1、第二讲第二讲 证明不等式的基本方法证明不等式的基本方法 22 综合法与分析法综合法与分析法 学习目标学习目标 1.掌握用综合法和掌握用综合法和分析法证明不等式的分析法证明不等式的 基本步骤基本步骤(重点重点) 2.理解这两种证明方法的数学思理解这两种证明方法的数学思 想想 3.会灵活运用这两种方法证明不等式会灵活运用这两种方法证明不等式(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1综合法综合法 一般地一般地，从已知条件出发从已知条件出发，利用定义、公理、定理、利用定义、公理、定理、 性质等性质等，经过一系列的推理经过一系列的推理，论证而得出命题成立论证而得出命题成立，这这 种证明方法
2、叫做种证明方法叫做综合法综合法，又叫顺推证法或又叫顺推证法或由因导果法由因导果法 温馨温馨提示提示 用综合法证明时要注意不等式成立的条用综合法证明时要注意不等式成立的条 件是否具备件是否具备，还要注意不等式基本性质的使用是否准确还要注意不等式基本性质的使用是否准确 2分析法分析法 证明命题时证明命题时，我们还常常从要证的我们还常常从要证的结论结论出发出发，逐步逐步 寻求使它成立的充分条件寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为直至所需条件为已知条件已知条件或或 一个明显成立事实一个明显成立事实(定义、 公理或已证明的定理、 性质等定义、 公理或已证明的定理、 性质等)， 从而得出要证的命题成从而
3、得出要证的命题成立， 这种证明方法叫做立， 这种证明方法叫做分析法分析法 这 这 是一种执果索因的思考和证明方法是一种执果索因的思考和证明方法 3综合法与分析法的比较综合法与分析法的比较 方法方法 证明的起证明的起 始步骤始步骤 求证过程求证过程 求证目标求证目标 证题方向证题方向 综合综合 法法 基本不等基本不等 式或已经式或已经 证明过的证明过的 不等式不等式 实施一系实施一系 列的推出列的推出 或等价变或等价变 换换 要求证的要求证的 结论结论 由因导果由因导果 分析分析 法法 要求证的要求证的 不等式不等式 寻求结论寻求结论 成立的充成立的充 分条件分条件 所需条件所需条件 全部成立全
4、部成立 执果索因执果索因 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)若若 ab，则则 ac2bc2.( ) (2)若若a c b c， ，则则 ab.( ) (3)若若 a3b3，且且 ab0，则则1 a 1 b.( ) (4)若若 a2b2，且且 ab0，则则1 a 1 b.( ) 解析：解析：若若 c0，则则(1)不成立；不成立； 若若 c0，则则(2)不成立；不成立； 1 a 1 b ba ab ，因为因为 a3b3，且且 ab0， 所以所以 a0b，即即 ba0， 所以所以 ba ab 0，故故1 a 1 b， ，(3)
5、成立；成立； 若若 a 0， b0，则 则(4)不成立不成立 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2分析法证明不等式中所说的分析法证明不等式中所说的“执果索因执果索因”是指寻是指寻 求使不等式成立的求使不等式成立的( ) A必要条件必要条件 B充分条充分条件件 C充要条件充要条件 D必要或充分条件必要或充分条件 答案：答案：B 3要证要证 a2b21a2b20，只要证只要证( ) A2ab1a2b20 Ba2b21a 4 b4 2 0 C. ab 2 2 1a2b20 D(a21)(b21)0 解析：解析：a2b21a2b2(a21)(b21)，要证原不，要证原不 等式成立，只需证等式
6、成立，只需证( (a21)(b21)0， 即证即证(a21)(b21)0. 答案：答案：D 4. 请补全用分析法证明不等式请补全用分析法证明不等式“ac bd （a2b2）（）（c2d2）”时的推理过程：要证明时的推理过程：要证明 ac bd （a2b2）（）（c2d2），当当 acbd0 时时，不等不等 式成立；式成立；_，只要证只要证(acbd)2(a2b2)(c2d2)， 即要证即要证 a2c22abcdb2d2a2c2a2d2b2c2b2d2，即要即要 证证 a2d2b2c22abcd，只需证明只需证明_，该该 不等式显然成立不等式显然成立，故所要证明的不等式成立故所要证明的不等式成立
7、 答案：答案：当当 acbd0 时时 (adbc)20 类型类型 1 综合法证明不等式综合法证明不等式(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知已知 a，b，cR ， ，且且 abc1.求证：求证： abbcac1 3. 证明：证明：因为因为 a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac， 所以所以 2(a2b2c2)2(abbcca) 所以所以 abbccaa2b2c2. 所以所以 3(abbcca)a2b2c22ab2bc2ac (abc)21. 所以所以 abbcca1 3.当且仅当 当且仅当 abc1 3时 时， 等号成等号成 立立 归纳归纳升华升华 1综合法是指从已证的不等式或问题的
8、已知条件出综合法是指从已证的不等式或问题的已知条件出 发发， 借助不等式的性质和有关定理借助不等式的性质和有关定理， 经过逐步的逻辑推理经过逐步的逻辑推理， 最后达到待证的结论或需求的问题最后达到待证的结论或需求的问题， 其特点和思路是其特点和思路是“由由 因导果因导果”， 即从即从“已知已知”看看“可知可知”， 逐步推向逐步推向“未知未知” 2综合法证明不等式时常用的不等式：综合法证明不等式时常用的不等式： (1)a2b22ab(当且仅当当且仅当 ab 时时，取取“”)； (2) ab 2 ab(a，b R ， ，当当且仅当且仅当 ab 时时，取取 “”)； (3)a20，|a|0，(ab)
9、20； (4)b a a b 2(a，b 同号同号)，b a a b 2(a，b 异号异号)； (5)a，b R，a2b21 2(a b)2. 变式训练变式训练 已知已知 a，b，cR ， ，abc1，求证：求证：(2 a)(2b) (2c)27. 证明：证明：法一：法一：因为因为(2a)(2b)(2c)84(ab c) 2(ab bc ca) abc8 43 3 abc 23 3 （abc）2127， 当且仅当当且仅当 abc1 时时，等号成立等号成立， 所以原不等式成立所以原不等式成立 法二：法二： 因为因为(2a)(2b)(2c)84(abc)2(ab bcca)abc82(abc)2
10、a1 a b1 b c1 c 182 3 abc2(222)127， 当且仅当当且仅当 abc1 时时，等号成立等号成立， 所以原不等式成立所以原不等式成立 法三：法三：(2a)(2b)(2c)(11a)(11b)(11 c)3 3 a 3 3 b 3 3 c27， 当且仅当当且仅当 abc1 时时，等号成立等号成立， 所以原不等式成立所以原不等式成立 类型类型 2 分析法证明不等式分析法证明不等式 典例典例 2 已知已知 x0，y0，求证：求证：(x2y2) 1 2(x3 y3) 1 3. 证明：证明：因为因为 x0，y0， 所以要证明所以要证明(x2y2) 1 2 (x3y3) 1 3，
11、只需证只需证(x2y2)3(x3y3)2， 即证即证 x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6， 即证即证 3x4y23x2y42x3y3. 因为因为 x0，y0，所以所以 x2y20， 即证即证 3x23y22xy. 因为因为 3x23y2x2y22xy， 所以所以 3x23y22xy 成立成立 归纳升华归纳升华 1分析法是指从要证的不等式出发分析法是指从要证的不等式出发，分析这个不等式分析这个不等式 成立的充分条件成立的充分条件，进而转化为判定那些条件是否具备其进而转化为判定那些条件是否具备其 特点和思路是特点和思路是“执果索因执果索因”，即从即从“未知未知”看看“已知已知” 2当所
12、要证的不当所要证的不等式与重要不等式、基本不等式没等式与重要不等式、基本不等式没 有直接联系有直接联系， 或很难发现条件与结论之间的关系时， 可用， 或很难发现条件与结论之间的关系时， 可用 分析法来证明分析法来证明 变式训练变式训练 已知已知 a，bR ， ，且且 2cab，求证：求证：c c2abac c2ab. 证明：证明：要证要证 cc2abacc2ab， 只需证只需证c2ab acc2ab， 即证即证|ac|c2ab， 两边平方得两边平方得 a22acc2c2ab， 也即证也即证 a2ab2ac，即即 a(ab)2ac. 因为因为 a，b R ， ，且且 ab2c， 所以所以 a(a
13、b)2ac 显然成立显然成立 所以原不等式成立所以原不等式成立 类型类型 3 分析法与综合法的灵活运用分析法与综合法的灵活运用 典例典例 3 设设 x，y(0，)，求证：求证： 1 2(x y)21 4(x y)x yy x. 证明：证明： 原不等式原不等式2(xy)2(xy)4x y4y x(x y)2(xy)12 xy(2 x2 y) 因为因为 xy2 xy0， 所以只需证所以只需证 2(xy)12 x2 y. 即证即证 x1 4 y1 4 x y. 而而 x1 4 2 x 4 x，y1 4 2 y 4 y， 当且仅当当且仅当 xy1 4时 时，等号成立等号成立， 所以所以1 2(x y)
14、21 4(x y)x yy x. 归纳升华归纳升华 1分析法在思考上优于综合法分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思易于寻找证明的思 路路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两故常将两 法综合使用法综合使用，用分析法用分析法“探探路路”，用综合法用综合法“书写书写”，从从 而解决较复杂的不等式证明而解决较复杂的不等式证明问题问题 2在证明不等式的过程中在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分析法和综合法是不能 分离的分离的， 如果使用综合法证明不等式难以入手如果使用综合法证明不等式难以入手， 常用分析常用分析 法探索证题途径法探索证题途径，
15、之后用综合法的形式写出它的证明过之后用综合法的形式写出它的证明过 程 有时问题证明难度较大程 有时问题证明难度较大， 常综合应用分析法和综合法常综合应用分析法和综合法， 从两头往中间靠以达到证题目的从两头往中间靠以达到证题目的 变式训练变式训练 若正数若正数 x， y， z 满足满足 xyz1， 则则 1 x 1 1 y 1 1 z 1 8. 证明：证明：因为因为 xyz1， 则则1 x 1 1x x yz x ， 所以所以1 x 12 yz x 0. 同理可证：同理可证：1 y 12 xz y 0，1 z 12 xy z 0. 将三式相乘将三式相乘，有有 1 x 1 1 y 1 1 z 1
16、8xyz xyz 8. 当且仅当当且仅当 xyz1 3时 时， 等号成立 从而原命题得证等号成立 从而原命题得证 1综合法是从已知条件或基本不等式出发综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不运用不 等式等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是 “由因导果由因导果” ” 综合法证明不等式综合法证明不等式，要揭示出条件与结论要揭示出条件与结论 间的因果联系间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间为此要着力分析已知与求证间，不等式不等式 左、右两端的差异与联系左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不合理变换、恰当选择已知不 等式是证明的关
17、键寻找启动不等式是综合法的难点等式是证明的关键寻找启动不等式是综合法的难点， 常用不等式有：常用不等式有：(1)a20(aR)； (2)a2b22ab， ab 2 2 ab，a2b21 2(a b)2； (3)若若 a，bR ， ，a b 2 ab，特别的有特别的有b a a b 2. 2分析法就是从求证的不等式出发分析法就是从求证的不等式出发，执果索因执果索因，找找 出使这个不等式成立需具备的充分条件出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所直至能肯定所 需条件已经具备证明的关键是推理的每一步都必须可需条件已经具备证明的关键是推理的每一步都必须可 逆逆 用分析法证明用分析法证明“若若
18、A 则则 B”的模式为：的模式为： 欲证命题欲证命题 B 成立成立， 只需证命题只需证命题 B1成立成立 只需证命题只需证命题 B2成立成立 只需证明只需证明 A 为真为真 今已知今已知 A 为真为真，故故 B 必真必真 可以简单写成：可以简单写成：B B1 B2 Bn A. 3证明时省略掉证明时省略掉“要证明要证明”和和“只需证明只需证明”的字的字 样样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用但可用 “ ”取代那些必要的词语应予以足够取代那些必要的词语应予以足够重视重视 4分析法和综合法是对立统一的两种方法分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法分析法 的特点是利于思考的特点是利于思考，因为其方向明确因为其方向明确，思路自然思路自然，易于易于 掌握 综合法的优点是宜于表述、 条理清楚、 形式简洁 证掌握 综合法的优点是宜于表述、 条理清楚、 形式简洁 证 明时常用分析法探索证明途明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出径，后用综合法的形式写出 证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法
