1、3.3.2 3.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数 函数的极 值与导数 内容：函数极值的概念及其与 导数的关系 应用 求函数的极值 给函数的极值求 函数的解析式 给函数的极值求函 数的单调区间 本课主要学习函数的极值与导数。以视频摆锤极限 转动最高点引入新课，接着探讨在跳水运动中,运动员相 对于水面的高度与起跳后的时间的函数图象，从图象的 增与减定义函数极大值的概念，类似地借助函数图象定 义函数极小值的概念，探讨判断函数极值的方法和步骤 。重点是理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大 值与极小值，掌握利用导数求不超过三次的多项式函数 极值的一般方法.难点是函数在某点取得极值的必要条件
2、和充分条件为了巩固新知识，给出3个例题和变式，通 过解决问题说明导数在求函数极值问题中的应用。 在讲述函数的极值与导数时，采用例题与变式结合 的方法，通过例1和变式1探讨求已知函数极值的方法。 例2和变式2、例3和变式3都是利用已知的极值点求函数 的解析式或函数的单调区间。采用一讲一练针对性讲解 的方式，重点理解导数在求函数极值中应用。 通过观看视频，大家一起讨论一下摆锤极限摆锤极限 转动最高点转动最高点问题. 摆锤极限转动最高点 跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米) 与起跳后的时间t(单位：秒)存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+10 其图象如右. t h o t
3、h oa 0)( a h 0)( t h 单调递增 0)( t h 单调递减 y o x dbfc aehg 对于d点, 函数y=f(x)在点x=d的函数值f(d)比在其附 近其他点的函数值都小， =0. 在点x=d 附近的左侧 0 )(x f )(x f 我们把点d叫做函数y=f(x)的极小值点， f(d)叫做函数y=f(x)的极小值. y o x dbfc aehg 在点 x=e 附近的左侧 0 在点 x=e 附近的右侧 0 f (x) =0 f (x) 0即x2,或x-2时; )(x f (2)当 0即-2x0,得x1, 所以f(x)的单调增区间为(-,-2) (1,+) )(x f )
4、(x f 由 0,得-2x0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 极大值 极小值 )(x f )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 0 4 ) 1 (0 ) 1(4 cba cba f f 又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2. (2)设a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 极小值 极大值 )1,( ), 1( )(x f 由表可得由表可得 ,即即 . 0 4 ) 1(0 ) 1 (4 cba cba f f 又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2. 练习2:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在
5、x=1处有极值 为10,求a、b的值. 解: =3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0. )(x f 又f(1)=10,故1+a+b+a2=10. 由、解得 或 . 3 3 11 4 b a b a 当a=-3,b=3时, ,此时f(x)在x=1处无 极值,不合题意. 0) 1( 3)( 2 xxf 当a=4,b=-11时, ).1)(113 (1183)( 2 xxxxxf 当-11/3x1时, ,此时x=1是 极值点. 0)(0)( xfxf 从而所求的解为a=4,b=-11. )(x f )(x f 一般地,求函数的极值的方法是: 解方程 =0.当 =0时. 如果在x0
6、附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极大值; 如果在x0附近的左侧 右侧 那么,f(x0)是极小值. 0)( x f0)( x f 0)( x f0)( x f 即“峰顶” 即“谷底” a b x y )(xfy O a b x y )(xfy O 1.（2014年天津年天津)函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间 )(xf 导函数导函数 在在 内的图像如图所示内的图像如图所示,则函数则函数 在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 A.1 B.2 C.3 D. 4 )(x f ),(ba ),(ba ),(ba )(xf A A f (x) 0 f (x) =0 注意
7、：数形结合以及原函数与导函数图像的区别 必做题必做题: 2.函数 在 时有极值10， 则a，b的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 以上都不对 223 )(abxaxxxf 1 x 3, 3 ba11, 4 ba 1, 4 ba11, 4 ba 11, 4 ba C C 解:由题设条件得： 解之得 注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件 注意代注意代 入检验入检验 3.3.求下列函数的极值求下列函数的极值: : x x y 1 1 ）（ 161282 23 xxxy）（ 1.函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3既有极大值， 又有极小值，则a的取值范围为 . 注意：注意：导数与方程、不等式的结合应用导数与方程、不等式的结合应用 选做题选做题: 32 ( )f xaxbxcx2.(2012年北京卷)已知函数 在点 处取得极大值5,其导函数 的图像(如图)过点（1,0）,（2,0）, 求： （1) 的值；（2）a,b,c的值； 0 x( )yfx 0 x 略解： (1)由图像可知： (2) 注意：数形结合以及函数与方程思想的应用
