1、 第 1 页（共 13 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 35 圆与方程（学生版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2019全国）若直线5x 与圆 22 60 xyxa相切，则(a ) A13 B5 C5 D13 2（2019上海） 以 1 (a，0)， 2 (a，0)为圆心的两圆均过(1,0)， 与y轴正半轴分别交于 1 (0,)y， 2 (0,)y，且满足 12 0lnylny，则点 12 11 (,) aa 的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 3 （2018新课标）直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点
2、，点P在圆 22 (2)2xy上，则ABP面积的取值范围是( ) A2，6 B4，8 C 2，3 2 D2 2，3 2 4 （2016山东）已知圆 22 :20(0)M xyaya截直线0 xy所得线段的长度是2 2， 则圆M与圆 22 :(1)(1)1Nxy的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 5 （2016北京）圆 22 (1)2xy的圆心到直线3yx的距离为( ) A1 B2 C2 D2 2 6 （2016新课标）圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 (a ) A 4 3 B 3 4 C3 D2 7（2015重庆） 已知直线10 xay 是
3、圆 22 :4210C xyxy 的对称轴， 过点( 4, )Aa 作圆C的一条切线，切点为B，则| (AB ) A2 B6 C4 2 D2 10 8 （2015新课标）已知三点(1,0)A，(0, 3)B，(2, 3)C则ABC外接圆的圆心到原点的 距离为( ) 第 2 页（共 13 页） A 5 3 B 21 3 C 2 5 3 D 4 3 9 （2015山东）一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射后与圆 22 (3)(2)1xy相切， 则反射光线所在直线的斜率为( ) A 5 3 或 3 5 B 3 2 或 2 3 C 5 4 或 4 5 D 4 3 或 3 4 10（2014新课标
4、） 设点 0 (M x，1)， 若在圆 22 :1O xy上存在点N， 使得45OMN， 则 0 x的取值范围是( ) A 1，1 B 1 2 ， 1 2 C2，2 D 2 2 ， 2 2 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11 （2019浙江） 已知圆C的圆心坐标是(0,)m， 半径长是r 若直线230 xy与圆C相 切于点( 2, 1)A ，则m ，r 12 （2018天津）已知圆 22 20 xyx的圆心为C，直线 2 1 2 2 3 2 xt yt ，(t为参数）与 该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为 13（2018新课标） 直线1yx与圆 22 230 xyy 交于A
5、，B两点， 则|AB 14 （2017天津）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆心的 圆与y轴的正半轴相切于点A若120FAC，则圆的方程为 15 （2016上海）在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆 22 650 xyx上的两个动 点，且满足| 2 3AB ，则|OAOB的最小值为 16 （2016天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点(0, 5)M在圆C上，且圆心到直线 20 xy的距离为 4 5 5 ，则圆C的方程为 17 （2016新课标）已知直线:330l mxym与圆 22 12xy交于A，B两点，过 A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若| 2
6、 3AB ，则|CD 18 （2016新课标）设直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于A，B两点，若 第 3 页（共 13 页） | 2 3AB ，则圆C的面积为 19 （ 2015 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 以 点(1,0)为 圆 心 且 与 直 线 210()mxymmR 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 20（2014新课标） 设点 0 (M x，1)， 若在圆 22 :1O xy上存在点N， 使得45OMN， 则 0 x的取值范围是 三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题） 21 （2015新课标）已知过点(0,1)A且斜率为k的直线
7、l与圆 22 :(2)(3)1Cxy交于 点M、N两点 （1）求k的取值范围； （2）若12OM ON ，其中O为坐标原点，求|MN 22 （2014新课标）已知点(2,2)P，圆 22 :80C xyy，过点P的动直线l与圆C交于 A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点 （1）求M的轨迹方程； （2）当| |OPOM时，求l的方程及POM的面积 第 4 页（共 13 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 35 圆与方程（学生版） 一选择题（共一选择题（共 10 小题）小题） 1 （2019全国）若直线5x 与圆 22 60 xyxa相切，则(
8、a ) A13 B5 C5 D13 【答案】B 【解析】根据题意，圆 22 60 xyxa即 22 (3)9xya， 其圆心为(3,0)，半径9ra， 若直线5x 与圆 22 60 xyxa相切，则圆的半径532r ， 则有92a，解可得：5a 2（2019上海） 以 1 (a，0)， 2 (a，0)为圆心的两圆均过(1,0)， 与y轴正半轴分别交于 1 (0,)y， 2 (0,)y，且满足 12 0lnylny，则点 12 11 (,) aa 的轨迹是( ) A直线 B圆 C椭圆 D双曲线 【答案】A 【解析】因为 22 1111 |1|raay ，则 2 11 1 2ya ，同理可得 2
9、22 1 2ya ， 又因为 12 0lnylny，所以 12 1y y ，则 12 (12)(12)1aa，即 1212 2a aaa， 则 12 11 2 aa ，设 1 2 1 1 x a y a ，则2xy为直线，故选：A 3 （2018新课标）直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆 22 (2)2xy上，则ABP面积的取值范围是( ) A2，6 B4，8 C 2，3 2 D2 2，3 2 【答案】A 【解析】直线20 xy分别与x轴，y轴交于A，B两点， 第 5 页（共 13 页） 令0 x ，得2y ，令0y ，得2x ， ( 2,0)A，(0, 2)B，|442
10、2AB ， 点P在圆 22 (2)2xy上，设(22cosP，2sin )， 点P到直线20 xy的距离： |2sin()4| |22cos2sin2| 4 22 d ， sin() 1 4 ，1， |2sin()4| 4 2,3 2 2 d ， ABP面积的取值范围是： 1 2 22 2 ， 1 2 23 22 2 ，6 4 （2016山东）已知圆 22 :20(0)M xyaya截直线0 xy所得线段的长度是2 2， 则圆M与圆 22 :(1)(1)1Nxy的位置关系是( ) A内切 B相交 C外切 D相离 【答案】B 【解析】圆的标准方程为 222 :()(0)M xyaa a，则圆心为
11、(0, )a，半径Ra， 圆心到直线0 xy的距离 2 a d ， 圆 22 :20(0)M xyaya截直线0 xy所得线段的长度是2 2， 22 222 2222 2 22 aa Rda，即 2 2 2 a ，即 2 4a ，2a ， 则圆心为(0,2)M，半径2R ，圆 22 :(1)(1)1Nxy的圆心为(1,1)N，半径1r ， 则 22 112MN ，3Rr，1Rr，RrMNRr，即两个圆相交 5 （2016北京）圆 22 (1)2xy的圆心到直线3yx的距离为( ) A1 B2 C2 D2 2 【答案】C 【解析】圆 22 (1)2xy的圆心为( 1,0)， 圆 22 (1)2x
12、y的圆心到直线3yx的距离为 | 13| 2 2 d 第 6 页（共 13 页） 6 （2016新课标）圆 22 28130 xyxy的圆心到直线10axy 的距离为 1，则 (a ) A 4 3 B 3 4 C3 D2 【答案】A 【解析】圆 22 28130 xyxy的圆心坐标为：(1,4)， 故圆心到直线10axy 的距离 2 |41| 1 1 a d a ，解得： 4 3 a ，故选A 7（2015重庆） 已知直线10 xay 是圆 22 :4210C xyxy 的对称轴， 过点( 4, )Aa 作圆C的一条切线，切点为B，则| (AB ) A2 B6 C4 2 D2 10 【答案】B
13、 【解析】圆 22 :4210C xyxy ，即 22 (2)(1)4xy， 表示以(2,1)C为圆心、半径等于 2 的圆 由题意可得，直线:10l xay 经过圆C的圆心(2,1)， 故有210a ，1a ，点( 4, 1)A 22 ( 42)( 1 1)2 10AC ，2CBR， 切线的长 22 |4046ABACCB 8 （2015新课标）已知三点(1,0)A，(0, 3)B，(2, 3)C则ABC外接圆的圆心到原点的 距离为( ) A 5 3 B 21 3 C 2 5 3 D 4 3 【答案】B 【解析】 ：因为ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线1x 上， 可设圆心(1,
14、 )Pp，由PAPB得 2 |1(3)pp，得 2 3 3 p 圆心坐标为 2 3 (1,) 3 P， 所以圆心到原点的距离 2 2 31221 |1()1 393 OP ，故选：B 9 （2015山东）一条光线从点( 2, 3)射出，经y轴反射后与圆 22 (3)(2)1xy相切， 第 7 页（共 13 页） 则反射光线所在直线的斜率为( ) A 5 3 或 3 5 B 3 2 或 2 3 C 5 4 或 4 5 D 4 3 或 3 4 【答案】D 【解析】点( 2, 3)A 关于y轴的对称点为(2, 3)A， 故可设反射光线所在直线的方程为：3(2)yk x，化为230kxyk 反射光线与
15、圆 22 (3)(2)1xy相切， 圆心( 3,2)到直线的距离 2 | 3223| 1 1 kk d k ，化为 2 2450240kk， 4 3 k 或 3 4 10（2014新课标） 设点 0 (M x，1)， 若在圆 22 :1O xy上存在点N， 使得45OMN， 则 0 x的取值范围是( ) A 1，1 B 1 2 ， 1 2 C2，2 D 2 2 ， 2 2 【答案】A 【解析】由题意画出图形如图：点 0 (M x，1)，要使圆 22 :1O xy上存在点N，使得 45OMN，则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得45OMN， 而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时
16、1MN ，图中只有M到M之间的区域满 足1MN ， 0 x的取值范围是 1，1 二填空题（共二填空题（共 10 小题）小题） 11 （2019浙江） 已知圆C的圆心坐标是(0,)m， 半径长是r 若直线230 xy与圆C相 切于点( 2, 1)A ，则m ，r 第 8 页（共 13 页） 【答案】2，5 【解析】由圆心与切点的连线与切线垂直，得 11 22 m ，解得2m 圆心为(0, 2)，则半径 22 ( 20)( 12)5r 12 （2018天津）已知圆 22 20 xyx的圆心为C，直线 2 1 2 2 3 2 xt yt ，(t为参数）与 该圆相交于A，B两点，则ABC的面积为 【答
17、案】 1 2 【解析】圆 22 20 xyx化为标准方程是 22 (1)1xy，圆心为(1,0)C，半径1r ； 直线 2 1 2 2 3 2 xt yt 化为普通方程是20 xy， 则圆心C到该直线的距离为 |102|2 22 d ， 弦长 22 12 | 22 122 22 ABrd， ABC的面积为 1121 |2 2222 SAB d 13（2018新课标） 直线1yx与圆 22 230 xyy 交于A，B两点， 则|AB 【答案】2 2 【解析】圆 22 230 xyy 的圆心(0, 1)，半径为：2， 圆心到直线的距离为： |01 1| 2 2 ， 所以 22 | 2 2( 2)2
18、 2AB 14 （2017天津）设抛物线 2 4yx的焦点为F，准线为l已知点C在l上，以C为圆心的 圆与y轴的正半轴相切于点A若120FAC，则圆的方程为 【答案】 22 (1)(3)1xy 【解析】设抛物线 2 4yx的焦点为(1,0)F，准线:1l x ，点C在l上，以C为圆心的圆 第 9 页（共 13 页） 与y轴的正半轴相切与点A， 120FAC，30FAO， 1 3 tan3 3 OF OA FAO ， 3OA，(0, 3)A，如图所示： ( 1, 3)C，圆的半径为1CA，故要求的圆的标准方程为 22 (1)(3)1xy， 故答案为： 22 (1)(3)1xy 15 （2016上
19、海）在平面直角坐标系xOy中，点A，B是圆 22 650 xyx上的两个动 点，且满足| 2 3AB ，则|OAOB的最小值为 【答案】4 【解析】设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，AB中点( ,)M x y 12 2 xx x ， 12 2 yy y ， 12 (OAOBxx， 12) 2yyOM， 圆 22 :650C xyx， 22 (3)4xy，圆心(3,0)C，半径2CA 点A，B在圆C上，2 3AB ， 222 1 () 2 CACMAB，即1CM 点M在以C为圆心，半径1r 的圆上3 12OM OCr |2OM，|4OAOB，|OAOB的最小值为 4 16
20、 （2016天津）已知圆C的圆心在x轴正半轴上，点(0, 5)M在圆C上，且圆心到直线 20 xy的距离为 4 5 5 ，则圆C的方程为 【答案】 22 (2)9xy 第 10 页（共 13 页） 【解析】由题意设圆的方程为 222 ()(0)xayr a， 由点(0, 5)M在圆上，且圆心到直线20 xy的距离为 4 5 5 ， 得 22 5 |2 |4 5 55 ar a ，解得2a ，3r 圆C的方程为： 22 (2)9xy 17 （2016新课标）已知直线:330l mxym与圆 22 12xy交于A，B两点，过 A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若| 2 3AB ，则|CD
21、【答案】4 【解析】由题意，| 2 3AB ，圆心到直线的距离3d ， 2 |33 | 3 1 m m ， 3 3 m 直线l的倾斜角为30，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点， 2 3 |4 3 2 CD 18 （2016新课标）设直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于A，B两点，若 | 2 3AB ，则圆C的面积为 【答案】4 【解析】圆 22 :220C xyay的圆心坐标为(0, )a，半径为 2 2a ， 直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于A，B两点，且| 2 3AB ， 圆心(0, )a到直线2yxa的距离 2 a d ，即 2 2 32 2 a
22、 a，解得： 2 2a ， 故圆的半径2r 故圆的面积4S， 第 11 页（共 13 页） 19 （ 2015 江 苏 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 以 点(1,0)为 圆 心 且 与 直 线 210()mxymmR 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 【答案】 22 (1)2xy 【解析】 圆心到直线的距离 2 |1|2 12 1 1 m d m m m ，1m时， 圆的半径最大为2， 所求圆的标准方程为 22 (1)2xy 20（2014新课标） 设点 0 (M x，1)， 若在圆 22 :1O xy上存在点N， 使得45OMN， 则 0 x的取值范围是 【答案】
23、1，1 【解析】由题意画出图形如图：点 0 (M x，1)， 要使圆 22 :1O xy上存在点N，使得45OMN， 则OMN的最大值大于或等于45时一定存在点N，使得45OMN， 而当MN与圆相切时OMN取得最大值，此时1MN ， 图中只有M到M之间的区域满足1MN， 0 x的取值范围是 1，1 三解答题（共三解答题（共 2 小题）小题） 21 （2015新课标）已知过点(0,1)A且斜率为k的直线l与圆 22 :(2)(3)1Cxy交于 点M、N两点 （1）求k的取值范围； （2）若12OM ON ，其中O为坐标原点，求|MN 第 12 页（共 13 页） 解： （1）由题意可得，直线l的
24、斜率存在， 设过点(0,1)A的直线方程：1ykx，即：10kxy 由已知可得圆C的圆心C的坐标(2,3)，半径1R 故由 2 | 231| 1 1 k k ， 故当 4747 33 k ， 过点(0,1)A的直线与圆 22 :(2)(3)1Cxy相交于M，N两点 （2）设 1 (M x， 1) y； 2 (N x， 2) y， 由题意可得， 经过点M、N、A的直线方程为1ykx， 代入圆C的方程 22 (2)(3)1xy， 可得 22 (1)4(1)70kxkx， 12 2 4(1) 1 k xx k ， 12 2 7 1 x x k ， 2 12121 212 (1)(1)() 1y yk
25、xkxk x xk xx 2 2 222 74(1)1241 1 111 kkk kk kkk ， 由 2 1212 2 1248 12 1 kk OM ONx xy y k ，解得1k ， 故直线l的方程为1yx，即10 xy 圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径 所以| 2MN 22 （2014新课标）已知点(2,2)P，圆 22 :80C xyy，过点P的动直线l与圆C交于 A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点 （1）求M的轨迹方程； （2）当| |OPOM时，求l的方程及POM的面积 解： （1）由圆 22 :80C xyy，得 22 (4)16xy， 圆C的圆心坐标为(0,4
26、)，半径为 4 设( , )M x y，则( ,4)CMx y，(2,2)MPxy 由题意可得：0CM MP 即(2)(4)(2)0 xxyy 整理得： 22 (1)(3)2xy 第 13 页（共 13 页） M的轨迹方程是 22 (1)(3)2xy （2）由（1）知M的轨迹是以点(1,3)N为圆心，2为半径的圆， 由于| |OPOM， 故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上， 从而ONPM 3 ON k， 直线l的斜率为 1 3 直线PM的方程为 1 2(2) 3 yx ，即380 xy 则O到直线l的距离为 22 | 8|4 10 5 13 又N到l的距离为 |1 13 38|10 510 ， 2 104 10 | 2 2() 55 PM 14 104 1016 2555 POM S
