1、 第 1 页（共 28 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 32 二面角（学生版） 1 （2019新课标）如图，长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，点E在棱 1 AA 上， 1 BEEC （1）证明：BE 平面 11 EBC； （2）若 1 AEAE，求二面角 1 BECC的正弦值 2 （2019新课标）图 1 是由矩形ADEB、Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中1AB ，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平
2、面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角BCGA的大小 3 （2019天津） 如图，AE 平面ABCD，/ /CFAE，/ /ADBC，ADAB，1ABAD， 2AEBC 第 2 页（共 28 页） （）求证：/ /BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长 4 （2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，/ /ADBC， 2PAADCD，3BC E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC （）求证：CD 平面PAD； （）求二面角FAEP的余弦值； （）设点G在PB上
3、，且 2 3 PG PB 判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 5 （2019新课标）如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 1 4AA ，2AB ， 60BAD，E，M，N分别是BC， 1 BB， 1 A D的中点 （1）证明：/ /MN平面 1 C DE； （2）求二面角 1 AMAN的正弦值 第 3 页（共 28 页） 6 （2018新课标）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂 直，M是CD上异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 7（2018新课
4、标） 如图， 在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角MPAC为30， 求PC与平面PAM所成角的正弦值 8 （2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边 所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点 第 4 页（共 28 页） （）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小； （）当3AB ，2AD 时，求二面角EAGC的大小 9 （2017新课标）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， 1 2 ABBCAD，9
5、0BADABC ，E是PD的中点 （1）证明：直线/ /CE平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余 弦值 10 （2017新课标）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD； （2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值 11 （2017新课标）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形， ABDCBD ，ABBD （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求 二面角DA
6、EC的余弦值 第 5 页（共 28 页） 12（2016浙江） 如图， 在三棱台ABCDEF中， 已知平面BCFE 平面ABC，90ACB， 1BEEFFC，2BC ，3AC ， （）求证：BF 平面ACFD； （）求二面角BADF的余弦值 13 （2016新课标）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5AB ，6AC ， 点E，F分别在AD，CD上， 5 4 AECF，EF交于BD于点H，将DEF沿EF折 到D EF的位置，10OD （）证明：D H平面ABCD； （）求二面角BD AC的正弦值 14 （2016新课标）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为
7、正方形，2AFFD，90AFD， 且二面角DAFE与二面角CBEF都是60 （）证明平面ABEF 平面EFDC； （）求二面角EBCA的余弦值 第 6 页（共 28 页） 第 7 页（共 28 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 32 二面角（教师版） 1 （2019新课标）如图，长方体 1111 ABCDABC D的底面ABCD是正方形，点E在棱 1 AA 上， 1 BEEC （1）证明：BE 平面 11 EBC； （2）若 1 AEAE，求二面角 1 BECC的正弦值 证明： （1）长方体 1111 ABCDABC D中， 11 B C 平面
8、11 ABAB， 11 BCBE， 1 BEEC， BE平面 11 EBC 解： （2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设 1 1AEAE，BE 平面 11 EBC， 1 BEEB，1AB， 则(1E，1，1)，(1A，1，0)， 1(0 B，1，2)， 1(0 C，0，2)，(0C，0，0)， 1 BCEB， 1 EB面EBC， 故取平面EBC的法向量为 1 ( 1mEB ，0，1)， 设平面 1 ECC 的法向量(nx，y，) z， 由 1 0 0 n CC n CE ，得 0 0 z xyz ，取1x ，得(1n ，1，0)， 第 8 页（共 28 页） 1 cos, |
9、 |2 m n m n mn ， 二面角 1 BECC的正弦值为 3 2 2 （2019新课标）图 1 是由矩形ADEB、Rt ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形， 其中1AB ，2BEBF，60FBC将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结 DG，如图 2 （1）证明：图 2 中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC 平面BCGE； （2）求图 2 中的二面角BCGA的大小 证明： （1）由已知得/ /ADBE，/ /CGBE，/ /ADCG， AD，CG确定一个平面， A，C，G，D四点共面， 由已知得ABBE，ABBC，AB面BCGE， AB 平面ABC，平面ABC 平面BCGE
10、 解： （2）作EHBC，垂足为H， EH 平面BCGE，平面BCGE 平面ABC， 第 9 页（共 28 页） EH平面ABC， 由已知，菱形BCGE的边长为 2，60EBC， 1BH，3EH ， 以H为坐标原点，HC的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系Hxyz， 则( 1A ，1，0)，(1C，0，0)，(2G，0，3 )， (1CG ，0，3)，(2AC ，1，0)， 设平面ACGD的法向量(nx，y，) z， 则 30 20 CG nxz AC nxy ，取3x ，得(3n ，6，3)， 又平面BCGE的法向量为(0m，1，0)， 3 cos, | |2 n m n m n
11、m ， 二面角BCGA的大小为30 3 （2019天津） 如图，AE 平面ABCD，/ /CFAE，/ /ADBC，ADAB，1ABAD， 2AEBC （）求证：/ /BF平面ADE； （）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （）若二面角EBDF的余弦值为 1 3 ，求线段CF的长 第 10 页（共 28 页） （）证明：以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x，y，z轴建立空间直 角坐标系， 可得(0A，0，0)，(1B，0，0)，(1C，2，0)，(0D，1，0)，(0E，0，2) 设(0)CFh h，则(1F，2，)h 则(1,0,0)AB 是平面ADE的法向量，又(0,2
12、, )BFh，可得0BF AB 又直线BF 平面ADE，/ /BF平面ADE； （）解：依题意，( 1,1,0)BD ，( 1,0,2)BE ，( 1, 2,2)CE 设( , , )nx y z为平面BDE的法向量， 则 0 20 n BDxy n BExz ，令1z ，得(2,2,1)n 4 cos, 9| | CE n CE n CEn 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为 4 9 ； （）解：设( , , )mx y z为平面BDF的法向量， 则 0 20 m BDxy m BFyhz ，取1y ，可得 2 (1,1,)m h ， 由题意， 2 2 |4| |1 |cos,| | |3
13、4 32 m n h m n mn h ，解得 8 7 h 经检验，符合题意 线段CF的长为 8 7 第 11 页（共 28 页） 4 （2019北京）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，/ /ADBC， 2PAADCD，3BC E为PD的中点，点F在PC上，且 1 3 PF PC （）求证：CD 平面PAD； （）求二面角FAEP的余弦值； （）设点G在PB上，且 2 3 PG PB 判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由 证明： （）PA平面ABCD，PACD， ADCD，PAADA， CD平面PAD 解： （）以A为原点，在平面ABCD内过A作CD的平行线为x轴，
14、AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， (0A，0，0)，(0E，1，1)， 2 (3F， 2 3 ， 4) 3 ， (0P，0，2)，(2B，1，0)， (0AE ，1，1)， 2 2 4 ( , ) 3 3 3 AF ， 平面AEP的法向量(1n ，0，0)， 第 12 页（共 28 页） 设平面AEF的法向量(mx，y，) z， 则 0 224 0 333 m AEyz m AFxyz ，取1x ，得(1m ，1，1)， 设二面角FAEP的平面角为， 则 |13 cos | |33 m n mn 二面角FAEP的余弦值为 3 3 （）直线AG在平面AEF内，理由如下： 点G在PB上
15、，且 2 3 PG PB 4 (3G， 2 3 ， 2) 3 ， 4 (3AG ， 2 3 ， 2) 3 ， 平面AEF的法向量(1m ，1，1)， 422 0 333 m AG ， 故直线AG在平面AEF内 5 （2019新课标）如图，直四棱柱 1111 ABCDABC D的底面是菱形， 1 4AA ，2AB ， 60BAD，E，M，N分别是BC， 1 BB， 1 A D的中点 （1）证明：/ /MN平面 1 C DE； （2）求二面角 1 AMAN的正弦值 第 13 页（共 28 页） （1）证明：如图，过N作NHAD，则 1 / /NHAA，且 1 1 2 NHAA， 又 1 / /MB
16、AA， 1 1 2 MBAA，四边形NMBH为平行四边形，则/ /NMBH， 由 1 / /NHAA，N为 1 A D中点，得H为AD中点，而E为BC中点， / /BEDH，BEDH，则四边形BEDH为平行四边形，则/ /BHDE， / /NMDE， NM 平面 1 C DE，DE 平面 1 C DE， / /MN平面 1 C DE； （2）解：以D为坐标原点，以垂直于DC得直线为x轴，以DC所在直线为y轴，以 1 DD所 在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则 3 ( 2 N， 1 2 ，2)，( 3M，1，2)， 1( 3 A，1，4)， 3 3 (,0) 22 NM ， 1 31 (,2)
17、 22 NA ， 设平面 1 AMN的一个法向量为( , , )mx y z， 由 1 33 0 22 31 20 22 m NMxy m NAxyz ，取3x ，得( 3, 1, 1)m ， 又平面 1 MAA的一个法向量为(1,0,0)n ， 315 cos, | |55 m n m n mn 第 14 页（共 28 页） 二面角 1 AMAN的正弦值为 10 5 6 （2018新课标）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂 直，M是CD上异于C，D的点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦
18、值 解： （1）证明：在半圆中，DMMC， 正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直， AD平面DCM，则ADMC， ADDMD， MC平面ADM， MC 平面MBC， 平面AMD 平面BMC （2）ABC的面积为定值， 要使三棱锥MABC体积最大，则三棱锥的高最大， 第 15 页（共 28 页） 此时M为圆弧的中点， 建立以O为坐标原点，如图所示的空间直角坐标系如图 正方形ABCD的边长为 2， (2A，1，0)，(2B，1，0)，(0M，0，1)， 则平面MCD的法向量(1m ，0，0)， 设平面MAB的法向量为(nx，y，) z 则(0AB ，2，0)，( 2AM ，1，1)，
19、由20n ABy，20n AMxyz ， 令1x ， 则0y ，2z ，即(1n ，0，2)， 则cosm， 11 |1145 m n n m n ， 则面MAB与面MCD所成二面角的正弦值 2 12 5 sin1() 55 7（2018新课标） 如图， 在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC， O为AC的中点 （1）证明：PO 平面ABC； （2） 若点M在棱BC上， 且二面角MPAC为30， 求PC与平面PAM所成角的正弦值 第 16 页（共 28 页） （1）证明：连接BO， 2 2ABBC，O是AC的中点， BOAC，且2BO ， 又4PAPCPBAC， POAC，2
20、3PO ， 则 222 PBPOBO， 则POOB， OBACO， PO平面ABC； （2）建立以O坐标原点，OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图： (0A，2，0)，(0P，0，2 3)，(0C，2，0)，(2B，0，0)， ( 2BC ，2，0)， 设( 2BMBC ，2，0)，01 则( 2AMBMBA ，2，0)( 2 ，2，0)(22，22，0)， 则平面PAC的法向量为(1m ，0，0)， 设平面MPA的法向量为(nx，y，) z， 则(0PA，2，2 3)， 则22 30n PAyz ，(22 )(22)0n AMxy 令1z ，则3y ， (1) 3 1 x
21、， 第 17 页（共 28 页） 即 (1) 3 ( 1 n ，3，1)， 二面角MPAC为30， 3 cos30| |2 m n m n ， 即 2 (1) 3 3 1 21 (3)13 1 1 ， 解得 1 3 或3（舍)， 则平面MPA的法向量(2 3n ，3，1)， (0PC ，2，2 3)， PC与平面PAM所成角的正弦值sin|cosPC， 2 32 34 33 | | 1641616 n 8 （2017山东）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边 所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是DF的中点 （）设P是CE上的一点，且APBE，求CBP的大小； （
22、）当3AB ，2AD 时，求二面角EAGC的大小 第 18 页（共 28 页） 解： （）APBE，ABBE，且AB，AP平面ABP，ABAPA， BE平面ABP，又BP 平面ABP， BEBP，又120EBC， 因此30CBP； （）解法一、 取EC的中点H，连接EH，GH，CH， 120EBC，四边形BEHC为菱形， 22 3213AEGEACGC 取AG中点M，连接EM，CM，EC， 则EMAG，CMAG， EMC为所求二面角的平面角 又1AM ，13 12 3EMCM 在BEC中，由于120EBC， 由余弦定理得： 222 222 2 2 cos12012EC ， 2 3EC ，因此E
23、MC为等边三角形， 故所求的角为60 解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐 标系 由题意得：(0A，0，3)，(2E，0，0)，(1G，3，3)，( 1C ，3，0)， 故(2,0, 3)AE ，(1, 3,0)AG ，(2,0,3)CG 设 111 (,)mx y z为平面AEG的一个法向量， 第 19 页（共 28 页） 由 0 0 m AE m AG ，得 11 11 230 30 xz xy ，取 1 2z ，得(3,3,2)m ； 设 222 (,)nxyz为平面ACG的一个法向量， 由 0 0 n AG n CG ，可得 22 22 3
24、0 230 xy xz ，取 2 2z ，得(3,3, 2)n 1 cos, |2 m n m n m n 二面角EAGC的大小为60 9 （2017新课标）如图，四棱锥PABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面 ABCD， 1 2 ABBCAD，90BADABC ，E是PD的中点 （1）证明：直线/ /CE平面PAB； （2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45，求二面角MABD的余 弦值 第 20 页（共 28 页） （1）证明：取PA的中点F，连接EF，BF，因为E是PD的中点， 所以 1 / / 2 EFAD ， 1 2 ABBCAD，90BADABC ， 1 /
25、 / 2 BCAD， BCEF是平行四边形，可得/ /CEBF，BF 平面PAB，CE 平面PAB， 直线/ /CE平面PAB； （2）解：四棱锥PABCD中， 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD， 1 2 ABBCAD， 90BADABC ，E是PD的中点 取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设2AD ，则1ABBC， 3OP ， 60PCO，直线BM与底面ABCD所成角为45， 可得：BNMN， 3 3 CNMN，1BC ， 可得： 22 1 1 3 BNBN， 6 2 BN ， 6 2 MN ， 作NQAB于Q，连接MQ，ABMN， 所以MQN就是二面角MABD的
26、平面角， 22 6 1() 2 MQ 10 2 ， 二面角MABD的余弦值为： 110 510 2 第 21 页（共 28 页） 10 （2017新课标）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，且90BAPCDP （1）证明：平面PAB 平面PAD； （2）若PAPDABDC，90APD，求二面角APBC的余弦值 （1）证明：90BAPCDP ，PAAB，PDCD， / /ABCD，ABPD， 又PAPDP，且PA平面PAD，PD平面PAD， AB平面PAD，又AB平面PAB， 平面PAB 平面PAD； （2）解：/ /ABCD，ABCD，四边形ABCD为平行四边形， 由（1）知AB 平面
27、PAD，ABAD，则四边形ABCD为矩形， 在APD中，由PAPD，90APD，可得PAD为等腰直角三角形， 设2PAABa，则2 2ADa 取AD中点O，BC中点E，连接PO、OE， 以O为坐标原点，分别以OA、OE、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系， 则：(2 ,0,0)Da，( 2 ,2 ,0)Baa，(0P，0，2 )a，(2 ,2 ,0)Caa (2 ,0,2 )PDaa ，( 2 ,2 ,2 )PBaaa，( 2 2 ,0,0)BCa 设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z， 由 0 0 n PB n BC ，得 2220 2 20 axayaz ax ，
28、取1y ，得(0,1, 2)n AB 平面PAD，AD 平面PAD，ABPD， 又PDPA，PAABA， PD平面PAB，则PD为平面PAB的一个法向量，(2 ,0,2 )PDaa 23 cos, 3|23 PD na PD n PD na 第 22 页（共 28 页） 由图可知，二面角APBC为钝角， 二面角APBC的余弦值为 3 3 11 （2017新课标）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形， ABDCBD ，ABBD （1）证明：平面ACD 平面ABC； （2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求 二面角DAEC的余弦值
29、 （1）证明：如图所示，取AC的中点O，连接BO，OD ABC是等边三角形，OBAC ABD与CBD中，ABBDBC，ABDCBD ， ABDCBD ，ADCD ACD是直角三角形， AC是斜边，90ADC 1 2 DOAC 2222 DOBOABBD 90BOD OBOD 第 23 页（共 28 页） 又DOACO，OB平面ACD 又OB 平面ABC， 平面ACD 平面ABC （2）解：设点D，B到平面ACE的距离分别为 D h， E h则 D E hDE hBE 平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分， 1 3 1 1 3 ACED D E ACEE Sh hDE hBE Sh 点
30、E是BD的中点 建立如图所示的空间直角坐标系不妨取2AB 则(0O，0，0)，(1A，0，0)，( 1C ，0，0)，(0D，0，1)，(0B，3，0)， 3 1 (0, ) 22 E ( 1AD ，0，1)， 3 1 ( 1, ) 22 AE ，( 2AC ，0，0) 设平面ADE的法向量为(mx，y，) z，则 0 0 m AD m AE ，即 0 31 0 22 xz xyz ，取 (3,3,3)m 同理可得：平面ACE的法向量为(0n ，1，3) 2 37 cos, |7212 m n m n m n 二面角DAEC的余弦值为 7 7 12（2016浙江） 如图， 在三棱台ABCDEF
31、中， 已知平面BCFE 平面ABC，90ACB， 第 24 页（共 28 页） 1BEEFFC，2BC ，3AC ， （）求证：BF 平面ACFD； （）求二面角BADF的余弦值 ( ) I证明： 延长AD，BE，CF相交于点K， 如图所示， 平面BCFE 平面ABC，90ACB， AC平面BCK，BFAC 又/ /EFBC，1BEEFFC，2BC ，BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则 BFCK， BF平面ACFD ()II方法一：过点F作FQAK，连接BQ，BF 平面ACFDBFAK，则AK 平面BQF， BQAKBQF是二面角BADF的平面角 在Rt ACK中，3AC ，2CK ，可
32、得 3 13 13 FQ 在Rt BQF中，3BF ， 3 13 13 FQ 可得： 3 cos 4 BQF 二面角BADF的平面角的余弦值为 3 4 方法二：如图，延长AD，BE，CF相交于点K，则BCK为等边三角形， 取BC的中点，则KOBC，又平面BCFE 平面ABC，KO平面BAC， 以点O为原点，分别以OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz 可得：(1B， 0，0)，( 1C ， 0，0)，(0K， 0，3)，( 1A ，3，0)， 13 ( ,0,) 22 E， 13 (,0,) 22 F (0AC ，3，0)，(1,3, 3)AK ， (2AB ，3，0)
33、设平面ACK的法向量为 1 (mx， 1 y， 1) z，平面ABK的法向量为 2 (nx， 2 y， 2) z，由 0 0 AC m AK m ，可得 1 111 30 330 y xyz ， 取( 3,0, 1)m 第 25 页（共 28 页） 由 0 0 AB n AK n ，可得 22 222 230 330 xy xyz ，取(3, 2, 3)n 3 cos, |4 m n m n m n 二面角BADF的余弦值为 3 4 13 （2016新课标）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，5AB ，6AC ， 点E，F分别在AD，CD上， 5 4 AECF，EF交于BD于点H，将
34、DEF沿EF折 到D EF的位置，10OD （）证明：D H平面ABCD； （）求二面角BD AC的正弦值 （）证明：ABCD是菱形， ADDC，又 5 4 AECF， 第 26 页（共 28 页） DEDF EAFC ，则/ /EFAC， 又由ABCD是菱形，得ACBD，则EFBD， EFDH，则EFD H， 6AC ， 3AO， 又5AB ，AOOB， 4OB， 1 AE OHOD AD ，则3DHD H， 222 |ODOHD H ，则D HOH， 又OHEFH， D H平面ABCD； （）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 5AB ，6AC ， (5B，0，0)，(1C，
35、3，0)，(0D，0，3)，(1A，3，0)， (4,3,0),( 1,3,3)ABAD ，(0,6,0)AC ， 设平面ABD的一个法向量为 1 ( , , )nx y z， 由 1 1 0 0 n AB n AD ，得 430 330 xy xyz ，取3x ，得4y ，5z 1 (3, 4,5)n 同理可求得平面AD C的一个法向量 2 (3,0,1)n ， 设二面角二面角BD AC的平面角为， 则 12 12 |3 35 1|7 5 |cos| 25|5 210 n n nn 二面角BD AC的正弦值为 2 95 sin 25 第 27 页（共 28 页） 14 （2016新课标）如图
36、，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为 正方形，2AFFD，90AFD， 且二面角DAFE与二面角CBEF都是60 （）证明平面ABEF 平面EFDC； （）求二面角EBCA的余弦值 （）证明：ABEF为正方形，AFEF 90AFD，AFDF， DFEFF， AF平面EFDC， AF 平面ABEF， 平面ABEF 平面EFDC； （）解：由AFDF，AFEF， 可得DFE为二面角DAFE的平面角； 由ABEF为正方形，AF 平面EFDC， BEEF， BE平面EFDC 即有CEBE， 可得CEF为二面角CBEF的平面角 可得60DFECEF / /ABEF，AB平面EFDC
37、，EF 平面EFDC， 第 28 页（共 28 页） / /AB平面EFDC， 平面EFDC平面ABCDCD，AB平面ABCD， / /ABCD， / /CDEF， 四边形EFDC为等腰梯形 以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FDa， 则(0E，0，0)，(0B，2a，0)，( 2 a C，0， 3 ) 2 a，(2Aa，2a，0)， (0EB ，2a，0)，( 2 a BC ，2a， 3 ) 2 a，( 2ABa ，0，0) 设平面BEC的法向量为 1 (mx， 1 y， 1) z，则 0 0 m EB m BC ， 则 1 111 20 3 20 22 ay a xayaz ，取( 3m ，0，1) 设平面ABC的法向量为 2 (nx， 2 y， 2) z，则 0 0 n BC n AB ， 则 222 2 3 20 22 20 a xayaz ax ，取(0n ，3，4) 设二面角EBCA的大小为，则cos | | m n mn 42 19 193 13 16 ， 则二面角EBCA的余弦值为 2 19 19
