1、-1- 三三 相似三角形的判定及性质相似三角形的判定及性质 -2- 1 1.相似三角形的判定 -3- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.了解三角形相似的定义,掌握相似三角形的判定定理以及直角 三角形相似的判定方法. 2.会证明三角形相似,并能解决有关问题. -4- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.
2、相似三角形 (1)定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形,相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数). (2)记法:两个三角形相似,用符号“”表示,例如ABC与ABC 相似,记作ABCABC. 归纳总结归纳总结1.三角形相似与三角形全等不同,全等三角形一定相似, 但相似三角形不一定全等. 2.相似三角形定义中的“对应边成比例”是三组对应边分别成比 例. 3.相似三角形对应顶点的字母必须写在相应的位置上,这一点与 全等三角形是一致的.例如ABC和DEF相似,若点A与点E对应, 点B与点F对应,点C与点D对应,则记为ABCEFD. -5- 1.相似三角形的判定 ZHISHI
3、 SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做1】 已知ABCABC,下列选项中的式子,不一定 成立的是( ) A.B=B B.A=C 解析:很明显选项A,C,D均成立.因为A和C不是对应角,所以 A=C不一定成立. 答案:B C. = D. = -6- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 2.相似三角形的判定 定理 内容 简述 作用
4、 预备 定理 平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似 判定 两个 三角 形相 似 判定 定理 1 对于任意两个三角形,如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等,那么这两个三角形相似 两角对 应相等, 两三角 形相似 -7- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 续表 定理 内容 简述 作用 判定 定理 2 对于任意两个三角形,如果一个三 角形的两边和另一个三角形的两 边对应成比例,并
5、且夹角相等,那么 这两个三角形相似 两边对应成 比例且夹角 相等,两三 角形相似 判定两个 三角形 相似 引 理 如果一条直线截三角形的两边(或 两边的延长线)所得的对应线段成 比例,那么这条直线平行于三角形 的第三边 判定两条 直线平行 -8- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 续表 定理 内容 简述 作用 判定 定理 3 对于任意两个三角形,如果一个三 角形的三条边和另一个三角形的 三条边对应成比例,那么这两个三 角形相似 三边对应成 比例
6、,两三 角形相似 判定两个 三角形 相似 -9- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 知识拓展知识拓展判定三角形相似的三种基本图形 (1)平行线型: (2)相交线型: (3)旋转型: -10- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做2-1】 如图,在ABC中,FDGEBC,则与AFD相似 的三
7、角形有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析: FDGEBC, AFDAGEABC, 故与AFD相似的三角形有2个. 答案:B -11- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做 2-2】 如图,DE 与 BC 不平行,当 = _时,ABC AED. 解析:ABC 与ADE 有一个公共角A,当夹A 的两边对应成 比例,即 = 时,这两个三角形相似. 答案: -12- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZH
8、ONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.直角三角形相似的判定定理 (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似; (2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似. (3)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的 斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似. 名师点拨名师点拨直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形分别 与原三角形相似. 在证明直角三角形相似时,要特别注意利用直角这一条件. -13- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 Z
9、HONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做 3】 在ABC 和ABC中,若A=A=90 , = , B=35 ,则C= . 解析:A=A=90 , ABC 和ABC均是直角三角形. 又 = ,ABCABC. C=C.又B=35 , C=90 -B=90 -35 =55 , C=55 . 答案:55 -14- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 同一法证明几何问题 剖析
10、:当直接证明一个几何问题比较困难时,往往采用间接证明 的方法.“同一法”就是一种间接证明的方法.应用同一法证明问题时, 往往首先作出一个满足命题结论的图形,然后证明图形符合命题的 已知条件,确定所作图形与题设条件所指的图形相同,从而证明命 题成立.例如,如图,已知PQ,TR为O的切线,P,R为切点,PQRT,证 明PR为O的直径. -15- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 证明:如图,延长PO交RT于点R, POPQ,PRPQ. PQRT, PRRT,即
11、ORRT. 又TR为O的切线,R为切点, ORRT, 点R与点R重合, PR为O的直径. 由上例可以看出,同一法证明几何问题的步骤如下:(1)首先作出 一个符合结论的图形,然后推证出所作的图形符合已知条件;(2)根 据唯一性,证明所作出的图形与已知的图形是全等的或重合的;(3) 说明已知图形符合结论. -16- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型一 判定三角形相似 【例 1】 如图,已知 = = .求证:ABDACE.
12、分析:由已知 = ,得 = ,则要证明ABDACE,只 需证明DAB=EAC 即可. -17- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:因为 = = , 所以ABCADE. 所以BAC=EAD,BAC-DAC=EAD-DAC,即 DAB=EAC. 又 = ,即 = , 所以ABDACE. 反思反思1.本题中,DAB与EAC的相等关系不易直接找到,这里用 BAC=EAD,在BAC和EAD中分别减去同一个角DAC,间 接证明DA
13、B=EAC. 2.判定两个三角形相似时,关键是分析已知哪些边对应成比例,哪 些角对应相等,根据三角形相似的判定定理,找到符合定理的条件 就能推导出结论. -18- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练1】 如图,1=2,3=4.求证:ABDACE. 证明:1=2, BAC=DAE. 又3=4, ABCADE. 又1=2,ABDACE. = . = . -19- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理
14、 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型二 判定直角三角形相似 【例2】 如图,已知在正方形ABCD中,P是BC上的点,且 BP=3PC,Q是CD的中点. 求证:ADQQCP. 分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间 的关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明 = 即可. -20- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题
15、型二 题型三 题型四 反思反思直角三角形相似的判定方法很多,既可根据一般三角形相似 的判定方法判定,又有其特有的判定方法.在求证、识别的过程中, 可由已知条件结合图形特征确定合适的方法. 证明:在正方形 ABCD 中, Q 是 CD 的中点, = 2. = 3, = 4. 又 BC=2DQ, = 2. 在ADQ 和QCP 中, = = 2,C=D=90 , ADQQCP. -21- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训
16、练 2】 如图,ACB=ADC=90 ,AC= 6, = 2. 当的长为多少时,这两个直角三角形相似? -22- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 解:在 RtACD 中,AC= 6, = 2, CD= 2-2= 6-22= 2. 要使这两个直角三角形相似,有两种情况: 当 RtABCRtACD 时,有 = ,故AB= 2 = 6 2 = 3. 当 RtACBRtCDA 时,有 = ,故AB= 2 = 6 2 = 3 2.
17、综上,当 AB 的长为 3或 3 2时,这两个直角三角形相似. -23- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型三 证明线段成比例 【例 3】 如图,在ABC 中,ABC=2C,BD 平分ABC. 求证: = . 分析:所要证明的等式中的四条线段AB,AC,CD,BC分别在ABC 和BCD中,但这两个三角形不相似,由题意可得BD=CD,这样 AB,AC,BD,BC分别在ABC和ABD中,只需证明这两个三角形相 似即可. -2
18、4- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明: BD 平分ABC, DBC=DBA= 1 2ABC. 又ABC=2C, DBA=DBC=C, BD=CD. 在ABD 和ACB 中, A=A,DBA=C, ABDACB, = , = . -25- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一
19、题型二 题型三 题型四 反思反思证明线段成比例,常先把等式中的四条线段分别看成两个三 角形的两条边,再证明这两个三角形相似即可,若这四条线段不能 分别看成两个三角形的两边,则利用相等线段进行转化,如本题中 把CD转化为BD. -26- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练3】 如图,在ABC中,BAC=90,ADBC于D,E是 AC的中点,连接ED,并延长与AB的延长线交于点F.求 证:ABAC=DFAF. 证明:B
20、AC=90,ADBC, C=BAD,RtADBRtCAB, ABAC=BDAD. 又E是AC的中点, AE=DE=EC,C=CDE. BAD=CDE=BDF. 又F=F,FDBFAD. BDAD=DFAF, 即ABAC=DFAF. -27- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 题型四 证明两直线平行 【例4】 如图,在ABC中,D是BC的中点,M是AD上一点,BM,CM 的延长线分别交AC,AB于F,E两点.求证:EFBC.
21、分析:要证明EFBC,想通过角之间的关系达到目的显然是不可 能的,而要利用成比例线段判定两条直线平行的判定定理,图中又 没有平行条件,因此要设法作出平行线,以便利用判定定理.在作平 行线时,要充分考虑到中点D的应用. -28- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:(方法一)延长AD至点G,使DG=MD,连接BG,CG,如图. BD=DC,MD=DG, 四边形BGCM为平行四边形. ECBG,FBCG. EFBC. = ,
22、 = , = . -29- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法二)过点A作BC的平行线,与BF,CE的延长线分别交于G,H两 点,如图. AHDC,AGBD, = , = , = . BD=DC,AH=AG. HGBC, = , = . AH=AG, = . EFBC. -30- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MU
23、BIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 (方法三)过点M作BC的平行线,分别与AB,AC交于G,H两点,如图. 则 = , = , = . BD=DC,GM=MH. GHBC, = , = . GM=MH, = . BC. -31- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 反思反思利用引理来证明两条直线平行的关键是证明其对应线段成 比例,这样即可转化为证明线段成比例,其证明方法有:利用中间量, 如本题证法
24、一;转化为线段成比例,如本题证法二;既用中间量,又转 化为线段成比例,如本题证法三. -32- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 【变式训练4】 如图,已知点A,B,C在O的一边l上,点A,B,C在 另一边l上,并且直线ABBA,BCCB. 求证:ACCA. -33- 1.相似三角形的判定 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型四 证明:ABBA, OABOBA. = = 1(设比值为k1). 又BCCB,OBCOCB. = = 2(设比值为k2). OA=k1OB=(k1k2)OC,OC=k2OB=(k1k2)OA. = = 12. 又O 为公共角,OACOCA. OAC=OCA.ACCA.
