1、第一讲第一讲 不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式 1.1 不等式不等式 11.3 三个正数的算术三个正数的算术 几何平均不等式几何平均不等式 学习目标学习目标 1.会用三项的平均值不等式证明一些简会用三项的平均值不等式证明一些简 单问题单问题(难点难点) 2.能够利用三项的平均值不等式求一些能够利用三项的平均值不等式求一些 特定函数的最值特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题从而学会解决简单的应用问题(重点重点) 知识提炼知识提炼梳理梳理 1三个正数的算术三个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 (1)如果如果 a1，a2，a3R ， ，则则a 1 a2a3 3 叫做这叫做这 3
2、个正个正 数的算术平均数数的算术平均数， 3 a1a2a3叫做这三个正数的叫做这三个正数的几何平均数几何平均数 (2)定理定理 3：三个正数基本不等式：三个正数基本不等式： a1a2a3 3 3 a1a2a3.当且仅当当且仅当 a1a2a3时时，等号成立等号成立 语言表述：三个正数的语言表述：三个正数的算术算术平均数不小于它们的平均数不小于它们的几几 何何平均数平均数 2n 个正数的算术个正数的算术几何平均不等式几何平均不等式 (1)如果如果 a1，a2，anR ， ，n1 且且 nN*，则则 a1a2an n 叫做这叫做这 n 个正数的算术平均数个正数的算术平均数， n a1a2an 叫做这
3、叫做这 n 个正数的个正数的几何平均数几何平均数 (2)基本不等式：基本不等式：a 1 a2an n na1a2an(nN*， aiR ， ， 1in) 当且仅当 当且仅当 a1a2an时等号成立时等号成立 语言表述：语言表述： n 个正数的个正数的算术算术平均数不小于它们的平均数不小于它们的几何几何 平均数平均数 温馨提示温馨提示 两个定理的使用前提都是两个定理的使用前提都是“正数正数” 思考尝试思考尝试 夯基夯基 1思考判断思考判断(正确的打正确的打“”“”，错误的打错误的打“”“”) (1)如果如果 a，b，cR，那么那么a bc 3 3 abc.( ) (2)如果如果 a，b，cR ，
4、 ，那么那么a bc 3 3 abc，当且仅当且仅 当当 ab 或或 bc 时时，等号成立等号成立( ) (3)如果如果 a，b，cR ， ，那么那么 abc abc 3 3 ，当且当且 仅当仅当 abc 时时，等号成立等号成立( ) (4)如果如果 a1，a2，a3，an都是实数那么都是实数那么 a1a2 ann n a1a2an.( ) 解析：解析：(1)根据定理根据定理 3，只有在只有在 a，b，c 都是正数才成都是正数才成 立其他情况不一定成立立其他情况不一定成立，如如 a1，b1，c3， abc 3 1， 3 abc 3 3，故故(1)不正确不正确 (2)由定由定理理 3， 知等号成
5、立的条件是知等号成立的条件是 abc.故故(2)不正不正 确确 (3)由定理由定理 3 知知(3)正确正确 (4)必须必须 a1，a2，an都是正数都是正数，命题才成立命题才成立 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2函数函数 yx2(15x) 0x1 5 的最大值是的最大值是( ) A4 B. 2 15 C. 4 675 D.5 2 解析：解析：由由 0x1 5得 得 15x0， yx2(15x)5 2 x x 2 5 2x 5 2 xx2 5 2x 3 3 4 675， ， 即可得出即可得出 C 正确正确 答案：答案：C 3若若 x0，则则 4x 9 x2的最小值是 的最小值是(
6、) A9 B3 3 36 C13 D不存在不存在 解析：解析：因为因为 x0，所以所以 4x 9 x2 2x2x 9 x2 3 3 36， 当且仅当当且仅当 2x 9 x2， ，即即 x 3 36 2 时时，等号成立等号成立 答案：答案：B 4. 若已知若已知 a13，a29，a327，则则 a1a2a3 3 _，3a1a2a3_ 解 析 ：解 析 ： a1a2a3 3 3927 3 13, 3 a1 a2 a3 3 39279. 答案：答案：13 9 5若若 x0，则则x 3 x 3 x 3 27 x3 _4. 解析：解析：因为因为 x0， 所以所以x 3 x 3 x 3 27 x3 4 4
7、 x 3 x 3 x 3 27 x3 4. 答案：答案： 类型类型 1 利用定理利用定理 3 求函数的最值求函数的最值(自主研析自主研析) 典例典例 1 已知已知 xR ， ， 求函数求函数 yx(1x2)的最大值的最大值 解：解：因为因为 yx(1x2)， 所以所以 y2x2(1 x2)2 1 2 2x2(1 x2)(1 x2) 1 2 2x21x21x2 3 3 4 27. 当且仅当当且仅当 2x21x2，即即 x 3 3 时等号成立时等号成立 所以所以 y2 3 9 ，所以所以 ymax2 3 9 . 归纳升华归纳升华 1利用三个正数的算术利用三个正数的算术几何平均不等式常处理下几何平均
8、不等式常处理下 面两个类型的最值：面两个类型的最值： (1)求函数求函数 yax2b x的最小值 的最小值，其中其中 ax20，b x 0. 则则 yax2 b x ax2 b 2x b 2x 3 3 ax2 b 2x b 2x 3 2 3 2ab2.当且仅当当且仅当 ax2 b 2x， ，即即 x 3 b 2a时 时，等号等号成立成立 (2)求函数求函数 yax c bx2的最小值 的最小值，其中其中 ax0， c bx2 0. 则则 yax c bx2 ax 2 ax 2 c bx2 3 3 ax 2 ax 2 c bx2 3 2 3 2a2c b .当且仅当当且仅当ax 2 c bx2，
9、 ，即即 x 3 2c ab时 时，等号成立等号成立 2拼凑数学结构拼凑数学结构，以便能利用基本不等式求最值以便能利用基本不等式求最值， 是必须掌握的一种方法是必须掌握的一种方法， 但要注意拼凑的合理性 在三个但要注意拼凑的合理性 在三个 正数的算术正数的算术几何平均不等式中几何平均不等式中， 也要满足也要满足“一正、 二定、一正、 二定、 三相等三相等”的条件的条件，缺一不可缺一不可 变式训练变式训练 求函数求函数 y 3 16x 2 3 x(x 0)的最小值的最小值 解：解：因为因为 x0， 所以所以 y 3 16x 2 3 x 3 16x 2 3 2x 3 2x 3 3 3 16x 2
10、3 2x 3 2x 9 4. 当且仅当当且仅当 3 16x 2 3 2x， ，即即 x2 时时，等号成立等号成立 所以所以 y 3 16x 2 3 x(x 0)的最小值是的最小值是9 4. 类型类型 2 利用定理利用定理 3 证明不等式证明不等式 典例典例 2 设设 a，b，c 为正实数为正实数，求证：求证： 1 a3 1 b3 1 c3 abc2 3. 解：解：因为因为 a，b，c 为正实数为正实数， 由三个正数的算术由三个正数的算术几何平均几何平均不等式可得：不等式可得： 1 a3 1 b3 1 c3 3 3 1 a3 1 b3 1 c3， ，即即 1 a3 1 b3 1 c3 3 abc
11、， ， 所以所以 1 a3 1 b3 1 c3 abc 3 abc abc. 又因为又因为 3 abc abc2 3 abc abc 2 3， 所以所以 1 a3 1 b3 1 c3 abc2 3， 当且仅当当且仅当 abc63时时，等号成立等号成立 归纳升华归纳升华 利用定理利用定理 3 证明不等式时证明不等式时， 应从式子的结构入手进行应从式子的结构入手进行 分析分析， 通过变形转化为三个正数的算术平均或几何平均不通过变形转化为三个正数的算术平均或几何平均不 等式等式，进而达到证明不等式进而达到证明不等式 变式训练变式训练 已知已知 a，b，cR ， ，abc1，求证：求证： 1 a 1
12、b 1 c 9. 证明：证明：因为因为 a，b，c R ， ，abc33abc. 又又 abc1，所以所以3abc1 3， ，所以所以 1 3 abc 3， 所以所以1 a 1 b 1 c 3 3 1 abc 9. 故原不等式成立故原不等式成立 当且仅当当且仅当 abc1 3时 时， “”成立成立 类型类型 3 利用定理利用定理 3 解应用题解应用题 典例典例 3 如图所示如图所示，把一块边长为把一块边长为 a 的正方形铁皮的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形的各角切去大小相同的小正方形， 再把它沿着虚线折起做再把它沿着虚线折起做 成一个无盖的铁盒， 问切去的正方形边长是多少时， 盒子成
13、一个无盖的铁盒， 问切去的正方形边长是多少时， 盒子 的体积最大？的体积最大？ 解：解：设切去的正方形的边长为设切去的正方形的边长为 x，无盖盒子的容积为无盖盒子的容积为 V， 则则V (a 2x)2x 1 4 (a 2x)(a 2x) 4x 1 4 （a2x）（）（a2x）4x 3 3 2a 3 27 ， 当且仅当当且仅当 a2x4x，即即 xa 6时 时，等号成立等号成立 因此因此 V 取最大值取最大值2a 3 27 ， 故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的故当切去的小正方形边长是原来的正方形的边长的1 6 时时，盒子的容积最大盒子的容积最大 归纳升华归纳升华 通过阅读应用题通过阅
14、读应用题， 弄清楚实际问题弄清楚实际问题， 确定求什么量的确定求什么量的 最值最值， 建立函数关系式建立函数关系式， 最后利用基本不等式解决应用题最后利用基本不等式解决应用题 中的最值问题中的最值问题 变式训练变式训练 已知圆柱的轴截面周长为已知圆柱的轴截面周长为 6， 体积体积为为 V， 则下列不等式总成立的是则下列不等式总成立的是( ) AV BV CV1 8 D V1 8 解析：解析：如图如图，设圆柱半径为设圆柱半径为 R，高为高为 h， 则则 4R2h6，即即 2Rh3. VS hR2 h R R h RRh 3 3 ，当且仅当且仅 当当 RRh1 时取等号时取等号 答案：答案：B 1
15、三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件三个正数或三个以上正数的不等式的应用条件 (1)“一正一正”不论是三个数的或者不论是三个数的或者 n 个数的算术个数的算术 几何平均不等式几何平均不等式， 都要求是正数都要求是正数， 否则不等式是不成立的否则不等式是不成立的， 如如 abc3 3 abc，取取 ab2，c2 时时 abc 2，而而 3 3 abc6，显然显然26 不成立不成立 (2)“二定二定”包含两类求最值问题：一是已知包含两类求最值问题：一是已知 n 个个 正数的和为定值正数的和为定值(即即 a1a2an为定值为定值)，求其积求其积 a1a2an的最大值；二是已知积的最大值；二是已知积 a1a2an为为 定值定值，求其和求其和 a1a2an的最小值的最小值 (3)“三相等三相等”取取“”的条件是的条件是 a1a2an， 不能只是一部分相等不能只是一部分相等 2 重要不等式重要不等式 a2b22ab 与与 a3b3c33abc 的运的运 用条件不一样用条件不一样，前者前者 a，bR，后者后者 a，b，cR ， ，要注要注 意区别意区别 3 注意算术注意算术几何平均不等式中的变形与拼凑方法几何平均不等式中的变形与拼凑方法
