1、3.1 数系的扩充与复数 的概念 3.1.2 复数的几何意义 本节主要学习复数的几何意义。以在几何上，我们用什 么来表示实数引入新课。教学过程以学生探究为主，利用一 个复数是由什么来确定，引导学生来理解（1）复数的第一个 几何意义：复数与复平面内的点一一对应；（2）复数的第二 个内何意义：复数与向量一一对应。使学生能够灵活应用所 学知识，加深对复数几何意义的理解。 教学过程例题与变式结合，通过例1和变式1和2巩固掌 握复数与复平面内的点一一对应，解决了有关复数与点之间 的相关问题。通过例2和变式巩固掌握复数的模、以及复数所 对应的点所表示的几何图形的问题等。从而加深了对复数两 个几何意义的理解
2、。 在几何上，我们用 什么来表示实数? 想 一 想 ？ 想 一 想 ？ 类比实数的表示， 可以用什么来表示 复数？ 实数可以用数轴 上的点来表示。 实数实数 数轴数轴上的点上的点 (形形) (数数) 一一对应一一对应 回 忆 回 忆 复数的一 般形式？ Z=a+bi(a, bR) a为实部! b为虚部! 一个复数由 什么唯一确 定？ 复数复数z=a+bi 有序实数对有序实数对(a,b) 直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b) x y o b a Z(a,b) 建立了平面直角坐标系来表示 复数的平面 x轴-实轴 y轴-虚轴 （数）（数） （形）（形） -复数平面 (简称复平面) 一一对应一
3、一对应 z=a+bi 复数的几何意义（一）复数的几何意义（一） 例1 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所对应的点 位于第二象限，求实数m允许的取值范围。 表示复数的点所 在象限的问题 复数的实部与虚部所满 足的不等式组的问题 转化转化 ( (几何问题几何问题) ) ( (代数问题代数问题) ) 一种重要的数学思想：一种重要的数学思想：数形结合思想数形结合思想 2 2 60 20 mm mm ， 解：由 ， 32 21 m mm ， 得 或， ( 3, 2)(1,2).m 温温 馨馨 提提 示示 变式训练1：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所
4、对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值. 解：复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内 所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或m=-2. 变式训练2：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明：对一切 m，此复数所对应的点不可能位于第四象限. 证明：若复数所对应的点位于第四象限， 2 2 60 20 mm mm ， 则 ， 32 21. mm m 或， 即 所以不等式解集为空集， 所以复数所对应的点不可能位于第四象限. 复数复数z=a+bi 直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b) 一一对应一
5、一对应 平面向量平面向量 OZ 一一对应一一对应 一一对应一一对应 复数的几何意义（二）复数的几何意义（二） x y o b a Z(a,b) z=a+bi x O z=a+bi y 复数的绝对值复数的绝对值 (复数的模复数的模) 的几何意义的几何意义: Z (a,b) 22 ba 对应平面向量对应平面向量 的模的模| |，即，即复数复数 z z= =a+ +bi i在复在复 平面上对应的点平面上对应的点Z(a,b)到原点的距离。到原点的距离。 OZOZ | z | = | | OZ 例例2 求下列复数的模：求下列复数的模： (1)z1=- -5i； (2)z2=- -3+4i ； (3)z3
6、=5- -5i； (4)z4=1+mi(mR) ； (5)z5=4a- -3ai(a0). 22 2 45.Z（2）（-3） 22 3 55 2.Z（3）（-5） 22 4 1.Zm（4） 22 5 (4 )( 3 )5 .Zaaa （5） 22 1 055.Z解：（1） x y O （2 2）设）设z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR)，则，则 解：解：（1）满足满足|z|=5(zR)的的 z值有两个，为值有两个，为-5和和5. 5 5 5 5 22 |5.zxy (2)满足|z|=5(zC)的z值有几个？ 变式训练：变式训练： (1)满足|z|=5(zR)的z值有几个？ 这些复数对应的点在复平面上构成怎样的图形？ 所以满足所以满足|z|=5(zC)对应的点在对应的点在 复平面构成了以原点为圆心复平面构成了以原点为圆心， 以以5为半径的圆为半径的圆. oz 复数复数z=a+bi 直角坐标系中直角坐标系中 的点的点Z(a,b) 平面向量平面向量 一一对应 复数的几何意义复数的几何意义 比 一 比 ？ 比 一 比 ？ 复数还有哪些特征 能和平面向量类比? OZ
