1、 第 1 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十专题十 恒成立问题恒成立问题（学生版）（学生版） 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1 （2019天津）已知aR设函数 2 22 ,1, ( ) ,1 xaxa x f x xalnx x 若关于x的不等式( ) 0f x 在 R上恒成立，则a的取值范围为( ) A0，1 B0，2 C0， e D1， e 2 （2016浙江）已知函数( )f x满足：( )|f xx且( ) 2xf x ，xR( ) A若f（a）|b，则a b B若f（a）2b，则a b C若f（a）|b，则a b D若f（a）2b，则a b 3
2、 （2014辽宁）当 2x ，1时，不等式 32 43 0axxx 恒成立，则实数a的取值范围 是( ) A 5，3 B 6， 9 8 C 6，2 D 4，3 4 （2007安徽）若对任意xR，不等式|xax恒成立，则实数a的取值范围是( ) A1a B| 1a C| 1a D1a 5 （2014辽宁）已知定义在0，1上的函数( )f x满足： (0)ff（1）0； 对所有x，0y，1，且xy，有 1 |( )( )| 2 f xf yxy 若对所有x，0y，1，|( )( )|f xf ym恒成立，则m的最小值为( ) A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 8 6 （ 2014 湖 北
3、 ） 已 知 函 数( )f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 当0 x时 ， 222 1 ()( |2|3) 2 fxxaxaa，若xR ，(1)( )f xf x ，则实数a的取值范围为( ) A 1 6 ， 1 6 B 6 6 ， 6 6 C 1 3 ， 1 3 D 3 3 ， 3 3 7 （2009湖南）设函数( )yf x在(,) 内有定义对于给定的正数K，定义函数 第 2 页（共 8 页） ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xK fx K f xK ，取函数( )2 x f xxe若对任意的(,)x ，恒有 ( )( ) k fxf x，则( ) AK的最大值
4、为 2 BK的最小值为 2 CK的最大值为 1 DK的最小值为 1 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 8 （2018天津）已知aR，函数 2 2 22,0 ( ) 22 ,0 xxax f x xxa x 若对任意 3x ，)， ( )|f xx恒成立，则a的取值范围是 9 （2013重庆）设0 剟，不等式 2 8(8sin )cos20 xx对xR恒成立，则的取值 范围为 10 （2010天津）设函数 1 ( )f xx x ，对任意1x，)，()( )0f mxmf x恒成立，则 实数m的取值范围是 11 （2009上海）当 1 0 2 x剟时，不等式sin x kx恒成立则实数
5、k的取值范围是 12 （2008北京） 已知函数 2 ( )cosf xxx， 对于 2 ， 2 上的任意 1 x， 2 x， 有如下条件： 12 xx； 22 12 xx； 12 |xx 其中能使 12 ()()f xf x恒成立的条件序号是 第 3 页（共 8 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题十专题十 恒成立问题恒成立问题（教师版）（教师版） 一选择题（共一选择题（共 7 小题）小题） 1 （2019天津）已知aR设函数 2 22 ,1, ( ) ,1 xaxa x f x xalnx x 若关于x的不等式( ) 0f x 在 R上恒成立，则a的取值范围为( ) A0，1 B
6、0，2 C0， e D1， e 【答案】C 【解析】当1x 时，f（1）12210aa 恒成立； 当1x 时， 2 2 ( )2202 1 x f xxaxaa x 厖恒成立， 令 2222 (11)(1)2(1)1 ( ) 1111 11 (12)(2 (1)2)0 11 xxxxx g x xxxx xx xx ， 2( )0 max a g x，0a 当1x 时，( )0 x f xxalnxa lnx 厔恒成立， 令( ) x h x lnx ，则 22 1 1 ( ) ()() lnxx lnx x h x lnxlnx ， 当xe时，( )0h x，( )h x递增， 当1xe时，
7、( )0h x，( )h x递减， xe 时，( )h x取得最小值h（e）e， ( ) min a h xe，综上a的取值范围是0， e 故选：C 2 （2016浙江）已知函数( )f x满足：( )|f xx且( ) 2xf x ，xR( ) A若f（a）|b，则a b B若f（a）2b，则a b C若f（a）|b，则a b D若f（a）2b，则a b 【答案】B 【解析】A：若f（a）|b，则由条件( )|f xx得f（a）|a， 第 4 页（共 8 页） 即|ab，则a b不一定成立，故A错误， B：若f（a）2b，则由条件知( ) 2xf x ，即f（a）2a，则2af（a）2b，
8、则a b，故B正确， C： 若f（a）|b， 则由条件( )|f xx得f（a）|a， 则| | | |ab不一定成立， 故C错， D：若f（a）2b，则由条件( ) 2xf x ，得f（a）2a，则22 ab ，不一定成立，即a b 不一定成立，故D错误，故选：B 3 （2014辽宁）当 2x ，1时，不等式 32 43 0axxx 恒成立，则实数a的取值范围 是( ) A 5，3 B 6， 9 8 C 6，2 D 4，3 【答案】C 【解析】当0 x 时，不等式 32 43 0axxx 对任意aR恒成立； 当01x 时， 32 43 0axxx 可化为 23 143 a xxx ， 令 2
9、3 143 ( )f x xxx ，则 2344 189(9)(1) ( )(*) xx fx xxxx ， 当01x 时，( )0fx，( )f x在(0，1上单调递增，( )maxf xf（1）6 ，6a； 当20 x时， 32 43 0axxx 可化为 23 143 a xxx ， 由(*)式可知， 当21x时，( )0fx，( )f x单调递减， 当10 x 时，( )0fx，( )f x 单调递增，( )( 1)2 min f xf ，2a； 综上所述，实数a的取值范围是62a剟，即实数a的取值范围是 6，2 故选：C 4 （2007安徽）若对任意xR，不等式|xax恒成立，则实数a
10、的取值范围是( ) A1a B| 1a C| 1a D1a 【答案】B 【解析】当0 x 时，x ax恒成立，即1a 当0 x 时，00a恒成立，即aR 当 0 x 时，x ax 恒成立，即1a， 若对任意xR，不等式|xax恒成立，所以11a 剟，故选：B 5 （2014辽宁）已知定义在0，1上的函数( )f x满足： 第 5 页（共 8 页） (0)ff（1）0； 对所有x，0y，1，且xy，有 1 |( )( )| 2 f xf yxy 若对所有x，0y，1，|( )( )|f xf ym恒成立，则m的最小值为( ) A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 8 【答案】B 【解析】依
11、题意，定义在0，1上的函数( )yf x的斜率 1 | 2 k ， 依题意可设0k ，构造函数 1 ,0 1 2 ( )(0) 12 ,1 2 kxx f xk kkxx 剟 剟 ，满足(0)ff（1）0， 1 |( )( )| 2 f xf yxy 当0 x， 1 2 ，且0y， 1 2 时， 111 |( )( )| |0| 224 f xf ykxkyk xykk； 当0 x， 1 2 ， 且 1 2y，1， 11 |( )( )| |()| | ()| (1)| 224 k f xf ykxkkyk xykkk； 当0y， 1 2 ，且 1 2 x，1时，同理可得， 1 |( )( )
12、| 4 f xf y； 当 1 2 x，1， 且 1 2y，1时， 11 |( )( )| |()()|(1) 224 k f xf ykkxkkyk xyk； 综上所述，对所有x，0y，1， 1 |( )( )| 4 f xf y， 对所有x，0y，1，|( )( )|f xf ym恒成立， 1 4 m ， 即m的最小值为 1 4 故选：B 6 （ 2014 湖 北 ） 已 知 函 数( )f x是 定 义 在R上 的 奇 函 数 ， 当0 x时 ， 222 1 ()( |2|3) 2 fxxaxaa，若xR ，(1)( )f xf x ，则实数a的取值范围为( ) A 1 6 ， 1 6
13、B 6 6 ， 6 6 C 1 3 ， 1 3 D 3 3 ， 3 3 【答案】B 【解析】当0 x时， 22 222 2 3,2 ( ),2 ,0 xaxa f xaaxa xx a 剟 ， 由 2 ( )3f xxa， 2 2xa，得 2 ( )f xa ；当 22 2axa 时， 2 ( )f xa ； 由( )f xx ， 2 0 x a剟，得 2 ( )f xa当0 x 时， 2 ( )minf xa 第 6 页（共 8 页） 函数( )f x为奇函数，当0 x 时， 2 ( )maxf xa 对xR ，都有(1)( )f xf x ， 22 2( 4) 1aa ，解得： 66 66
14、 a剟 故实数a的取值范围是 66 , 66 故选：B 7 （2009湖南）设函数( )yf x在(,) 内有定义对于给定的正数K，定义函数 ( ),( ) ( ) ,( ) k f xf xK fx K f xK ，取函数( )2 x f xxe若对任意的(,)x ，恒有 ( )( ) k fxf x，则( ) AK的最大值为 2 BK的最小值为 2 CK的最大值为 1 DK的最小值为 1 【答案】D 【解析】由题意可得出( )k f x 最大值 ， 由于( )1 x f xe ，令( )0fx， 0 1 x ee 解出0 x ，即0 x ， 当0 x 时，( )0fx，( )f x单调递减
15、，当0 x 时，( )0fx，( )f x单调递增 故当0 x 时，( )f x取到最大值(0)2 1 1f 故当1k时，恒有( )( ) k fxf x 因此K的最小值是 1 故选：D 二填空题（共二填空题（共 5 小题）小题） 8 （2018天津）已知aR，函数 2 2 22,0 ( ) 22 ,0 xxax f x xxa x 若对任意 3x ，)， ( )|f xx恒成立，则a的取值范围是 【答案】 1 ,2 8 【解析】当0 x时，函数 2 ( )22f xxxa的对称轴为1x ，抛物线开口向上， 要使0 x时，对任意 3x ，)，( )|f xx恒成立，则只需要( 3)| 3| 3
16、f ， 第 7 页（共 8 页） 即962 3a ，得2a， 当0 x 时， 要使( )|f xx恒成立， 即 2 ( )22f xxxa， 在射线yx的下方或在yx上， 由 2 22xxa x，即 2 20 xxa，由判别式1 80a ，得 1 8 a，综上 1 2 8 a剟 9 （2013重庆）设0 剟，不等式 2 8(8sin )cos20 xx对xR恒成立，则的取值 范围为 【答案】0， 5 66 ， 【解析】由题意可得， 2 64sin32cos20，得 22 2sin(1 2sin) 0 2 1 sin 4 ， 11 sin 22 剟，0 剟0， 5 66 ， 故答案为：0， 5
17、66 ， 10 （2010天津）设函数 1 ( )f xx x ，对任意1x，)，()( )0f mxmf x恒成立，则 实数m的取值范围是 【答案】1m 【解析】已知( )f x为增函数且0m ， 当0m ，由复合函数的单调性可知()f mx和( )mf x均为增函数，此时不符合题意 当0m 时，有 2 2 1111 02()012 m mxmxmxmx mxxmxm 因为 2 2yx在1x，)上的最小值为 2，所以 2 1 12 m ， 即 2 1m ，解得1m 或1m （舍去） 故答案为：1m 11 （2009上海）当 1 0 2 x剟时，不等式sin x kx恒成立则实数k的取值范围是
18、 【答案】2k 【解析】设sinmx，nkx，0 x， 1 2 根据题意画图得：m n恒成立即要m的图象要在n图象的上面， 当 1 2 x 时即 2 x 时相等，所以此时 1 2 1 2 k ，所以2k ，故答案为 2k 第 8 页（共 8 页） 12 （2008北京） 已知函数 2 ( )cosf xxx， 对于 2 ， 2 上的任意 1 x， 2 x， 有如下条件： 12 xx； 22 12 xx； 12 |xx 其中能使 12 ()()f xf x恒成立的条件序号是 【答案】 【解析】函数( )f x为偶函数，( )2sinfxxx， 当0 2 x 时，0sin1x，02x，( )0fx ，函数( )f x在0， 2 上为单调增函数， 由偶函数性质知函数在 2 ，0上为减函数 当 22 12 xx时，得 12 | |0 xx， 12 (|)(|)fxfx，由函数( )f x在上 2 ， 2 为偶函数得 12 ()()f xf x，故成立 33 ，而()() 33 ff ，不成立，同理可知不成立故答案是
