1、-1- 本讲整合 -2- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 -3- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题一 证明等积线段或成比例线段 利用相似三角形的性质可以得到等积式或比例式,是解决这类问 题的基本方法.解决这类问题一般可分为三步: (1)把等积式化为比例式,从而确定相关的两个三角形相似. (2)确定两个相关的三角形的方法是:把比例式横看或者竖看,将 两条线段中的相同字母消去一个,由余下的字母组成三角形. (3)设法找到证明这两个三角形相似的条件. -4- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 应用1如图,在ABC中,BAC=9
2、0,BC边的垂直平分线EM和 AB,CA的延长线分别交于D,E两点,连接AM. 求证:AM2=DM EM. -5- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 提示:将 AM2=DM EM 化为 = ,只需证明AMDEMA 即可. 证明:BAC=90,M是BC的中点, AM=CM,MAC=C. EMBC,E+C=90. 又BAM+MAC=90, E=BAM. EMA=AMD, AMDEMA. = . 2 = EM. -6- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题二 利用相似三角形证明线段相等 证明两条线段相等,一般情况下,利用等角对等边或全等三
3、角形 的性质来解决.但有些证明两条线段相等的几何题利用前面的方法 证不出来,或过程比较烦琐,此时可以借助相似三角形的有关比例 线段来解决. -7- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 应用2如图,AD,CF是ABC的两条高线,在AB上取一点P,使 AP=AD,再从点P引BC的平行线与AC交于点Q. 求证:PQ=CF. 提示:利用相似三角形的性质,并结合AP=AD进行证明. -8- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 证明:AD,CF 是ABC 的两条高线, ADB=BFC.又B=B, ABDCBF. = .又PQ BC, APQ=B,AQ
4、P=ACB, APQABC. = ,即 = . = . 又AP=AD,PQ=CF. -9- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 应用3如图,ABC为直角三角形,ABC=90,以AB为边向外作 正方形ABDE,连接EC交AB于点P,过点P作PQ BC交AC于点Q.求 证:PQ=PB. 提示:要证明PQ=PB,可以通过证明有关的三角形相似得出比例 式,再由等式的性质证明其相等. -10- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 证明:PQ BC,BC AE,PQ AE. CPQ=CEA,CQP=CAE, CPQCEA. = . 同理可得 = ,
5、= . 而由题意知,AE=DE, PQ=PB. -11- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 专题三 平行线分线段的性质应用 平行线分线段的相关定理即平行线等分线段定理、平行线分线 段成比例定理,其实质是揭示一组平行线在与其相交的直线上截得 的线段所呈现的规律;主要用来证明比例式成立,证明直线平行,计 算线段的长度,也可以作为计算某些图形的周长或面积的重要方法, 其中,平行线等分线段定理是线段的比为1的平行线分线段成比例 定理的特例. -12- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 应用 4 如图,在ABC 中,M 是 AC 边的中点,E
6、是 AB 边上的一点,且 AE= 1 4 ,连接并延长交的延长线于点.求证: = 2. -13- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 证明:过点 C 作 CFAB 交 ED 于点 F. = . AM=CM, CF=AE= 1 4 . CF= 1 3 . CFAB, = = 1 3. BD=3CD,即 BC+CD=3CD. BC=2CD. -14- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 专题一 专题二 专题三 应用5如图,在ABC中,DEBC,DHGC.求证:EGBH. 证明:DEBC, = . DHGC, = . AE AB=AC AD=AH AG. = , BH
7、. -15- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 1(2015 湖北高考,理15)如图,PA是圆的切线,A为切点,PBC是圆的割 线,且 BC=3PB,则 = _. 解析:由题意易知PBAPAC, 则得 = = . 所以 PA2=PB PC,又 BC=3PB, 所以 PA2=4PB2,即 PA=2PB, 故 = = 1 2. 答案: 1 2 -16- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 2(2014 广东高考,理 15)如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 在 AB 上, 且 EB=2AE,AC与 DE 交于点 F,则 的面积 的面积 = _
8、. 解析:因为 ABCD 是平行四边形,所以 ABDC,且 AB=DC, 于是CDFAEF,且 = = 3, 因此 的面积 的面积 = 2 = 9. 答案:9 -17- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 3(2013 湖北高考,理 15)如图,圆 O 上一点 C 在直径 AB 上的射影为 D,点 D 在半径 OC 上的射影为 E.若 AB=3AD,则 的值为_. -18- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 解析:设AD=2,则AB=6, 于是BD=4,OD=1. 如图,由射影定理得 CD2=AD BD=8, 则 CD=2 2. 在 RtOCD
9、 中, DE= = 12 2 3 = 2 2 3 , 则 CE= 2-2= 8- 8 9 = 8 3 , = = 3 8 3 = 1 3 . 因此 = 8 3 1 3 = 8. 答案:8 -19- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 4(2013 陕西高考,理15(B)如图,弦AB与CD相交于O内一点E,过E 作BC的平行线与AD的延长线交于点P,已知PD=2DA=2,则 PE= . -20- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 解析:C 与A 在同一个O 中,所对的弧都是 ,则C=A. 又 PEBC,C=PED. A=PED. 又P=P,PED
10、PAE, 则 = , PE2=PA PD. 又 PD=2DA=2, PA=PD+DA=3, PE2=32=6, PE= 6. 答案: 6 -21- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 5(2012 课标全国高考,文22)如图,D,E分别为ABC边AB,AC的中点, 直线DE交ABC的外接圆于F,G两点.若CFAB,证明: (1)CD=BC; (2)BCDGBD. -22- 本讲整合 知识网络 专题归纳 高考体验 2 3 4 1 5 证明:(1)如图,连接AF,因为D,E分别为AB,AC的中点, 所以DEBC. 又已知CFAB,故四边形BCFD是平行四边形, 所以CF=BD=AD. 而CFAD,连接AF, 所以ADCF是平行四边形,故CD=AF. 因为CFAB,所以BC=AF,故CD=BC. (2)因为FGBC,故GB=CF. 由(1)可知BD=CF,所以GB=BD. 而DGB=EFC=DBC, 故BCDGBD.
