 当x变化时，y 、 y的变化情况如下表： x -4 (-4,-3) -3 (-3,1) 1 (1,4) 4 y + 0 - 0 + 0 y 20 27 -5 76 比较以上各函数值，可知函数在4 , 4 上的最大值为 f (4) =76，最小值为 f (1)=5 选做题选做题: 32 2.( )262 237 1a2( )2 2 f xxxa f x 已知函数在， 上有最小值 求实数 的值；求在， 上的最大值。
9、反思：本题属于逆向探究题型 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大 小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 2 1( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或 ( 240,fa 又） 40373aa 由已知得解得 (2)(1)( )2,2f x由知在的最大值为3. (0),fa(2)8fa 3. 求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值. 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3， 最大值为最大值为11，最小值为最小值为2 解法二解法二: f (x)=2x-4 令令f (x)=0，即，即2x-4=0， 得得x=2 x 1 （1，2） 2 （2，5） 5 y， ， 0 y - + 3 11 2 解法一解法一:将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方配方，利用二次函数单调性处理利用二次函数单调性处理
