1、-1- 二二 平行线分线段成比例定理平行线分线段成比例定理 -2- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论. 2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题. -3- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 1.平行线分线段成比例定理 文字 语言 三条平行线截两条
2、直线,所得的对应线段成比例 符号 语言 abc,直线 m 分别与 a,b,c 相交于点 A,B,C,直线 n 分别 与 a,b,c 相交于点 D,E,F,则 AB BC = DE EF 图形 语言 作用 证明分别在两条直线上的线段成比例 -4- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 名师点拨名师点拨1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需 要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它 们必须与已知的平行线a,
3、b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条 数还可以更多. 3.当截得的对应线段成比例,且比值为1时,则截得的线段相等,因 此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩充,而平行 线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例;平行线等分线 段定理是证明线段相等的依据,而平行线分线段成比例定理是证明 线段成比例的依据. 2.定理的结论还有 = , = 等. -5- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做 1】 如图,abc,AB
4、=2,BC=3,则 11 11 等于( ) A. 3 2 B. 2 3 C. 2 5 D. 3 5 解析:abc, 11 11 = = 2 3. 答案:B -6- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 2.推论 文字 语言 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 得的对应线段成比例 符号 语言 直线 DE 分别与ABC 的两边 AB,AC 所在直线交于点 D,E, 且 DEBC,则 AD DB = AE EC 图形 语言 作用 证
5、明三角形中的线段成比例 -7- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做 2-1】 如图,在ABC 中,DEBC,若 AD=3,BD=1,则 等于( ) A.1 B.3 C. 4 3 D. 3 4 解析:DEBC, = = + = 3 3+1 = 3 4. 答案:D -8- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHA
6、NG 目标导航 1 2 【做一做2-2】 如图,ABCD,AC,BD相交于O点,若 BO=7,DO=3,AC=25,则AO的长为( ) A.10 B.12.5 C.15 D.17.5 解析:ABCD, = = 7 3 , = 7 10, AO= 7 10 = 7 10 25 = 35 2 = 17.5. 答案:D -9- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 比例的有关概念及性质 剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度 比叫做这
7、两条线段的比. (2)比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两 条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段. (3)比例的有关概念:已知四条线段 a,b,c,d,如果 = 或ab=c d,那么线段 a,d 叫做比例外项,线段 b,c 叫做比例内项,线段 d 叫做线 段 a,b,c 的第四比例项.若 = 或b2=ac,那么线段 b 叫做线段 a,c 的 比例中项. -10- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 (4)比例的性质
8、: 基本性质:ab=cdad=bc. 合比性质:如果 = ,那么 + = + . 等比性质:如果 = = = (其中b+d+n0),那么 + + = . (5)线段的比与比例线段是既有区别又有联系的两个概念.线段的 比是对两条线段而言的,而比例线段是对四条线段而言的.线段的 比有顺序性,ab与ba通常是不相等的;比例线段也有顺序性,如 线段a,b,c,d成比例与线段a,c,b,d成比例不同. -11- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型
9、二 题型三 题型四 题型一 证明线段成比例 【例1】 如图,AD为ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使 AE=AF. 分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考 虑把比例转移,过点C作CMEF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的 中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明. 求证: = . -12- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:如图,过点C作CMEF,交AB于点M,交AD于点N.
10、 AE=AF,AM=AC. AD为ABC的中线,BD=CD. 延长AD到点G,使得DG=AD,连接BG,CG, 则四边形ABGC为平行四边形.AB=GC. 又ABGC,AM=AC,GC=AB, CMEF, = = . = . = = . = . -13- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思1.比例线段常由平行线产生,因而研究比例线段问题应注意 平行线的应用,在没有平行线时,可以添加平行线来促成比例线段 的产生
11、. 2.利用平行线产生比例或转移比例是常用的证题技巧,当题中没 有平行线而有必要转移比例时,也常添加辅助平行线,从而达到转 移比例的目的. -14- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 如图,在ABC(ABAC)的边AB上取一点D,在边 AC上取一点E,使AD=AE,直线DE和BC的延长线交于点P. 求证:BPCP=BDCE. 证明:如图,过点 C 作 CFBA 交 DP 于点 F. CFBD, = .
12、 又CFBA, = . 又 AD=AE,CE=CF. = ,即BPCP=BDCE. -15- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 证明线段相等 【例 2】 如图,在ABC 中,E 为中线 AD 上的一点, = 1 2 , 连接并延长,交于点. 求证:AF=CF. 分析:关键是条件 = 1 2 的应用,通过作平行线,证明 = , 其中x 是某条线段. -16- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHUL
13、I 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:过点 D作 DHAC,交 BF于点 H,如图. D 是 BC的中点, = = 1 2. = 1 2 , = . 又DHAF, = = 1 2. = , = . 反思反思在利用平行线证明或计算时,常常根据已知条件将复杂的图 形进行分解,从中找出基本图形,“借图解题”. -17- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIA
14、ODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练2】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,F为对角线AC上 一点,FEBC交AB于点E,DF的延长线交BC于点H,DE的延长线交 CB的延长线于点G. 求证:BC=GH. 证明:FEBC, = , = . ADEFBH, = . = . = . -18- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 证明线段倒数和的等式 【例 3】 如图,ABBD 于点
15、 B,CDBD 于点 D,连接 AD,BC 交 于点 E,EFBD 于点 F.求证: 1 + 1 = 1 . 分析:转化为证明 + = 1.由于ABEFCD,因此将 与 化归为同一直线BD 上的线段比就可得证. -19- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:ABBD,CDBD,EFBD, ABEFCD. = , = . + = + = + = = 1. 1 + 1 = 1 . 反思反思证明有关线段倒数和的等式时,
16、常用的方法是首先将其变形 为线段比的和为定值的形式,然后化归为同一直线上的线段比. -20- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,EF经过梯形对角 线的交点O,且EFAD. (1)求证:OE=OF; (2)求证: 1 + 1 = 1 . -21- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI T
17、OUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(1)EFAD,ADBC, EFADBC. EFBC, = , = . EFADBC, = . = , = . (2)OEAD, = . 由(1)知 = , + = + = + = 1. 1 + 1 = 1 . -22- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 计算线段长度的比值 【例4】 如图,M是ABCD的边AB的中
18、点,直线l过点M分别交 AD,AC于点E,F,交CB的延长线于点N,若AE=2,AD=6. 求AFAC的值. 分析:ADBC,AM=MBAE=BNAFAC的值 -23- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:ADBC, = . + = + ,即 = + . M 为 AB 的中点,ADBC, = = 1. = . = + + = 2 + . AE=2,BC=AD=6, = 2 2 2 + 6 = 1 5, 即 AFAC
19、=15. -24- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思运用平行线分线段成比例定理及推论来计算比值,应分清相 关三角形中的平行线段及所截的边,并注意在求解过程中运用比例 的等比性质、合比性质等. -25- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题
20、型四 【变式训练 4】 如图,已知ABCD,延长 AB 到 E,使 BE= 1 2 , 连接,分别交,于点,.求 的值. -26- 二 平行线分线段 成比例定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:四边形 ABCD是平行四边形,ADBC. 又 BE= 1 2 , = = = 1 3. 设 EF=k,则 ED=3k,FD=2k. BCAD, = = 2 3. = 2 5. FG= 4 5 , = 6 5 . EFFGGD=k 4 5 6 5 , 即 EFFGGD=546.
