1、-1- 二二 平面与圆柱面的截线平面与圆柱面的截线 -2- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1.通过圆柱形水杯中水面的倾斜,感受平面截圆柱的形式,并能证 明定理1. 2.通过Dandelin双球探求椭圆的性质,体会这种证明问题的方法. -3- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 1.定理1 文字语言 圆柱形
2、物体的斜截口是椭圆 符号语言 平面 与圆柱 OO的轴斜交,则截口是椭圆 图形语言 作用 判断截口形状是椭圆 -4- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做1】 圆柱形物体的截口是( ) A.双曲线 B.圆 C.抛物线 D.椭圆或圆 解析:当截面与圆柱的底面平行时,截口是圆,否则是椭圆. 答案:D -5- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 M
3、UBIAODAOHANG 目标导航 1 2 2.椭圆 (1)椭圆组成元素:如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线. 我们把A1A2叫做椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆 的焦距.如果长轴为2a,短轴为2b,那么焦距2c= 2 2-2. -6- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 (2)Dandelin双球探究椭圆性质:如图,设球O1,O2与圆柱的交线(圆) 所在的平面分别为,椭圆所在的斜截面与它们的交线分别为 l
4、1,l2,与所成的二面角为,母线与平面的交角为.由于,都是 确定的,因此交线l1,l2也是确定的. -7- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 当点P在椭圆的任意位置时,过点P作l1的垂线,垂足为点Q,过点 P作平面的垂线,垂足为点K1,连接K1Q,得RtPK1Q,则QPK1=. 从而 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定 值cos .我们把直线l1叫做椭圆的一条准线. 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为
5、定值cos ,所以l2是椭圆的另一条准线. 记e=cos ,我们把e叫做椭圆的离心率. 有 = cos = 定值. 1 = 1 -8- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 名师点拨名师点拨e的几何意义是椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的 距离的比.当e越接近于1时,c越接近于a,从而b越小,因此椭圆越扁; 反之,e越接近于0,从而b越接近于a,椭圆越接近于圆.当e=0 时,c=0,a=b,两个焦点重合,图形就是圆了.可见离心率是刻画椭圆 扁圆程度的
6、量. -9- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-1】 已知F1和F2是椭圆的焦点,P是椭圆上的任一 点,PF1=d1,PF2=d2,则( ) A.d1+d2是常数 B.d1-d2是常数 答案:A 解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则由题意, 知2c=8,故c=4. 答案:10 C.d1d2是常数 D. 1 2 是常数 【做一做 2-2】 若椭圆的离心率 e= 4 5 ,焦距为 8, 则椭圆的长轴长为_. 又 e
7、= ,故长轴长2a= 2 = 8 4 5 = 10. -10- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 1 2 【做一做2-3】 椭圆的长轴长为10,短轴长为8,则焦距等于( ) A.6 B.8 C.10 D.3 解析:设椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c, 则由题意,知2a=10,2b=8, 答案:A 故 a=5,b=4,得 2c=2 2-2= 6. -11- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJ
8、IAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 Dandelin双球探求椭圆性质的过程 剖析:通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形,类比 为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形,从而得 到定理1及有关结论,因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内 公切的情形要注意研究,这有助于理解椭圆和下一节的知识. 圆柱内嵌入两个球,使它们分别位于斜截面的上方和下方,并且 与圆柱和斜截面均相切,这是证明定理的关键.这种方法是数学家 Dandelin创立的,故将嵌入的两球称为Dandelin双球.要注意对于 Dandelin双球的研究. -12-
9、二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型一 椭圆的度量性质 【例1】 已知平面与一圆柱的母线成60角,那么该平面与圆 柱截口图形的离心率是( ) 答案:D 反思反思圆柱形物体的斜截口是椭圆,因此,椭圆的度量性质和底面半 径、截面与母线的夹角密切相关. A. 3 2 B.1 C. 2 2 D. 1 2 解析:平面与圆柱截口图形为椭圆,其离心率 e=cos 60 = 1 2. -13- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI
10、知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 解析:圆柱的底面直径 d=12 cm,截面与底面成 30 , 椭圆的短轴长 2b=d=12 cm, 椭圆的长轴长 2a= cos30 = 8 3(cm). 根据 c= 2-2得,椭圆的半焦距长 c=2 3cm, 则椭圆的离心率 e= = 2 3 4 3 = 1 2. 题型一 题型二 题型三 【变式训练1】 底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30的平面 所截,截口是一个椭圆,该椭圆的长轴长 ,短轴 长 ,离心率为 . 答案:8 3 cm 12 cm 1 2 -14- 二
11、 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型二 探讨椭圆的性质 【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面于点F1,F2,P1P2为O1的 一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面内的平行射 影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分. 求证:F1F2=2 2-2. -15- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透
12、析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 证明:如图,过点G1作G1HBG2,H为垂足, 则四边形ABHG1是矩形.G1H=AB. 点Q1,Q2分别是点P1,P2的平行射影,P1Q1P2Q2. 四边形P1Q1Q2P2是平行四边形. Q1Q2=P1P2,即Q1Q2等于底面直径. G1H=AB=Q1Q2=2b. 又由切线长定理,知G1A=G1F1=G2F2,G2F1=G2B, G2F1-G2F2=G2B-G1A. 又G1A=BH,G2F1-G2F2=G2B-BH.F1F2=G2H. 在 RtG1G2H 中,G2H= 12 2- 12 = (2)2-(2)2= 2 2-2,
13、故 F1F2=2 2-2. -16- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 反思反思探究圆柱体的斜截口椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与 全等、解直角三角形及平行射影的性质. -17- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型
14、二 题型三 【变式训练2】 设平面与圆柱的轴的夹角为(090),现 放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面都相切,若已知Dandelin双 球与平面的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径,则截线椭圆 的离心率为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 3 2 解析:Dandelin双球与平面的切点恰好是椭圆的焦点,圆柱的底 面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c. 答案:B 故 e= = 2+2 = 2 = 2 2 . -18- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 M
15、UBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 题型三 易错辨析 易错点:概念不清而致错 【例3】 如图,一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为 (090)的平面所截,截面是一个椭圆.当=30时,这个椭圆 的离心率为( ) 错解:由题易知,平面与圆柱的截口为椭圆,所以离心率 错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法, 在利用公式e=cos 时,必须是圆柱的母线与平面的夹角. A. 1 2 B. 3 2 C. 3 3 D. 2 3 e=cos =cos 30 = 3 2 ,故选B. -19- 二 平面与圆柱面的截线 ZHISHI SHULI 知识梳理 ZHONGNAN JVJIAO 重难聚焦 DIANLI TOUXI 典例透析 MUBIAODAOHANG 目标导航 题型一 题型二 题型三 正解:A 解析:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30 的平面所截,其 截口是一个椭圆,则这个椭圆的短半轴为 R,长半轴为 cos30= 2 3. a2=b2+c2,c= 3. 椭圆的离心率为 e= = 1 2 .故选A.
