1、3.4 生活中的优化问生活中的优化问 题举例（题举例（2） 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 内容：内容：生活中的优化问题 应用应用: 1.磁盘的最大储存量问题 2.成本最省问题 本课主要学习生活中的优化问题。以复习上节课内容引入新 课。通过合作交流，使学生发现如何使磁盘的储存量最大、成 本最省问题，感受生活中的数学问题。本课给出2个例题和变 式，通过解决这些问题，使学生熟悉利用导数解决生活中最优 化问题的一般方法。突破将实际问题转化为数学问题，根据实 际利用导数解决生活中的优化问题这一难点。 本课采用例题与变式结合的方法巩固新知，例1是磁盘的最 大储存量问题；例2是成本最省问题。通过
2、学习使利润最大、 用料最省、效率最高等优化问题，尝试数学建模的方法和导数 在解决实际问题中的作用，体会导数的工具性通过对生活中 优化问题的探究过程，培养学生善于发现问题、解决问题的自 觉性，感受数学的应用价值，提高学习数学的兴趣 问题问题1 1：上节课我们学习过的海报板面设计问题、利润, 问通常采取什么方法解决这一类问题呢？ 问题问题2 2：这些问题的共同点是什么？ 问题问题3 3：这些实际生活的问题能否用数学方法来解决？与 哪部分数学知识有关？ 问题问题4 4：求函数最值的方法和步骤是什么？要用到哪些工 具？ 问题问题5 5：在实际问题中求函数的最值还应该注意什么？ 磁盘的最大存储量问题磁盘
3、的最大存储量问题 问题：问题： （1）你知道计算机是如何存储、检索信息的吗？ （2）你知道磁盘的结构吗？ （3）如何使一个圆形磁盘存储尽可能多的信息呢？ 下面我们就来研究一下磁盘的最大存储量问题 【背景知识】【背景知识】计算机把数据存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的计算机把数据存储在磁盘上磁盘是带有磁性介质的 圆盘， 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区圆盘， 并有操作系统将其格式化成磁道和扇区. .磁道是指不同半径所磁道是指不同半径所 构成的同心轨道， 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域构成的同心轨道， 扇区是指被同心角分割所成的扇形区域. .磁道上的磁道上的 定长弧段可作为基本存储单元，根据其
4、磁化与否可分别记录数据定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据 0 或或 1，这个基本单元通常被称为比特（，这个基本单元通常被称为比特（bit） ） 为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特，每比特 所占用的磁道长度不得小于所占用的磁道长度不得小于n为了数据检索便利，磁盘格式化时为了数据检索便利，磁盘格式化时 要求所有磁道要要求所有磁道要具有相同的比特数具有相同的比特数 问题：现有一张半径为问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于的磁盘，它的存储区是半径介于r与与R之之 间的环形区域间的环形区域 （1）是不是是
5、不是r越小，磁盘的存储量越大？越小，磁盘的存储量越大？ （2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何 信息）？信息）？ 【解答解答】由题意知：存储量由题意知：存储量= =磁道数每磁道的比特数磁道数每磁道的比特数. . 设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与R之间，由于之间，由于磁道之间的宽度必需大于磁道之间的宽度必需大于 m ，且最外面的磁道不存储任何信息，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达故磁道数最多可达 Rr m . . 由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道由于每条磁道上的比特数相同，
6、为获得最大存储量，最内一条磁道 必须装满，即每条磁道上的比特数可达必须装满，即每条磁道上的比特数可达 2 r n 所以，磁盘总存储量所以，磁盘总存储量 22 ( )() Rrr f rr Rr mnmn （1）它是一个关于它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是不是 r越小，磁盘的存储量越大 越小，磁盘的存储量越大 （2）为求为求 ( )f r 的最大值，计算的最大值，计算 ( )0fr 2 ( )(2 )frRr mn 令令 ( )0fr ，解得，解得 2 R r 当当 2 R r 时，时， ( )0fr ；当；当 2 R r 时，时， (
7、)0fr 因此因此 2 R r 时，磁盘具有最大存储量时，磁盘具有最大存储量. .此时最大存储量为此时最大存储量为 2 2 R mn 变式训练 1：在边长为 60cm 的正方形铁片的四角切去相等的正方 形，再把它的边沿虚线折起 (如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱 底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 解法一：设箱底边长为解法一：设箱底边长为xcm，则箱高，则箱高 60 2 x h cm， 得箱子容积得箱子容积 2 60 )( 32 2 xx hxxV )600( x 所以，所以， 2 3 ( )60 2 x V xx )600( x 令令 2 3 ( )600 2 x V xx
8、 ，解得，解得 0x （舍去） ，（舍去） ， 40x ， 所以，所以， (40)16000V （cm3） ） 由题意可知，当由题意可知，当 (0 60)x， 时，时， ( )V x 仅此一个极大值，仅此一个极大值， 因此，因此，16000 是最大值是最大值 答：当答：当 40x cm 时，箱子容积最大，最大容积是时，箱子容积最大，最大容积是 16000cm3 解法二：设箱高为解法二：设箱高为xcm，则箱底长为，则箱底长为(60 2 ) x cm， 则得箱子容积则得箱子容积 xxxV 2 )260()()300( x （后面同解法一，略）（后面同解法一，略） 由题意可知，仅此一个极大值，由题意
9、可知，仅此一个极大值， 因此，所以最大值出现在极值点处因此，所以最大值出现在极值点处 例例 2甲甲、乙两地相距乙两地相距 400 千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙 地地,速度不得超过速度不得超过 100km/h已知该汽车每小时的运输成本已知该汽车每小时的运输成本t ( 元元 ) 关 于 速 度关 于 速 度 x (km/h) 的 函 数 关 系 式 是的 函 数 关 系 式 是 43 11 15 19200160 txxx （1）当汽车以）当汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶时，全程运输成本为的速度匀速行驶时，全程运输成本为 多少元？多少元？ （2）为使全程运输
10、成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求）为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求 出此时运输成本的最小值出此时运输成本的最小值 成本最省问题成本最省问题 解： （解： （1）设全程运输成本）设全程运输成本为为 ( )f x ，则，则 4332 1140015 ( )(15 )6000(0100) 19200160482 f xxxxxxx x 当当 60x km/h 时，时， 32 15 (60)606060001500 482 f （元） （元） （2） 2 1 ( )5 (0100) 16 fxxxx ，令，令 x0 f ，得，得 80x 当当 (080)x， 时，时， ( )0fx
11、 ，所以，所以 ( )f x 是减函数；是减函数； 当当 (80100x， 时，时， ( )0fx ，所以，所以 ( )f x 是增函数是增函数 所以，当所以，当 80x km/h， ( )f x 取极小值取极小值 又因又因 ( )f x 在在(0100 ， 上只有一个极小值，所以上只有一个极小值，所以 (80)f 是最小值是最小值 所以，所以， 32 152000 (80)80806000 4823 f （元） （元） 变式训练变式训练2：一艘船的燃料费与船速度的平方成正：一艘船的燃料费与船速度的平方成正 比比，如果此船速度是如果此船速度是10km/h，那么每小时的燃料费那么每小时的燃料费
12、是是80元元已知船航行时其他费用为已知船航行时其他费用为480元元/小时小时，在在 20km航程中航程中，船速多少时船行驶总费用最省船速多少时船行驶总费用最省？此时此时 每小时费用等于多少每小时费用等于多少？ 解：由于解：由于 2 8010k ，所以，所以 4 5 k 设船速为设船速为 x km/h 时，总费用为时，总费用为 y ，则，则 2 420209600 480160 5 yxxx xxx ， 令令 0y ，即，即 2 9600 160 x ，则，则 10 6x 10 6x 是函数是函数 y 在在(0 )，+ 上唯一极值点，从而使最小值点上唯一极值点，从而使最小值点 当当 10 6x
13、时，时， 9600 16 10 6400 6 10 6 （元） （元） 于是于是 20 400 61200 10 6 （元（元/小时） 小时） 答：船速为答：船速为10 6时船行驶总费用最省，时船行驶总费用最省，此时每小时费用等于此时每小时费用等于 1200 元元 1.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底 与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为 h h，底半径为，底半径为 R R，则表面积，则表面积 2 22SRhR 由由 2 VR h ，得，得 2 V h R ， 则则 22 2 2 ( )222 VV S RRRR RR 令令 2 2 ( )40 V
14、 S RR R 解得，解得， 3 2 V R ，从而，从而 33 2 2 3 4 2 () 2 VVVV h RV 即即 2hR ，因为因为 ( )S R 只有一个极小值，所以它是最小值只有一个极小值，所以它是最小值 奎屯 王新敞 新疆 答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省 奎屯 王新敞 新疆. 2.当圆柱形金属当圆柱形金属饮料罐饮料罐的表面积为定值的表面积为定值S时，时，它的高与它的高与 底底面面半径应怎样选取，才能使所用材料最省？半径应怎样选取，才能使所用材料最省？ 提示：提示： 2 2 2 22 2 SR SRhRh R 所以，所以， 2 22
15、3 211 ( )(2) 222 SR V RRSRRSRR R 令令 ( )0V R 222 66222SRRRhRhR 1 实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来实际应用问题的表现形式，常常不是以纯数学模式反映出来 首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质；其次，首先，通过审题，认识问题的背景，抽象出问题的实质；其次， 建立相应的数学模型建立相应的数学模型, , 将应用问题转化为数学问题，再解将应用问题转化为数学问题，再解 2用导数求解优化问题的基本步骤：用导数求解优化问题的基本步骤： （1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量）认真分析问题中各个变量之
16、间的关系，正确设定最值变量 y 与自变量与自变量 x ，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系 式式 ( )yf x ，并确定函数的定义区间；，并确定函数的定义区间； （2）求）求 ( )fx ，解方程，解方程 ( )0fx ，得出所有实数根；，得出所有实数根； （3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实 际意义确定函数的最大值或最小值际意义确定函数的最大值或最小值 即解优化问题的基本思路是：即解优化问题的基本思路是： 数学思想：数形结合和转化思想数学思想：数形结合和转化思
17、想 作答作答 解决数学模型解决数学模型 建立数学模型建立数学模型 优化问题优化问题 用函数表示数学问题用函数表示数学问题 用导数解决数学问题用导数解决数学问题 优化问题的答案优化问题的答案 必做题：必做题：课本课本 P37 B 组组 1， 2 选做选做题：题： 1. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） 设该某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度） 设该 蓄水池的底面半径为蓄水池的底面半径为r米，高为米，高为h米，体积为米，体积为V立方米立方米假假设设 建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为建造成本仅与表面积有关，侧面积的建造成本为 100 元元/平方米，平方米， 底面的建
18、造成本为底面的建造成本为 160 元元/平方米，该蓄水池的总建造成平方米，该蓄水池的总建造成本本 为为 12000元元 （）将（）将V表示成表示成r的函数的函数 ( )V r ，并求该函数的定义域；，并求该函数的定义域； （）讨论函数（）讨论函数 ( )V r 的单调性，并确定的单调性，并确定r和和h为何值时该蓄水为何值时该蓄水 池的体积最大池的体积最大 2.某造船公司年最高造船量是 20 艘. 已知造船 x 艘的产值函 数 R(x)=3700x + 45x 210x3(单位：万元), 成本函数为 C(x) = 460x + 5000 (单位：万元). 又在经济学中，函数 f(x)的边 际函数
19、 Mf (x)定义为: Mf (x) = f (x+1) f (x). 求:（提示：利润 = 产值 成本） (1)利润函数 P(x) 及边际利润函数 MP(x); (2)年造船量安排多少艘时, 可使公司造船的年利润最大? (3)边际利润函数 MP(x)的单调递减区间, 并说明单调递减 在本题中的实际意义是什么？ 解：P(x) = R(x) C(x) = 10x3 + 45x2 + 3240x 5000 MP (x) = P ( x + 1 ) P (x) = 30x2 + 60x +3275 (其中 xN 且 x1, 20). ( )P x = 30x2 + 90x + 3240 = 30(
20、x +9 )(x 12) 当 1 x 0, P(x)单调递增, 当 12 x 20 时, ( )P x 0 , P ( x ) 单调递减. x = 12 时, P(x)取最大值,即年建造 12 艘船时, 公司造船的年利润最大. 由 MP(x ) = 30( x 1) 2 + 3305 (xN 且 x1, 20). 当 1 x 20 时，MP (x)单调递减. MP (x)是减函数说明:随着产量的增加,每艘利润与前一 台比较,利润在减少. 3某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的 定价为180元时，房间会全部住满；房间的单价每增加 10元，就会有一个房间空闲如果游客居住房间，宾 馆每天每间需花费20元的各种维修费房间定价多少 时，宾馆的利润最大？ 解解: :设宾馆定价为设宾馆定价为(180(18010x)10x)元时，宾馆的利润最大元时，宾馆的利润最大 20)50()50)(10180(xxxW 800034010 2 xx 17, 0)( xxW求得令 17,0)( xxW时当17,0)( xxW时；当 最大，利润当Wx17 （元）此时房价为：3501710180
