1、-1- 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 -2- 一 平行线等分线段定理 -3- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.理解并掌握平行线等分线段定理及其推论,认识它的图形语言 及变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段,能运用推论进 行简单的证明或计算. 3.会用三角形中位线定理解决问题. -4- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 M
2、UBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 1.平行线等分线段定理 文字 语言 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在 其他直线上截得的线段也相等 符号 语言 已知 abc,直线 m,n 分别与 a,b,c 交于点 A,B,C 和点 A,B,C,且 AB=BC,则 AB=BC 图形 语言 -5- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 变式 图形 作用 证明线段相等 -6- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理
3、ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 名师点拨名师点拨1.平行线等分线段定理的条件是a,b,c互相平行,构成一 组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线 a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截. 2.平行线的条数可以多于3条,该定理还可以推广. -7- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做1】 如图,l1l2l3,直线a分别
4、与l1,l2,l3相交于点A,B,C, 且AB=BC,直线b分别与l1,l2,l3相交于点A1,B1,C1,则有( ) A.A1B1=B1C1 B.A1B1B1C1 C.A1B1GF B.AG=GF C.AGGF D.AG与GF的大小不确定 解析:DE是ABC的中位线, 在ABF中,DGBF. 又AD=DB, 点G平分AF,即AG=GF. 答案:B -10- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 3.推论2 知识拓展知识拓展梯形中位线的性质:梯形
5、的中位线平行于两底边,并且 等于两底边长和的一半. 文字语言 经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另 一腰 符号 语言 在梯形 ABCD 中,ADBC,E 为 AB 的中点,过点 E 作 EFBC,交 CD 于点 F,则点 F平分 CD 图形 语言 作用 证明线段相等、求线段的长度 -11- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 3 【做一做3】 如图,在梯形ABCD中,ADBC,AD+BC=10 cm,E为 AB的中点,点F在DC上,且EFA
6、D,则EF的长为( ) A.5 cm B.10 cm C.20 cm D.不确定 解析:由推论2知,EF是梯形ABCD的中位线, 答案:A 则 EF= 1 2 ( + ) = 1 2 10 = 5(cm). -12- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 平行线等分线段定理的两个推论的证明 剖析:(1)推论1,如图,在ABC中,B为AB的中点,过点B作 BCBC交AC于点C,求证:点C是AC的中点. -13- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI
7、 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 证明:如图,过点A作直线aBC, BCBC,aBCBC. AB=BB,AC=CC, 即点C是AC的中点. (2)推论2,如图,已知在梯形ACCA中,AACC,B是AC的中点, 过点B作BBCC交AC于点B,求证:点B是AC的中点. 证明:如图,AACC,BBCC, AABBCC. AB=BC, AB=BC,即点B是AC的中点. -14- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例
8、透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 任意等分已知线段 【例1】 如图,已知线段AB,求作线段AB的五等分点,并予以证明. 分析:利用平行线等分线段定理来作图. 作法:如图,(1)作射线AC; (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)连接D5B; (4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别 交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分. -15- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHON
9、GNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:过点A作MND5B. 则MND4A4D3A3D2A2D1A1D5B. AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5. AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B. 点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点. 反思反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下: (1)作射线AC(与AB不共线); (2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=Dn-1Dn; (3)连接DnB; (4)分别过点D1,D2,D3,Dn-2,D
10、n-1作DnB的平行线,分别交AB于点 A1,A2,An-2,An-1,则点A1,A2,An-2,An-1将线段AB分成n等份. -16- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 如图,已知线段AB,请用平行线等分线段定理将 线段AB分成两部分,且两部分之比为23. 解:已知:线段AB. 求作:线段AB上一点O,使AOOB=23. 作法:(1)如图,作射线AC. (2)在射线AC上以任意长顺次截取AD=DE=EF=FG=
11、GH. (3)连接BH. (4)过点E作EOHB,交AB于点O,则点O为所求的点. -17- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 证明线段相等 【例2】 如图,已知ACAB,DBAB,O是CD的中点.求 证:OA=OB. 分析:因为线段OA和OB有共同端点,所以只需 证明点O在AB的垂直平分线上即可. 证明:过点O作AB的垂线,垂足为E,如图. ACAB,DBAB, OEACDB. O为CD的中点, E为AB的中点. 又OE
12、AB,OA=OB. 反思反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证 明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用. -18- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD 中,ADBC,ABC=90,M是CD的中点.求证:AM=BM. 证明:如图,过点M作MEBC交AB于点E, ADBC,ADEMBC. M是CD的中点, E是AB的中点. ABC=90, MEA=MEB=90, M
13、E垂直平分AB.AM=BM. -19- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 三角形中位线性质的应用 【例3】 如图,在梯形ABCD中,ABDC,E为AD的中点,EFBC. 求证:BC=2EF. 分析:由于EFBC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角 形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明. -20- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANL
14、I TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G. ABDC, 四边形ABCG是平行四边形. AGBC. EFBC,EFAG. E为AD的中点,F是DG的中点. 反思反思1.如果在三角形中出现中点,那么往往利用三角形中位线的 性质来解决有关问题. 2.本题也可用平行线等分线段定理来证明,过点E作DC的平行线 即可. EF= 1 2 . = 1 2 ,即BC=2EF. -21- 一 平行线等分线段定理 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 【变式训练3】 求证:顺次连接四边形四条边的中点,所得的四 边形是平行四边形. 证明:已知:如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA 的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形. 证明:连接AC. AH=HD,DG=GC, HGEF.四边形EFGH是平行四边形. HGAC,HG= 1 2 . 同理 EFAC,EF= 1 2 .
