1、 第 1 页（共 15 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 52 不等式选讲（学生版） 1 （2019新课标）已知 f（x）|xa|x+|x2|（xa） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）当 x（，1）时，f（x）0，求 a 的取值范围 2 （2018新课标）已知 f（x）|x+1|ax1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围 3 （2018新课标）设函数 f（x）5|x+a|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2
2、）若 f（x）1，求 a 的取值范围 4 （2017新课标）已知函数 f（x）x2+ax+4，g（x）|x+1|+|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围 5 （2017新课标）已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 6 （2016新课标）已知函数 f（x）|2xa|+a （1）当 a2 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）设函数 g（x）|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a
3、的取值范围 7 （2016新课标）已知函数 f（x）|x 1 2|+|x+ 1 2|，M 为不等式 f（x）2 的解集 （）求 M； （）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab| 8 （2015新课标）已知函数 f（x）|x+1|2|xa|，a0 （）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的取值范围 9 （2014新课标）设函数 f（x）|x+ 1 |+|xa|（a0） 第 2 页（共 15 页） （）证明：f（x）2； （）若 f（3）5，求 a 的取值范围 10 （2014新课标）若 a0，b0，且1 + 1 =
4、 （）求 a3+b3的最小值； （）是否存在 a，b，使得 2a+3b6？并说明理由 11 （2013新课标）已知函数 f（x）|2x1|+|2x+a|，g（x）x+3 （）当 a2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （）设 a1，且当 x 2， 1 2时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围 12 （2011辽宁）选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|x5| （1）证明：3f（x）3； （2）求不等式 f（x）x28x+15 的解集 13 （2019新课标）设 x，y，zR，且 x+y+z1 （1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x2）2+（
5、y1）2+（za）2 1 3成立，证明：a3 或 a1 14 （2019新课标）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： （1）1 + 1 + 1 a2+b2+c2； （2） （a+b）3+（b+c）3+（c+a）324 15 （2017新课标）已知 a0，b0，a3+b32证明： （1） （a+b） （a5+b5）4； （2）a+b2 16 （2015新课标）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+bc+d，证明： （1）若 abcd，则 + + ； （2） + + 是|ab|cd|的充要条件 17 （2013辽宁） （1）证明：当 x0，1时， 2 2 ； （2） 若不等式 + 2+
6、 3 2 + 2( + 2) 4对 x0， 1恒成立， 求实数 a 的取值范围 18 （2013新课标） 【选修 45；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1，证明： 第 3 页（共 15 页） （） + + 1 3 （） 2 + 2 + 2 1 第 4 页（共 15 页） 历年高考数学真题精选（按考点分类）历年高考数学真题精选（按考点分类） 专题 52 不等式选讲（学生版） 一解答题（共一解答题（共 18 小题）小题） 1 （2019新课标）已知 f（x）|xa|x+|x2|（xa） （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2）当 x（，1）时，f（x）0，求
7、 a 的取值范围 解： （1）当 a1 时，f（x）|x1|x+|x2|（x1） ， f（x）0，当 x1 时，f（x）2（x1）20，恒成立，x1； 当 x1 时，f（x）（x1） （x+|x2|）0 恒成立，x； 综上，不等式的解集为（，1） ； （2）当 a1 时，f（x）2（ax） （x1）0 在 x（，1）上恒成立； 当 a1 时，x（a，1） ，f（x）2（xa）0，不满足题意， a 的取值范围为：1，+） 2 （2018新课标）已知 f（x）|x+1|ax1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （2）若 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立，求 a 的取值范围
8、 解： （1）当 a1 时，f（x）|x+1|x1|= 2，1 2， 1 1 2， 1 ， 由 f（x）1， 21 1 1或 21 1， 解得 x 1 2， 故不等式 f（x）1 的解集为（1 2，+） ， （2）当 x（0，1）时不等式 f（x）x 成立， |x+1|ax1|x0， 即 x+1|ax1|x0， 即|ax1|1， 第 5 页（共 15 页） 1ax11， 0ax2， x（0，1） ， a0， 0 x 2 ， a 2 2 2， 0a2， 故 a 的取值范围为（0，2 3 （2018新课标）设函数 f（x）5|x+a|x2| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）0 的解集； （2
9、）若 f（x）1，求 a 的取值范围 解： （1）当 a1 时，f（x）5|x+1|x2|= 2 + 4， 1 2， 12 2 + 6， 2 当 x1 时，f（x）2x+40，解得2x1， 当1x2 时，f（x）20 恒成立，即1x2， 当 x2 时，f（x）2x+60，解得 2x3， 综上所述不等式 f（x）0 的解集为2，3， （2）f（x）1， 5|x+a|x2|1， |x+a|+|x2|4， |x+a|+|x2|x+a|+|2x|x+a+2x|a+2|， |a+2|4， 解得 a6 或 a2， 故 a 的取值范围（，62，+） 4 （2017新课标）已知函数 f（x）x2+ax+4，g
10、（x）|x+1|+|x1| （1）当 a1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围 第 6 页（共 15 页） 解： （1）当 a1 时，f（x）x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x= 1 2的二次函数， g（x）|x+1|+|x1|= 2，1 2， 1 1 2， 1 ， 当 x（1，+）时，令x2+x+42x，解得 x= 171 2 ，g（x）在（1，+）上单调递 增，f（x）在（1，+）上单调递减，此时 f（x）g（x）的解集为（1，171 2 ； 当 x1，1时，g（x）2，f（x）f（1）2 当 x（，1）时，g（
11、x）单调递减，f（x）单调递增，且 g（1）f（1）2 综上所述，f（x）g（x）的解集为1，171 2 ； （2）依题意得：x2+ax+42 在1，1恒成立，即 x2ax20 在1，1恒成立， 则只需1 2 1 2 0 (1)2 (1) 2 0，解得1a1， 故 a 的取值范围是1，1 5 （2017新课标）已知函数 f（x）|x+1|x2| （1）求不等式 f（x）1 的解集； （2）若不等式 f（x）x2x+m 的解集非空，求 m 的取值范围 解： （1）f（x）|x+1|x2|= 3， 1 2 1， 1 2 3，2 ，f（x）1， 当1x2 时，2x11，解得 1x2； 当 x2 时，
12、31 恒成立，故 x2； 综上，不等式 f（x）1 的解集为x|x1 （2）原式等价于存在 xR 使得 f（x）x2+xm 成立， 即 mf（x）x2+xmax，设 g（x）f（x）x2+x 由（1）知，g（x）= 2+ 3， 1 2+ 3 1， 12 2+ + 3， 2 ， 当 x1 时，g（x）x2+x3，其开口向下，对称轴方程为 x= 1 2 1， g（x）g（1）1135； 第 7 页（共 15 页） 当1x2 时，g（x）x2+3x1，其开口向下，对称轴方程为 x= 3 2（1，2） ， g（x）g（3 2）= 9 4 + 9 2 1= 5 4； 当 x2 时，g（x）x2+x+3，
13、其开口向下，对称轴方程为 x= 1 2 2， g（x）g（2）4+2+31； 综上，g（x）max= 5 4， m 的取值范围为（，5 4 6 （2016新课标）已知函数 f（x）|2xa|+a （1）当 a2 时，求不等式 f（x）6 的解集； （2）设函数 g（x）|2x1|，当 xR 时，f（x）+g（x）3，求 a 的取值范围 解： （1）当 a2 时，f（x）|2x2|+2， f（x）6，|2x2|+26， |2x2|4，|x1|2， 2x12， 解得1x3， 不等式 f（x）6 的解集为x|1x3 （2）g（x）|2x1|， f（x）+g（x）|2x1|+|2xa|+a3， 2|x
14、 1 2|+2|x 2|+a3， |x 1 2|+|x 2| 3 2 ， 当 a3 时，成立， 当 a3 时，|x 1 2|+|x 2| 1 2|a1| 3 2 0， （a1）2（3a）2， 解得 2a3， a 的取值范围是2，+） 7 （2016新课标）已知函数 f（x）|x 1 2|+|x+ 1 2|，M 为不等式 f（x）2 的解集 （）求 M； （）证明：当 a，bM 时，|a+b|1+ab| 第 8 页（共 15 页） 解： （I）当 x 1 2时，不等式 f（x）2 可化为： 1 2 xx 1 22， 解得：x1， 1x 1 2， 当 1 2 x 1 2时，不等式 f（x）2 可化
15、为： 1 2 x+x+ 1 2 =12， 此时不等式恒成立， 1 2 x 1 2， 当 x 1 2时，不等式 f（x）2 可化为： 1 2 +x+x+ 1 22， 解得：x1， 1 2 x1， 综上可得：M（1，1） ； 证明： （）当 a，bM 时， （a21） （b21）0， 即 a2b2+1a2+b2， 即 a2b2+1+2aba2+b2+2ab， 即（ab+1）2（a+b）2， 即|a+b|1+ab| 8 （2015新课标）已知函数 f（x）|x+1|2|xa|，a0 （）当 a1 时，求不等式 f（x）1 的解集； （）若 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求 a 的
16、取值范围 解： （）当 a1 时，不等式 f（x）1，即|x+1|2|x1|1， 即 1 1 2(1 )1，或 1 1 + 1 2(1 )1， 或 1 + 1 2( 1)1 解求得 x，解求得2 3 x1，解求得 1x2 综上可得，原不等式的解集为（2 3，2） 第 9 页（共 15 页） （）函数 f（x）|x+1|2|xa|= 1 2， 1 3 + 1 2， 1 + 1 + 2， ， 由此求得 f（x）的图象与 x 轴的交点 A （21 3 ，0） ， B（2a+1，0） ， 故 f（x）的图象与 x 轴围成的三角形的第三个顶点 C（a，a+1） ， 由ABC 的面积大于 6， 可得1 2
17、2a+1 21 3 （a+1）6，求得 a2 故要求的 a 的范围为（2，+） 9 （2014新课标）设函数 f（x）|x+ 1 |+|xa|（a0） （）证明：f（x）2； （）若 f（3）5，求 a 的取值范围 解：（） 证明： a0， f （x） |x+ 1 |+|xa| （x+ 1 ） （xa） |a+ 1 |a+ 1 2 1 =2， 故不等式 f（x）2 成立 （）f（3）|3+ 1 |+|3a|5， 当 a3 时，不等式即 a+ 1 5，即 a 25a+10，解得 3a5+21 2 当 0a3 时，不等式即 6a+ 1 5，即 a 2a10，求得1+5 2 a3 综上可得，a 的取
18、值范围（1+5 2 ，5+21 2 ） 10 （2014新课标）若 a0，b0，且1 + 1 = （）求 a3+b3的最小值； 第 10 页（共 15 页） （）是否存在 a，b，使得 2a+3b6？并说明理由 解： （）a0，b0，且1 + 1 =， = 1 + 1 2 1 ，ab2， 当且仅当 ab= 2时取等号 a3+b3 2()3223=42，当且仅当 ab= 2时取等号， a3+b3的最小值为 42 （）2a+3b22 3 =26，当且仅当 2a3b 时，取等号 而由（1）可知，26 212 =436， 故不存在 a，b，使得 2a+3b6 成立 11 （2013新课标）已知函数 f
19、（x）|2x1|+|2x+a|，g（x）x+3 （）当 a2 时，求不等式 f（x）g（x）的解集； （）设 a1，且当 x 2， 1 2时，f（x）g（x） ，求 a 的取值范围 解： （）当 a2 时，求不等式 f（x）g（x）化为|2x1|+|2x2|x30 设 y|2x1|+|2x2|x3，则 y= 5 ， 1 2 2， 1 2 1 3 6，1 ，它的图象如图所示： 结合图象可得，y0 的解集为（0，2） ，故原不等式的解集为（0，2） （）设 a1，且当 x 2， 1 2时，f（x）1+a，不等式化为 1+ax+3， 故 xa2 对 x 2， 1 2都成立 故 2 a2， 解得 a
20、4 3， 故 a 的取值范围为（1，4 3 第 11 页（共 15 页） 12 （2011辽宁）选修 45：不等式选讲 已知函数 f（x）|x2|x5| （1）证明：3f（x）3； （2）求不等式 f（x）x28x+15 的解集 解： （1）f（x）|x2|x5|= 3， 2 2 7，25 3， 5 当 2x5 时，32x73 所以3f（x）3 （2）由（1）可知， 当 x2 时，f（x）x28x+15 的解集为空集； 当 2x5 时，f（x）x28x+15 的解集为x|53 x5； 当 x5 时，f（x）x28x+15 的解集为x|5x6 综上，不等式 f（x）x28x+15 的解集为x|5
21、3 x6 13 （2019新课标）设 x，y，zR，且 x+y+z1 （1）求（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值； （2）若（x2）2+（y1）2+（za）2 1 3成立，证明：a3 或 a1 解： （1）x，y，zR，且 x+y+z1， 由柯西不等式可得 （12+12+12）（x1）2+（y+1）2+（z+1）2（x1+y+1+z+1）24， 可得（x1）2+（y+1）2+（z+1）2 4 3， 第 12 页（共 15 页） 即有（x1）2+（y+1）2+（z+1）2的最小值为4 3； （2）证明：由 x+y+z1，柯西不等式可得 （12+12+12）（x2）2+（y1）2+（z
22、a）2（x2+y1+za）2（a+2）2， 可得（x2）2+（y1）2+（za）2 (+2)2 3 ， 即有（x2）2+（y1）2+（za）2的最小值为(+2) 2 3 ， 由题意可得(+2) 2 3 1 3， 解得 a1 或 a3 14 （2019新课标）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1证明： （1）1 + 1 + 1 a2+b2+c2； （2） （a+b）3+（b+c）3+（c+a）324 证明： （1）分析法：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1 要证（1）1 + 1 + 1 a2+b2+c2；因为 abc1 就要证： + + a2+b2+c2； 即证：bc+ac+aba
23、2+b2+c2； 即：2bc+2ac+2ab2a2+2b2+2c2； 2a2+2b2+2c22bc2ac2ab0 （ab）2+（ac）2+（bc）20； a，b，c 为正数，且满足 abc1 （ab）20； （ac）20； （bc）20 恒成立；当且仅当：abc1 时取等号 即（ab）2+（ac）2+（bc）20 得证 故1 + 1 + 1 a2+b2+c2得证 （2）证（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324 成立； 即：已知 a，b，c 为正数，且满足 abc1 （a+b）为正数； （b+c）为正数； （c+a）为正数； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b） （b+c）
24、 （c+a） ； 当且仅当（a+b）（b+c）（c+a）时取等号；即：abc1 时取等号； a，b，c 为正数，且满足 abc1 第 13 页（共 15 页） （a+b）2； （b+c）2； （c+a）2； 当且仅当 ab，bc；ca 时取等号；即：abc1 时取等号； （a+b）3+（b+c）3+（c+a）33（a+b） （b+c） （c+a）38 =24abc 24； 当且仅当 abc1 时取等号； 故（a+b）3+（b+c）3+（c+a）324得证 故得证 15 （2017新课标）已知 a0，b0，a3+b32证明： （1） （a+b） （a5+b5）4； （2）a+b2 证明： （1）
25、由柯西不等式得： （a+b） （a5+b5）（ 5+ 5）2（a3+b3）24， 当且仅当5= 5，即 ab1 时取等号， （2）a3+b32， （a+b） （a2ab+b2）2， （a+b）（a+b）23ab2， （a+b）33ab（a+b）2， (+) 32 3(+) =ab， 由均值不等式可得：(+) 32 3(+) =ab（+ 2 ）2， （a+b）32 3(+)3 4 ， 1 4（a+b） 32， a+b2，当且仅当 ab1 时等号成立 16 （2015新课标）设 a，b，c，d 均为正数，且 a+bc+d，证明： （1）若 abcd，则 + + ； （2） + + 是|ab|cd|
26、的充要条件 证明： （1）由于（ + ）2a+b+2， （ + ）2c+d+2， 由 a，b，c，d 均为正数，且 a+bc+d，abcd， 则， 第 14 页（共 15 页） 即有（ + ）2（ + ）2， 则 + + ； （2）若 + + ，则（ + ）2（ + ）2， 即为 a+b+2c+d+2， 由 a+bc+d，则 abcd， 于是（ab）2（a+b）24ab， （cd）2（c+d）24cd， 即有（ab）2（cd）2，即为|ab|cd|； 若|ab|cd|，则（ab）2（cd）2， 即有（a+b）24ab（c+d）24cd， 由 a+bc+d，则 abcd， 则有（ + ）2（ +
27、 ）2 综上可得， + + 是|ab|cd|的充要条件 17 （2013辽宁） （1）证明：当 x0，1时， 2 2 ； （2） 若不等式 + 2+ 3 2 + 2( + 2) 4对 x0， 1恒成立， 求实数 a 的取值范围 （1）证明：记 F（x）sinx 2 2 x，则 F（x）cosx 2 2 当 x（0， 4）时，F（x）0，F（x）在0， 4上是增函数； 当 x（ 4，1）时，F（x）0，F（x）在 4，1上是减函数； 又 F（0）0，F（1）0，所以当 x0，1时，F（x）0，即 sinx 2 2 x， 记 H（x）sinxx，则当 x（0，1）时，H（x）cosx10，所以 H
28、（x）在0， 1上是减函数；则 H（x）H（0）0， 即 sinxx 综上， 2 2 xsinxx （2）当 x0，1时，ax+x2+ 3 2 +2（x+2）cosx4 （a+2）x+x2+ 3 2 4（x+2）2 2 （a+2）x+x2+ 3 2 4（x+2）( 2 4 )2 第 15 页（共 15 页） （a+2）x， 当 a2 时，不等式 ax+x2+ 3 2 +2（x+2）cosx4 对 x0，1恒成立， 下面证明，当 a2 时，不等式 ax+x2+ 3 2 +2（x+2）cosx4 对 x0，1不恒成立 当 x0，1时，ax+x2+ 3 2 +2（x+2）cosx4 （a+2）x+x
29、2+ 3 2 4（x+2）2 2（a+2）x+x 2+3 2 4（x+2）( 2) 2 （a+2）xx2 3 2 （a+2）x 3 2x 2= 3 2xx 2 3（a+2） 所以存在 x0（0，1） （例如 x0取+2 3 和1 2中的较小值）满足 ax0+02+ 03 2 +2（x0+2）cosx040， 即当 a2 时，不等式 ax+x2+ 3 2 +2（x+2）cosx4 对 x0，1不恒成立 综上，实数 a 的取值范围是（，2 18 （2013新课标） 【选修 45；不等式选讲】 设 a，b，c 均为正数，且 a+b+c1，证明： （） + + 1 3 （） 2 + 2 + 2 1 证明： （）由 a2+b22ab，b2+c22bc，c2+a22ca 得 a2+b2+c2ab+bc+ca， 由题设得（a+b+c）21，即 a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca1， 所以 3（ab+bc+ca）1，即 ab+bc+ca 1 3 （）因为 2 +b2a， 2 +c2b， 2 +a2c， 故 2 + 2 + 2 +（a+b+c）2（a+b+c） ，即 2 + 2 + 2 a+b+c 所以 2 + 2 + 2 1
