1、第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式绝对值不等式 12.2 绝对值不等式的解法绝对值不等式的解法 学习目标学习目标 1.理解和掌握理解和掌握|axb|c及及|axb|c型型 不等式的解法不等式的解法(重点重点) 2.掌握掌握|xa|xb|c 及及|xa| |xb|c 型不等式的解法型不等式的解法(重点、难点重点、难点) 知识提炼知识提炼 梳理梳理 1|x|a 与与|x|a(0)型的不等式型的不等式 当当 a0 时时，不等式不等式|x|a 的解集是的解集是x|xa 或或 x a，不等式不等式|x|a 的解集是的解集是x|axa 2|axb|c，(c0)与与
2、|axb|c，(c0)型的不等型的不等 式式 不等式不等式|axb|c的解集是的解集是x|axbc或或axb c；不等式；不等式|axb|c 的解集是的解集是x|caxbc 3|xa|xb|c 和和|xa|xb|c 型不等式型不等式 (1)利用绝对值的几何意义利用绝对值的几何意义 式子式子|xa|xb|的几何意义是：在数轴上实数的几何意义是：在数轴上实数 x 与与 a，b 对应的点之间的距离的和；式子对应的点之间的距离的和；式子|xa|xb|的几何的几何 意义是：在数轴上实数意义是：在数轴上实数 x 与与 a 对应的点之间的距离与实数对应的点之间的距离与实数 x 与与 b 对应的点之间的距离的
3、差利用上述几何意义对应的点之间的距离的差利用上述几何意义，结结 合数轴可以得到形如不等式合数轴可以得到形如不等式|xa| |xb|()c 的解集的解集 (2)分段讨论法分段讨论法 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，转化转化 为不含绝对值的不等式求解为不含绝对值的不等式求解 (3)数形结合法数形结合法 从函数的观点从函数的观点，利用函数图象求不等式的解集利用函数图象求不等式的解集 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思思考判断考判断(正确的打正确的打“”“” ，错误的打，错误的打“”“”) (1)|x|1 的解集为的解集为x|1x1( ) (2)|x|1 的
4、几何意义就是数轴上到原点的距离小于的几何意义就是数轴上到原点的距离小于 1 的点的集合的点的集合( ) (3)|x|1 的解集是的解集是x|x1 或或 x1( ) (4)|x|1 的几何意义就是数轴上到原点的距离大于的几何意义就是数轴上到原点的距离大于 1 的点的集合的点的集合( ) 解析：解析：由绝对值的定义及几何意义易知由绝对值的定义及几何意义易知(1)(2)(3)(4)都都 正确正确 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2已知集合已知集合 Ax|x25x60，Bx|2x1| 3，则则 AB 等于等于( ) Ax|2x3 Bx|2x3 Cx|2x3 Dx|1x3 解析：解析： 因为
5、因为 Ax|2x3， Bx|x2 或或 x1， 所以所以 ABx|2x3 答案：答案：C 3不等式不等式|x3|x3|3 的解集是的解集是( ) A. x x 3 2 B. x 3 2 x3 Cx|x3 Dx|3x0 解析：解析：当当 x3 时时，(x3)(x3)3，无解无解 当当3x3 时时，x3x33， 即即 x3 2， ，故故3 2 x3. 当当 x3 时时，x3(x3)3，即即 63，故故 x3. 综上所述综上所述，所求的解集为所求的解集为 x x 3 2 . 答案：答案：A 4. 不等式不等式|8x|3 的解集为的解集为_ 解析：解析：原不等式化为原不等式化为 x83 或或 x83
6、解得解得 x11 或或 x5. 答案：答案：x|x11 或或 x5 5(2014 湖南卷湖南卷)若关于若关于 x 的不等式的不等式|ax2|3 的解的解 集为集为 x 5 3 x1 3 ，则则 a_. 解析：解析：由由|ax2|3 得到得到3ax23，1ax5， 又知道解集为又知道解集为 x 5 3 x1 3 所以所以 a3. 答案：答案：3 类型类型 1 |axb|c(或或|axb|c)(c0)型不等式的解型不等式的解 法法(自主自主研析研析) 典例典例 1 解下列不等式解下列不等式 (1)|4x5|25；(2)1|x1|5. 解：解：(1)因为因为|4x5|254x525 或或 4x525
7、 4x20 或或 4x30x5 或或 x15 2 . 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x x5或或x15 2 . (2)因为因为 1|x1|51x15 或或5x1 12x6 或或4x0，所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为x|2x 6 或或4x0 归纳升华归纳升华 1 求解求解|axb|c和和|axb|c型不等式的一般步骤：型不等式的一般步骤： (1)判断不等号右侧的式子是否大于判断不等号右侧的式子是否大于 0； (2)若大于若大于 0，根据绝对值不等式的几何意义根据绝对值不等式的几何意义，整体代整体代 换换，若不能判定若不能判定，则分三种情况进行分类讨论；则分三种情况进行分类讨
8、论； (3)将不等式的解集写成集合或者区间的形式将不等式的解集写成集合或者区间的形式 2注意事项：注意事项： (1)在进行集合运算时在进行集合运算时，要注意利用数轴这一重要工要注意利用数轴这一重要工 具具，尤其是要注意端点值的取舍；尤其是要注意端点值的取舍； (2)利用绝对值的几何意义时利用绝对值的几何意义时，要注意将要注意将 x 前系数化前系数化 为为 1. 变式训练变式训练 解下列不等式解下列不等式 (1)|12x|5； (2)|4x1|210. 解：解：(1)|12x|52x15 或或 2x16 或或 2x3 或或 x2. 所以所以原不等式的解集为原不等式的解集为x|x3 或或 x2 (
9、2)|4x1|2104x1|8 所以所以84x1874x97 4 x9 4. 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 x|7 4 x9 4 . 类型类型 2 |xa|xb|c(或或|xa|xb|c)型不型不 等式的解法等式的解法 典例典例 2 解不等式解不等式|x1|x1|3. 解：解：法一：法一：如图所示如图所示，设数轴上与设数轴上与1，1 对应的点对应的点 分别为分别为 A， B， 那么那么 A， B 两点的距离和为两点的距离和为 2， 因此区间因此区间 1，1上的数都不是不等式的解设在上的数都不是不等式的解设在 A 点左侧有一点点左侧有一点 A1 到到 A，B 两点的距离和为两点的距离
10、和为 3，A1对应数轴上的对应数轴上的 x. 所以所以1x1x3，得得 x3 2， ， 同理设同理设 B 点右侧有一点点右侧有一点 B1到到 A，B 两点两点距离和为距离和为 3， B1对应数轴上的对应数轴上的 x， 所以所以 x1x(1)3.所以所以 x3 2. 从数轴上可看到从数轴上可看到，点点 A1，B1之间的点到之间的点到 A，B 的距的距 离之离之和都小于和都小于 3；点；点 A1的左边或点的左边或点 B1的右边的任何点到的右边的任何点到 A，B 的距离之和都大于的距离之和都大于 3. 所以原不等式的解集是所以原不等式的解集是(，3 2 3 2， ，) 法二：法二： 当当 x1 时时
11、， 原不等式可以化为原不等式可以化为(x1)(x 1)3， 解得解得 x3 2. 当当1x1 时时， 原不等式可以化为原不等式可以化为 x1(x1)3， 即即 23 不成立不成立，无解无解 当当 x1 时时，原不等式可以化为原不等式可以化为 x1x13. 所以所以 x3 2. 综上可知原不等式的解集为综上可知原不等式的解集为x|x3 2或 或 x3 2 法三：法三：将原不等式转化为将原不等式转化为|x1|x1|30. 构造函数构造函数 y|x1|x1|3，即即 y 2x3，x1， 1，1x1， 2x3，x1. 作出函数的图象作出函数的图象(如右图所示如右图所示) 函数的零点是函数的零点是3 2
12、， ，3 2. 从图象可知从图象可知，当当 x3 2或 或 x3 2时 时，y0，即即|x1| |x1|30. 所以原不等式的解集为所以原不等式的解集为 ，3 2 3 2， ， . 归纳升华归纳升华 |xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式型不等式 的三种解法：分区间的三种解法：分区间(分类分类)讨论法、图象法和几何法分讨论法、图象法和几何法分 区间讨论的方法具有普遍性区间讨论的方法具有普遍性， 但较麻烦； 几何法和图象法但较麻烦； 几何法和图象法 直观直观，但只适用于数据较简单的情况但只适用于数据较简单的情况 1 分区间讨论分区间讨论的关键在于对绝对值代数意义的理解的关键在于对绝对
13、值代数意义的理解， 即即|x| x， ，x0， x，x0， 也即也即 x 为非负数时为非负数时，|x|为为 x；x 为负为负 数时数时，|x|为为x，即即 x 的相反数的相反数 2|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等型不等 式的图象解法和画出函数式的图象解法和画出函数 f(x)|xa|xb|c(ab) 的图象是密切相关的的图象是密切相关的， 其图象是折线其图象是折线， 正确地画出其图象正确地画出其图象 的关键是写出的关键是写出 f(x)的分段表达式不妨设的分段表达式不妨设 ab，于是于是 f(x) 2xabc，xa， bac，axb， 2xabc，xb， 这种图象法的关键是合这种图
14、象法的关键是合 理构造函数理构造函数，正确画出函数的图象正确画出函数的图象，求出函数的零点求出函数的零点，体体 现了函数与方程结合、数形结合的思想现了函数与方程结合、数形结合的思想 3几何解法的关键是理解绝对值的几何意义几何解法的关键是理解绝对值的几何意义 变式训练变式训练 (2015 课标全国课标全国卷卷)已知函数已知函数 f(x) |x1|2|xa|，a0. (1)当当 a1 时时，求不等式求不等式 f(x)1 的解集；的解集； (2)若若 f(x)的图象与的图象与 x 轴围成的三角形面积大于轴围成的三角形面积大于 6，求求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)当当 a1 时时，f(x
15、)1 化为化为|x1|2|x1|1 0. 当当 x1 时时，不等式化为不等式化为 x40，无解；无解； 当当1x1 时时，不等式化为不等式化为 3x20，解得解得2 3 x 1； 当当 x1 时时，不等式化为不等式化为x20，解得解得 1x2. 所以所以 f(x)1 的解集为的解集为 x 2 3 x2 . (2)由题设可由题设可得得，f(x) x 12a，x1， 3x12a，1xa， x12a，xa. 所以函数所以函数 f(x)的图象与的图象与x轴围成的三角形的三个顶点轴围成的三角形的三个顶点 分别为分别为 A 2a1 3 ，0 ，B(2a1，0)，C(a，a1)， ABC 的面积为的面积为2
16、 3(a 1)2. 由题设得由题设得2 3(a 1)26，故故 a2. 所以所以 a 的取值范围为的取值范围为(2， ) 类型类型 3 绝对值不等式的综合应用绝对值不等式的综合应用(规范解答规范解答) 典例典例 3 (本小题满分本小题满分 10 分分)设函数设函数 f(x)|x a| |x 1a|. (1)当当 a1 时时，求不等式求不等式 f(x)1 2的解集； 的解集； (2)若对任意若对任意 a0，1，不等式不等式 f(x)b 的解集为空的解集为空 集集，求实数求实数 b 的取值范围的取值范围 规范解答规范解答 (1)当当 a1 时时，f(x)1 2等价于 等价于|x1|x| 1 2.(
17、1 分 分) 当当 x1 时时，不等式化为不等式化为x1x1 2， ，无解；无解； 当当1x0 时时，不等式化为不等式化为 x1x1 2， ， 解得解得1 4 x0； 当当 x0 时时，不等式化为不等式化为 x1x1 2， ，解得解得 x0. (3 分分) 综上所述综上所述，不等式不等式 f(x)1 的解集为的解集为 1 4， ， . (4 分分) (2)因为不等式因为不等式 f(x)b 的解集为空集的解集为空集，所以所以 b f(x)max.(5 分分) 以下给出两种方法求以下给出两种方法求 f(x)的最大值的最大值 法一：法一：因为因为 f(x)|x a|x1a|(0a1)， 当当 x a
18、时时，f(x)x ax1a a 1a0. 当当 ax1a时时，f(x)x ax1a 2x a1a21a a1a a1a. 当当 x1a时时，f(x)x ax1a a 1a. 所所以以f(x)max a1a.(7 分分) 法二：法二：因为因为 f(x)|x a|x1a|x ax 1a| a1a| a1a， 当且仅当当且仅当 x1a时取等号时取等号 所以所以f(x)max a1a.(7 分分) 因为对任意因为对任意 a0， 1， 不等式不等式 f(x)b 的解集为空集的解集为空集， 所以所以 b a1a max.(8 分 分) 以下给出三种思路求以下给出三种思路求 g(a) a1a的最大值的最大值
19、 思路思路 1：令令 g(a) a1a， 所以所以 g2(a)12 a1a1( a)2(1a)2 2， 当且仅当当且仅当 a1a，即即 a1 2时等号成立 时等号成立 所以所以g(a)max 2. 所以所以 b 的取值范围为的取值范围为( 2，)(10 分分) 思路思路 2：令令 g(a) a1a， 因为因为 0a1，所以可设所以可设 acos2 0 2 ， 则则 g(a) a1acos sin 2sin 4 2， 当且仅当当且仅当 4时等号成立 时等号成立 所以所以 b 的取值范围为的取值范围为( 2，)(10 分分) 思路思路 3：令令 g(a) a1a， 因为因为 0a1，设设 x a，
20、 y1a， 则则 x2y21，0x1，0y1. 问题转化为在问题转化为在 x2y21，0x1，0y1 的条件的条件 下下，求求 zxy 的最大值的最大值 利用数形结合的方法容易求得利用数形结合的方法容易求得 z 的最大值为的最大值为 2， 此时此时 xy 2 2 . 所以所以 b 的取值范围为的取值范围为( 2，)(10 分分) 归纳升华归纳升华 1对于含有绝对值的综合应用题对于含有绝对值的综合应用题，首先考虑的是零首先考虑的是零 点分段法去绝对值点分段法去绝对值， 把函数转化为分段函数把函数转化为分段函数， 其次结合图其次结合图 象求解参数或自变量的范围象求解参数或自变量的范围 2解决已知不
21、等式的解集求其参数的范围问题解决已知不等式的解集求其参数的范围问题，仍仍 然是利用转化的思想然是利用转化的思想，将其转化为函数的最大将其转化为函数的最大(小小)值问值问 题题 类题尝试类题尝试 已知函数已知函数 f(x)|xa|x3|(aR) (1)当当 a1 时时，求不等式求不等式 f(x)x8 的解集；的解集； (2)若函数若函数 f(x)的最小值为的最小值为 5，求求 a 的值的值 解：解：当当 a1 时时，不等式不等式 f(x)x8 可化为可化为|x1|x 3|x8， 当当 x1 时时，有有(x1)(x3)x8，解得解得 x 2； 当当1x3 时时，有有(x1)(x3)x8，解得解得
22、x 4，不合要求；，不合要求； 当当 x3 时时，有有(x1)(x3)x8，解得解得 x10； 综上所述综上所述，x2 或或 x10. 所以所以，原不等式解集为原不等式解集为(，210，) (2)因为因为 f(x)|xa|x3|xa|3x|(xa) (3x)|a3| 令令|a3|5，解得解得 a2 或或 a8. 1解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝解含有绝对值的不等式的总体思路是：将含有绝 对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解对值的不等式转化为不含绝对值的不等式去解，依据的依据的 是同解性是同解性， 对同解性应对同解性应理解为： “理解为： “|x|”中的中的 x 可以是任何有可以
23、是任何有 意义的数学式子意义的数学式子 f(x)，因此从结论上说因此从结论上说，|f(x)|g(x)与与 g(x)f(x)g(x)同解同解，|f(x)|g(x)与与 f(x)g(x)或或 f(x) g(x)同同解掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键解掌握去掉绝对值符号的方法和途径是关键，数数 形结合法解不等式是另一个重要的解题途径形结合法解不等式是另一个重要的解题途径，为此要熟为此要熟 练掌握函数练掌握函数|f(x)|的图象和画法的图象和画法 2|xa|xb|c，|xa|xb|c 型不等式有型不等式有 三种解法：分区间三种解法：分区间(分类分类)讨论法、图象法和几何法分区讨论法、图象法和几何法分区 间讨论的方间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图象法 直观，但只适用于数据较简单的情况直观，但只适用于数据较简单的情况
