1、第三讲第三讲 柯西不等式与排序不等式柯西不等式与排序不等式 33 排序不等式排序不等式 学习目标学习目标 1.用向量递归方法讨论排序不等式用向量递归方法讨论排序不等式(难难 点点) 2.了解排序不等式的基本形式了解排序不等式的基本形式，用排序不等式解用排序不等式解 决简单的数学问题决简单的数学问题(重点重点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1基本概念基本概念 设设 a1 1 c n 1 ，且且 b11，b22，b n 1 n1，c12，c23，c n 1 n. 利用排序不等式利用排序不等式，有有a1 a2 a2 a3 a n 1 an b1 c1 b2 c2 b n 1 c n 1 1 2 2
2、3 n1 n . 所以原不等式成立所以原不等式成立 归纳升华归纳升华 1在不等式的证明方法中在不等式的证明方法中，配凑法比较常见配凑法比较常见，如在如在 运用基本不等式、 柯西不等运用基本不等式、 柯西不等式时式时， 常常先将不等式的一侧常常先将不等式的一侧 (或已知等式的一侧或已知等式的一侧)进行配凑进行配凑，使之满足基使之满足基本不等式或柯本不等式或柯 西不等式的应用条件西不等式的应用条件 在运用排序不等式时在运用排序不等式时， 常常根据题常常根据题 目条件目条件，配凑构造出所需要的有序数组配凑构造出所需要的有序数组 2应用排序不等式时应用排序不等式时，当两个排序的大小顺序未确当两个排序的
3、大小顺序未确 定而又需对一些轮换式或者对称性式子进行证明时定而又需对一些轮换式或者对称性式子进行证明时， 可人可人 为规定顺序为规定顺序， 再利用排序原理求解 还应注意两个排序的再利用排序原理求解 还应注意两个排序的 顺序和、反序和是确定的顺序和、反序和是确定的，只有乱序和可以有多种只有乱序和可以有多种，所以所以 要在乱序和上多思考要在乱序和上多思考 变式训练变式训练 设设 a， b， c 都是正数都是正数， 求证：求证： bc a ac b ab c abc. 解：解：由题意不妨设由题意不妨设 abc0， 所以所以 abacbc，1 c 1 b 1 a. 由排序原理由排序原理，知知 ab 1
4、 c ac 1 b bc 1 a ab 1 b ac 1 a bc 1 c acb. 类型类型 2 利用排序不等式求最值利用排序不等式求最值 典例典例 2 设正数设正数 x，y，z 满足满足 xyz1，求求 x2 yz y2 zx x2 xy的最小值 的最小值 解：解：不妨设不妨设 xyz，则则 xyxzyz0，于是于是 x yz y zx z xy， ， 由排序不等式得由排序不等式得 x2 yz y2 zx z2 xy z x yz x y zx y z xy， ， x2 yz y2 zx z2 xy y x yz z y zx x z xy. 两式相加并化简两式相加并化简，得得 2 x2
5、yz y2 zx z2 xy xyz. 由均值不等式及由均值不等式及 xyz1， 得得 xyz3 3 xyz3， 所以所以 x2 yz y2 zx z2 xy 3 2. 故故 x2 yz y2 zx z2 xy的最小值为 的最小值为3 2. 归纳升华归纳升华 应用排序不等式求最值时应用排序不等式求最值时， 关键是构造两个有序的数关键是构造两个有序的数 组组，从而构造顺序和、乱序和以及反序和从而构造顺序和、乱序和以及反序和，利用顺序和利用顺序和 乱序和乱序和反序和可求表达式的最大值或最小值 当已知数反序和可求表达式的最大值或最小值 当已知数 组位置对称组位置对称，没有大小顺序时没有大小顺序时，可
6、指定一个次序可指定一个次序，然后再然后再 利用排序不等式求解利用排序不等式求解 变式训练变式训练 已知有两组实数已知有两组实数 a1a2a3a4a5， b1 b2b3b4b5，其中其中 a12，a27，a38，a49，a5 12，b13，b24，b36，b410，b511，将将 bi(i1， 2，3，4，5)重新排列记为重新排列记为 c1，c2，c3，c4，c5，计算计算 a1c1 a2c2a5c5的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解：由顺序和最大知由顺序和最大知 a1c1a2c2a5c5的最大值的最大值 为为 a1b1a2b2a3b3a4b4a5b52374869 101211304.
7、由反序和最小知由反序和最小知 a1c1a2c2a3c3a4c4a5c5的最小的最小 值为值为 a1b5a2b4a3b3a4b2a5b121171086 94123212. 所以所以 a1c1a2c2a5c5的最大值为的最大值为 304， 最小值为最小值为 212. 类型类型 3 排序不等式的实际应用排序不等式的实际应用 典例典例 3 某座大楼共有某座大楼共有 n 层层， 在每层有一个办公室在每层有一个办公室， 每个办公室的人员步行上下楼每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为他们的速度分别为 v1， v2，vn(他们各不相同他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上为了能使得办公室的人员上
8、下楼梯所用的时间总和最小下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排应该如何安排(假设每两层假设每两层 楼的楼梯长都楼的楼梯长都一样一样)? 解：解：设两层楼间的楼梯长为设两层楼间的楼梯长为 s，则第一层需要走的路则第一层需要走的路 程为程为 s，第二层需要走的路程为第二层需要走的路程为 2s，第第 n 层需要走的层需要走的 路程为路程为 ns. 不妨设不妨设 v1v 2v n为为 v1，v2，vn从从大到小的大到小的 排列排列，显然显然 1 v 1 1 v 2 1 v n， ， 由排序不等式由排序不等式， 可得可得 ns 1 v1 (n1)s 1 v 2 s 1 v n的和 的和 最小最小， 所以
9、将速度快的放在高层所以将速度快的放在高层， 速度慢的放在低层速度慢的放在低层， 可使可使 上下楼的时间最短上下楼的时间最短 归纳升华归纳升华 在解决一些规划预算问题时在解决一些规划预算问题时， 往往只需确定最小值与往往只需确定最小值与 最大值最大值，以进行合理规划与正确预算以进行合理规划与正确预算，结合排序不等式结合排序不等式 “顺序和最大顺序和最大，反序和最小反序和最小”，可以方便可以方便快捷地处理快捷地处理，方方 法巧妙法巧妙，步骤灵活步骤灵活，过程简单过程简单 变式训练变式训练 某网吧的某网吧的 3 台电脑同时出现了故障台电脑同时出现了故障，对对 其维修分别其维修分别需要需要 45 mi
10、n，25 min 和和 30 min，每台电脑耽每台电脑耽 误误 1 min，网吧就会损失网吧就会损失 0.05 元在只能逐台维修的条元在只能逐台维修的条 件下件下，按怎样的顺序维修按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？才能使经济损失降到最小？ 解：解：设设 t1，t2，t3为为 25，30，45 的任一排列的任一排列， 利用排序不等式的利用排序不等式的“顺序和最大顺序和最大，反序和最小反序和最小”， 可知维修可知维修 3 台电脑所花的总时间最短为：台电脑所花的总时间最短为： 253302451180(min)， 那么最小的经济损失为那么最小的经济损失为 1800.059(元元)， 那么该
11、网那么该网吧应该按用时为吧应该按用时为 25 min，30 min，45 min 的顺序维修的顺序维修 3 台电脑台电脑，才能使经济损失降到最小才能使经济损失降到最小 1排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积排序原理是对不同的两个数组来研究不同的乘积 和的问题和的问题，能构造的和按数组中的某种能构造的和按数组中的某种“搭配搭配”的顺序的顺序 被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和对这三种被分为三种形式：顺序和、反序和、乱序和对这三种 不同的搭配形式不同的搭配形式，只需注重是怎样的只需注重是怎样的“次序次序”，两种较两种较 为简单的是为简单的是“顺与反顺与反”，而乱序和也就是不按而乱序和也就是不按“常规常规” 的顺序了对于排序原理的记忆的顺序了对于排序原理的记忆，我们只需记住用特殊我们只需记住用特殊 的例子来说大小关系的例子来说大小关系，比如教材上的例子比如教材上的例子 2对于排序对于排序不等式取等号的不等式取等号的条件不难理解，条件不难理解，a1a2 an或或 b1b2bn， 但对于我们解决某些问题则但对于我们解决某些问题则 非常关键非常关键，它是命题成立的一种条件它是命题成立的一种条件，所以要牢记所以要牢记
